Элементы теории гильбертовых пространств.

1. Бесконечномерное евклидово пространство . Норма в .

2. Ортонормированные системы в . Примеры. Ряд Фурье.

3. Замкнутые и полные системы векторов в . Сходимость по норме и слабая сходимость в .

4. Компактные и слабо компактные множества в . Полнота и сепарабельность пространств.

5. Линейные функционалы в . Непрерывные и ограниченные линейные функционалы. Норма линейного функционала.

6. Пространство бесконечных последовательностей l².

7. Пространство интегрируемых функций

8. Изоморфизм пространств l² и .

9. Определение гильбертового пространства. Примеры.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

ПО КУРСУ "ВЫСШАЯ АЛГЕБРА" (третий семестр)

67. Найти матрицу оператора сопряженного к линейному оператору по заданной матрице оператора и матрице Грамма :

а) : ; б) : .

68. Найти матрицу оператора сопряженного к линейному оператору по заданной матрице оператора и скалярному произведению:

а) , ;

б) , ;

в) , .

69. Оператор переводит векторы в векторы соответственно. Найти оператор , если базис в котором заданы , - ортонормирован:

а) ; ;

б) ; .

70. Оператор задан матрицей в базисе , где . Найти в том же базисе.

71. Оператор задан матрицей в базисе , где . Найти в том же базисе.

72. В евклидовом пространстве полиномов степени не выше 2 со скалярным произведением (здесь и коэффициенты полиномов и при ) задан оператор . Найти в следующих базисах: а) ; б) .

73. В евклидовом пространстве полиномов степени не выше 2 со скалярным произведением задан оператор . Найти в следующих базисах: а) ; б) .

74. Пусть в унитарном пространстве дифференцируемых и периодичных с периодом функций, скалярное произведение имеет вид: . Доказать, что оператор - эрмитов.

75. Установить является ли оператор самосопряженным, если оператор задан матрицей в базисе с матрицей Грамма :

а) ; б) ;

в) .

76. Оператор задан матрицей в базисе с матрицей Грамма . Будет ли оператор - эрмитовым?

77. Установить, является ли ортогональным оператор , действующий на векторы ортонормированного базиса по формулам:

а) ; б) .

78. Установить, является ли оператор унитарным, если действует на векторы ортонормированного базиса по формулам:

.

79. Установить, является ли ортогональным линейный оператор, заданный в ортонормированном базисе матрицей:

.

80. Установить, является ли ортогональным оператор , если он задан матрицей в базисе , а векторы выражаются через векторы ортонормированного базиса :

а) ;

б) ;

в) .

81. Построить собственный ортонормированный базис самосопряженного оператора, который, в некотором ортонормированном базисе, задан матрицей:

а) ; б) .

82. Построить собственный ортонормированный базис эрмитового оператора, который, в некотором ортонормированном базисе, задан матрицей:

а) ; б) ; в) .

83. Построить собственный ортонормированный базис унитарного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:

а) ; б) ; в) .

84. Привести матрицу к диагональному виду.

85. Найти:

а) , ; б) , ; в) , ;

г) , ; д) , ; е) , .

86. Установить, являются ли следующие квадратичные формы положительно определенными:

а) ;

б) .

87. Установить, при каких следующие квадратичные формы являются положительно определенными:

а) ;

б) .

88. Найти ортонормированный базис, в котором следующие квадратичные формы (заданные тоже в ортонормированном базисе) имеют диагональный вид:

а) ;

б) .

89. Привести следующие квадратичные формы к нормальному виду:

а) ;

б) ;

в) .

90. С помощью одного преобразования привести пару форм к каноническому виду:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

91. Найти базис, взаимный к данному:

а) ;

б) .

92. Вектор задан своими координатами в том же базисе, в котором заданы координаты векторов двух взаимных базисов: и . Найти ковариантные и контравариантные координаты вектора .

93. Доказать инвариантность свойства антисимметрии тензора второго ранга .

94. Используя тензорную форму записи проверить тождества:

а) ;

б) .

95. Используя тензорную форму записи, вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

(здесь - постоянные векторы, - радиус вектор).

96. Используя тензорную форму записи, доказать тождества:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

(здесь - векторные поля, - скалярное поле).

97. Вычислить (используя интегральные теоремы тензорного исчисления) , где - постоянные векторы, - орт нормали к поверхности , которая ограничивает объем .

32. Найти результат действия перестановок:

а) ; б) ;

в) ; г) .

98. Возвести перестановки в степень:

а) ; б) ;

в) ; г) .

99. Найти перестановку, обратную перестановке: .

100. Найти .

101. Найти:

а) ; б)

102. Если группа перестановок чисел, то найти все подгруппы .

103. Построить смежные классы к в , где и - группы корней 3^-й и 6^-й степени из 1, соответственно.

104. Построить смежные классы к в , где и - группы корней 4^-й и 8^-й степени из 1, соответственно.

105. Доказать, что - нормальный делитель группы , где и - группы корней 3^-й и 6^-й степени из 1, соответственно.

106. Доказать, что - нормальный делитель группы , где и - группы корней 4^-й и 8^-й степени из 1, соответственно.

107. Найти все гомоморфизмы в , где группа корней n^-й степени из 1.

108. Найти фактор-группу , если:

а) - группа целых чисел, - подгруппа чисел, кратных заданному целому

числу ;

б) - группа всех вещественных чисел по сложению, - подгруппа целых

чисел;

в) - группа всех комплексных чисел по сложению, - группа веществен-

ных чисел тоже по сложению;

г) - группа ненулевых комплексных чисел по умножению, - группа

положительных вещественных чисел по умножению;

д) - группа ненулевых комплексных чисел по умножению, - подгруппа

чисел по модулю равных 1.