Элементы теории гильбертовых пространств.
1. Бесконечномерное евклидово пространство . Норма в
.
2. Ортонормированные системы в . Примеры. Ряд Фурье.
3. Замкнутые и полные системы векторов в . Сходимость по норме и слабая сходимость в
.
4. Компактные и слабо компактные множества в . Полнота и сепарабельность пространств.
5. Линейные функционалы в . Непрерывные и ограниченные линейные функционалы. Норма линейного функционала.
6. Пространство бесконечных последовательностей l2.
7. Пространство интегрируемых функций
8. Изоморфизм пространств l2 и .
9. Определение гильбертового пространства. Примеры.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
ПО КУРСУ "ВЫСШАЯ АЛГЕБРА" (третий семестр)
67. Найти матрицу оператора сопряженного к линейному оператору
по заданной матрице оператора
и матрице Грамма
:
а) :
; б)
:
.
68. Найти матрицу оператора сопряженного к линейному оператору
по заданной матрице оператора
и скалярному произведению:
а) ,
;
б) ,
;
в) ,
.
69. Оператор переводит векторы
в векторы
соответственно. Найти оператор
, если базис в котором заданы
,
- ортонормирован:
а) ;
;
б) ;
.
70. Оператор задан матрицей в базисе
, где
. Найти
в том же базисе.
71. Оператор задан матрицей в базисе
, где
. Найти
в том же базисе.
72. В евклидовом пространстве полиномов степени не выше 2 со скалярным произведением (здесь
и
коэффициенты полиномов
и
при
) задан оператор
. Найти
в следующих базисах: а)
; б)
.
73. В евклидовом пространстве полиномов степени не выше 2 со скалярным произведением задан оператор
. Найти
в следующих базисах: а)
; б)
.
74. Пусть в унитарном пространстве дифференцируемых и периодичных с периодом функций, скалярное произведение имеет вид:
. Доказать, что оператор
- эрмитов.
75. Установить является ли оператор самосопряженным, если оператор
задан матрицей в базисе с матрицей Грамма
:
а) ; б)
;
в) .
76. Оператор задан матрицей в базисе с матрицей Грамма
. Будет ли оператор
- эрмитовым?
77. Установить, является ли ортогональным оператор , действующий на векторы ортонормированного базиса по формулам:
а) ; б)
.
78. Установить, является ли оператор унитарным, если
действует на векторы ортонормированного базиса по формулам:
.
79. Установить, является ли ортогональным линейный оператор, заданный в ортонормированном базисе матрицей:
.
80. Установить, является ли ортогональным оператор , если он задан матрицей в базисе
, а векторы
выражаются через векторы ортонормированного базиса
:
а) ;
б) ;
в) .
81. Построить собственный ортонормированный базис самосопряженного оператора, который, в некотором ортонормированном базисе, задан матрицей:
а) ; б)
.
82. Построить собственный ортонормированный базис эрмитового оператора, который, в некотором ортонормированном базисе, задан матрицей:
а) ; б)
; в)
.
83. Построить собственный ортонормированный базис унитарного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:
а) ; б)
; в)
.
84. Привести матрицу к диагональному виду.
85. Найти:
а) ,
; б)
,
; в)
,
;
г) ,
; д)
,
; е)
,
.
86. Установить, являются ли следующие квадратичные формы положительно определенными:
а) ;
б) .
87. Установить, при каких следующие квадратичные формы являются положительно определенными:
а) ;
б) .
88. Найти ортонормированный базис, в котором следующие квадратичные формы (заданные тоже в ортонормированном базисе) имеют диагональный вид:
а) ;
б) .
89. Привести следующие квадратичные формы к нормальному виду:
а) ;
б) ;
в) .
90. С помощью одного преобразования привести пару форм к каноническому виду:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) .
91. Найти базис, взаимный к данному:
а) ;
б) .
92. Вектор задан своими координатами в том же базисе, в котором заданы координаты векторов двух взаимных базисов:
и
. Найти ковариантные и контравариантные координаты вектора
.
93. Доказать инвариантность свойства антисимметрии тензора второго ранга .
94. Используя тензорную форму записи проверить тождества:
а) ;
б) .
95. Используя тензорную форму записи, вычислить:
а) ; б)
; в)
; г)
;
д) ; е)
; ж)
; з)
.
(здесь - постоянные векторы,
- радиус вектор).
96. Используя тензорную форму записи, доказать тождества:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
(здесь - векторные поля,
- скалярное поле).
97. Вычислить (используя интегральные теоремы тензорного исчисления) , где
- постоянные векторы,
- орт нормали к поверхности
, которая ограничивает объем
.
32. Найти результат действия перестановок:
а) ; б)
;
в) ; г)
.
98. Возвести перестановки в степень:
а) ; б)
;
в) ; г)
.
99. Найти перестановку, обратную перестановке: .
100. Найти .
101. Найти:
а) ; б)
102. Если группа перестановок
чисел, то найти все подгруппы
.
103. Построить смежные классы к в
, где
и
- группы корней 3-й и 6-й степени из 1, соответственно.
104. Построить смежные классы к в
, где
и
- группы корней 4-й и 8-й степени из 1, соответственно.
105. Доказать, что - нормальный делитель группы
, где
и
- группы корней 3-й и 6-й степени из 1, соответственно.
106. Доказать, что - нормальный делитель группы
, где
и
- группы корней 4-й и 8-й степени из 1, соответственно.
107. Найти все гомоморфизмы в
, где
группа корней n-й степени из 1.
108. Найти фактор-группу , если:
а) - группа целых чисел,
- подгруппа чисел, кратных заданному целому
числу ;
б) - группа всех вещественных чисел по сложению,
- подгруппа целых
чисел;
в) - группа всех комплексных чисел по сложению,
- группа веществен-
ных чисел тоже по сложению;
г) - группа ненулевых комплексных чисел по умножению,
- группа
положительных вещественных чисел по умножению;
д) - группа ненулевых комплексных чисел по умножению,
- подгруппа
чисел по модулю равных 1.