Метод координат на плоскости и в пространстве

Систему координат будем вводить параллельно на плоскости и в пространстве.

На плоскости Определение 17. Аффинным репером называется совокупность фиксированной точки и фиксированного базиса, т.е. R = . Точка О называется началом координат, векторы и - координатными векторами. Точка О вместе с каждым координатным вектором определяет ось. Эти оси называются координатными осями и обозначаются (Ох) и (Оу) (рис. 20). Рис. 20 Координатные оси разбивают плоскость на четыре угла. Их называют координатными углами. Координатные углы нумеруются в направлении кратчайшего поворота оси (Ох) к оси (Оу). Говорят, что репер R = задаёт на плоскости систему аффинных координат.     Пусть М – произвольная точка плоскости. Вектор (рис. 21) называется радиусом- -вектором точки М (его часто обозначают одной буквой ). Рис. 21 Между множеством всех точек плоскости и множеством всех компланарных векторов, которые можно отложить в этой плоскости, устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Следовательно, радиус-вектор точки вполне определяет эту точку и называется её векторной координатой. Обозначение М( . В базисе , входящем в данный репер, вектор задаётся упорядоченной парой своих координат. Между множеством всех компланарных векторов и множеством всех упорядоченных пар действительных чисел тоже устанавливается взаимно однозначное соответствие. Итак, М « « {x, y}. Отсюда следует, что между множеством всех точек плоскости и множеством всех упорядоченных пар действительных чисел устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Следовательно, любая точка плоскости вполне определяется упорядоченной парой действительных чисел. Определение 18. Аффинными координатами точки в репере R = называются координаты её радиуса-вектора в базисе, входящем в этот репер. М(х, у)R Û . Замечание. Если зафиксирован только один репер, то координаты точки можно обозначать М(х, у).

В пространстве Определение 171. Аффинным репером называется совокупность фиксированной точки и фиксированного базиса, т.е. R = . Точка О называется началом координат, векторы , и -координатными векторами. Точка О вместе с каждым координатным вектором определяет ось. Эти оси называются координатными осями и обозначаются (Ох), (Оу) и (Оz) (рис. 201). Рис. 201 Каждая пара координатных осей определяет плоскость. Их называют координатными плоскостями и обозначают (ХОУ), (ХОZ) и (УОZ). Координатные плоскости разбивают пространство на 8 трёхгранных углов. Их называют координатными углами. Говорят, что репер R = задаёт в пространстве систему аффинных координат.   Пусть М – произвольная точка пространства. Вектор (рис.211) называется радиусом-вектором точки М (его часто обозначают одной буквой ). Рис.211 Между множеством всех точек плоскости и множеством всех геометрических векторов устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Следовательно, радиус-вектор точки вполне определяет эту точку и называется её векторной координатой. Обозначение М( . В базисе , входящем в данный репер, вектор задаётся упорядоченной тройкой своих координат. Между множеством всех геометрических векторов и множеством всех упорядоченных троек действительных чисел тоже устанавливается взаимно однозначное соответствие. Итак, М « « {x, y, z}. Отсюда следует, что между множеством всех точек пространства и множеством всех упорядоченных троек действительных чисел устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Следовательно, любая точка пространства вполне определяется упорядоченной тройкой действительных чисел. Определение 18. Аффинными координатами точки в репере R = называются координаты её радиуса-вектора в базисе, входящем в этот репер. М(х, у, z)R Û . Замечание. Если зафиксирован только один репер, то координаты точки можно обозначать М(х, у, z).

Итак, введение аффинных координат позволяет каждую точку плоскости (пространства) характеризовать парой (тройкой) действительных чисел, т.е. перейти с геометрического языка на язык алгебры. Частным случаем аффинной системы координат является прямоугольная система координат.

Определение 19. Ортонормированным репером называется совокупность фиксированной точки и фиксированного ортонормированного базиса, т.е. на плоскости ( и в пространстве). Аффинная система координат (АСК), которая задаётся ортонормированным репером, называется прямоугольной декартовой системой координат (ПДСК).

Аффинные задачи.

1. Координаты вектора, заданного координатами его концов.

На плоскости Дано: R = , А(х1, у1), В(х2, у2). Найти координаты вектора (рис.19). Рис. 22 Решение. А(х1, у1) Þ , В(х2, у2) Þ . Так как , то .

В пространстве Дано: R = , А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2). Найти координаты вектора (рис. 191). Рис. 221 Решение. А(х1, у1, z1) Þ , В(х2, у2, z2) Þ . Так как , то .

2. Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении.

Зная координаты двух точек А и В, найти координаты такой точки С, что (*).

Замечание. Из условия (*) следует, что точки А, В, С лежат на одной прямой. Если l > 0, то точка С лежит между точками А и В. Если l < 0, но ½l½> 1, то точка С лежит вне отрезка АВ

со стороны точки В. Если l < 0, но ½l½< 1, то точка С лежит вне отрезка АВ со стороны точки А. Если l = 1, то С – середина отрезка АВ. Очевидно, всегда l ¹ - 1.

Решение. Приведём решение в случае плоскости. В случае пространства решение проведите самостоятельно.

Пусть С(х, у, z). Тогда , . Перепишем равенство (*) в координатах. Получим х - х₁ = l(х₂- х), у - у₁ = l(у₂ - у). Отсюда

Метрические задачи.

Замечание. Метрические задачи можно решать в любой АСК, но рациональные вычислительные формулы получаются в ПДСК.

1. Расстояние между точками.

На плоскости Дано: , А(х1, у1), В(х2, у2). Найти ½АВ½. Решение. ½АВ½ = . Так как и базис ортонормированный, то .

В пространстве Дано: , А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2). Найти ½АВ½. Решение. ½АВ½ = . Так как и базис ортонормированный, то .

2. Угол, заданный тремя точками.

Приведём решение этой задачи в случае пространства. Для плоскости решение проведите самостоятельно.

Дано: , А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2), С(х3, у3, z3). Найти ÐВАС.   Решение. . Перепишем в координатах: