Евклидовы и унитарные пространства.
Часть 1. Второй семестр.
Линейные пространства.
1. Внутренние и внешние операции на множествах. Группы. Поля. Линейные пространства. Примеры.
2. Линейные пространства. Следствия из аксиом линейного пространства. Примеры линейных пространств.
3. Линейная комбинация векторов. Линейная оболочка системы векторов. Полные системы векторов. Примеры.
4. Линейно независимые системы векторов. Связь между полными и линейно независимыми системами векторов.
5. Базис линейного пространства. Размерность линейного пространства. Координаты вектора в заданном базисе. Примеры.
6. Изоморфизм линейных пространств.
7. Понятие подпространства. Базис и размерность линейных подпространств. Линейные многообразия.
8. Сумма, объединение и пересечение подпространств. Формула Грассмана.
9. Прямая сумма подпространств. Размерность и коразмерность подпространства.
10. Проекция вектора на подпространство, параллельно другому подпространству.
Алгебра матриц.
1. Определение матрицы. Линейное пространство матриц порядка 
.
2. Квадратная, симметричная, антисимметричная матрицы. Линейные пространства симметричных и антисимметричных матриц.
3. Произведение матриц. Алгебра матриц. Транспонирование, комплексное и эрмитовое сопряжение матрицы. Матрицы треугольного вида.
Евклидовы и унитарные пространства.
1. Евклидовы пространства. Скалярное произведение в евклидовом пространстве и его свойства.
2. Длина вектора в евклидовом пространстве, угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника.
3. Ортогональные и ортонормированные системы векторов в евклидовом пространстве. Скалярное произведение в ортонормированном базисе.
4. Процесс Штурма ортогонализации системы векторов.
5. Изоморфизм евклидовых пространств.
6. Унитарные пространства. Скалярное произведение в унитарном пространстве и его свойства.
7. Длина вектора в унитарном пространстве. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника.
8. Ортогональные и ортонормированные системы в унитарном пространстве. Скалярное произведение в ортонормированном базисе.
9. Ортогональное дополнение к подпространству. Свойства ортогонального дополнения.
10. Представление пространства в виде прямой суммы подпространства и его ортогонального дополнения.
11. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора на подпространство.
12. Расстояние между вектором и подпространством, вектором и многообразием.
13. Угол между вектором и подпространством евклидового пространства, угол между вектором и многообразием евклидового пространства.
Метрические и нормированные пространства.
1. Метрические пространства. Предел последовательности в метрическом пространстве.
2. Шары в метрическом пространстве. Ограниченные множества. Предельные точки.
3. Полнота метрических пространств. Теорема о вложенных шарах.
4. Нормированные пространства. Связь нормированных и метрических пространств.
5. Покоординатная сходимость и сходимость по норме, связь между ними. Полнота нормированных пространств.
Теория определителей.
1. Линейные функционалы на линейном пространстве. Пространство линейных функционалов.
2. Билинейные функционалы на линейном пространстве. Симметричные и антисимметричные билинейные функционалы.
3. Полилинейные функционалы на линейном пространстве. Симметричные, антисимметричные, абсолютно симметричные и абсолютно антисимметричные полилинейные функционалы.
4. Определитель квадратной матрицы, как полилинейный абсолютно антисимметричный функционал. Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядка.
5. Свойства определителей.
6. Разложение определителя по элементам строки или по элементам столбца.
7. Миноры 
порядка, их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.
8. Метод вычисления определителей порядка приведением к треугольному виду.
9. Метод выделения линейных множителей при вычислении определителей порядка. Определитель Вандермонда.
10. Метод рекуррентных соотношений при вычислении определителя порядка.
11. Метод представления определителя в виде суммы двух определителей при вычислении определителей порядка.
12. Метод изменения элементов определителя при вычислении определителей порядка.
Системы линейных уравнений.
1. Системы линейных уравнений. Терминология и постановка задачи.
2. Формулы Крамера решения неоднородных систем линейных уравнений.
3. Обратная матрица, ее свойства и нахождение.
4. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
5. Преобразования матрицы, сохраняющие ее ранг.
6. Однородные системы линейных уравнений. Условие существования нетривиальных решений.
7. Пространство решений однородной системы линейных уравнений. Его базис и размерность.
8. Неоднородные системы линейных уравнений, условие совместности. Теорема Кронекера-Капелли.
9. Условие единственности решения системы линейных уравнений и условие неопределенности системы.
10. Теорема об общем решении неоднородной системы линейных уравнений.
11. Многообразие решений системы неоднородных линейных уравнений. Его базис и размерность.
12. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
Линейные операторы.
1. Определение линейного оператора. Действия над линейными операторами. Пространство и алгебра линейных операторов.
2. Связь линейных операторов с матрицами. Закон умножения матриц.
3. Ядро и образ линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора.
4. Невырожденный линейный оператор. Обратный оператор и его свойства.
5. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их существование и нахождение.
6. Спектр линейного оператора. Инвариантные подпространства, их существование и нахождение.
Преобразования при изменении базиса.
1. Матрица и оператор перехода из одного базиса в другой. Преобразование координат вектора при изменении базиса.
2. Матрица и оператор перехода из одного базиса в другой. Преобразование коэффициентов линейных форм при изменении базиса.
3. Матрица и оператор перехода из одного базиса в другой. Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса.
4. Матрица и оператор перехода из одного базиса в другой. Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса
5. Матрица и оператор перехода из одного базиса в другой. Последовательные преобразования при изменении базиса.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
ПО КУРСУ "ВЫСШАЯ АЛГЕБРА" (второй семестр)
1. Образуют ли линейное пространство все функции вида 
, где 
и 
- произвольные числа?
2. Образуют ли линейное пространство все непрерывные функции, обращающиеся в 3 при 
?
3. Образуют ли линейное пространство все непрерывные функции, обращающиеся в 0 при 
?
4. В пространстве полиномов степени не выше 3, является ли подпространством совокупность полиномов у которых 
?
5. Найти базис и размерность подпространства многочленов, степени не выше 
, удовлетворяющих условию: 
.
6. Найти базис и размерность подпространства полиномов, степени не выше 
и удовлетворяющих условию: 
.
7. Найти базис и размерность линейной оболочки, натянутой на векторы: 
.
8. Найти размерность линейного подпространства, порожденного векторами: 
.
9. Найти размерность и базис линейной оболочки, натянутой на систему векторов: а) 
;
б) 
.
10. Найти координаты вектора 
в базисе
.
11. Показать, что векторы 
образуют базис и найти координаты вектора 
в этом базисе.
12. Найти координаты полинома 
в базисе 
линейного пространства полиномов степени не выше .
13. Найти координаты вектора 
в ортогональном базисе 
, если 
.
14. Являются ли векторы 
линейно независимыми или не являются?
15. Найти угол между векторами 
и 
, если
.
16. Найти матрицу Грамма системы векторов 
, если
.
17. Найти матрицу Грамма системы векторов 
, если
.
18. Ортогонализовать следующие системы векторов, которые заданы своими координатами в стандартном ортонормированном базисе:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
19. В пространстве полиномов степени не выше 2, введено скалярное произведение: 
. В этом пространстве ортогонализовать систему векторов .
20. Ортогонализовать векторы 
, если .
21. Проверив, что билинейная форма 
определяет скалярное произведение, в этом скалярном произведении ортогонализовать системы векторов:
а) 
;
б) 
.
22. Ортогонализовать следующие системы векторов с указанными скалярными произведениями:
а) , ;
б) , 
;
в) 
, 
;
г) 
, .
23. Дополнить следующие системы векторов до ортонормированного базиса:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
24. Найти произведение матриц:
а) 
; б) 
.
25. Найти ранг матрицы:
а) 
; б) 
; в) 
.
26. Найти ранг и базисный минор матрицы:
а) 
; б) 
.
27. Найти матрицу, обратную к заданной матрице:
а) 
; б) 
; в) 
.
28. Вычислить 
, если:
а ) 
, б) 
, в) 
; 
; 
.
29. Решить матричные уравнения:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
30. Сколько миноров k -го порядка содержат определитель порядка ?
31. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определители:
а) 
; б) 
; в) 
.
32. Вычислить определители
а) 
; б) 
; в) 
.
32. Решить уравнения:
а) 
; б) 
.
33. Найти общее решение следующих однородных систем линейных уравнений:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
34. Решить систему по правилу Крамера: 
.
35. Решить следующие системы неоднородных уравнений:
а) 
; б) 
;
в) 
.
36. Подобрать 
так чтобы система уравнений имела решения:
а) 
; б) 
.
37. Будет ли линейным оператором в пространстве всех многочленов 
оператор дифференцирования 
?
38. Доказать, что оператор 
в трехмерном пространстве, где 
- постоянный вектор, является линейным оператором.
39. Найти матрицу оператора 
в указанном базисе пространства полиномов степени не выше :
а) 
; б) 
.
40. Найти матрицу оператора 
в базисе 
.
41. Найти матрицу оператора 
в базисе 
.
42. Доказать, что оператор 
является линейным и отображает пространство 
(функций, интегрируемых на 
) на пространство многочленов первой степени от 
и 
. Найти матрицу этого оператора в подпространстве, базисом которого является система векторов 
.
43. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного своей матрицей:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
.
44. Дана матрица 
и полином 
. Найти собственные числа и собственные векторы оператора 
.
45. Найти матрицу билинейной формы 
в базисе
.
46. Найти матрицу билинейной формы 
в базисе
.
47. Найти матрицу билинейной формы 
в базисе
.
48. Найти матрицу билинейной формы 
в базисе .
49. Определить число положительных и отрицательных канонических коэффициентов для квадратичной формы: 
.
50. Найти все значения параметра , при которых следующие квадратичные формы являются положительно определенными:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
51. Привести следующие квадратичные формы к каноническому виду:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
;
ж) 
;
з) 
;
и) 
.
52. Найти ортогональную проекцию 
и ортогональную составляющую 
вектора 
на подпространство, порожденное системой векторов 
:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
53. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора 
на подпространство 
, определяемое системой уравнений 
.
54. Найти проекцию вектора 
на подпространство с базисом 
, если скалярное произведение имеет вид: .
55. Найти проекцию вектора 
на подпространство с базисом , если скалярное произведение имеет вид: 
.
56. Найти угол между вектором и линейной оболочкой L 
:
а) 
;
б) 
.
57. Найти угол между вектором 
и линейным подпространством, натянутым на векторы 
:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
58. Найти расстояние между вектором 
и линейной оболочкой векторов 
.
59. Найти расстояние между вектором 
и линейным подпространством, решений системы: 
.
60. Найти расстояние от вектора 
до гиперплоскости, заданной системой уравнений: 
.
61. Составить формулы преобразования координат при переходе от базиса 
к базису 
.
62. В стандартном базисе найти матрицу оператора, переводящего векторы 
в векторы 
соответственно:
а) 
;
б) 
.
63. Найти матрицу перехода от базиса 
к базису 
пространства многочленов степени не выше .
64. Каковы будут координаты векторов 
и 
, если векторы нового базиса выражаются через векторы старого базиса по формулам: 
.
65. Линейный оператор в стандартном базисе задан матрицей 
. Найти матрицу указанного линейного оператора в базисе 
.
66. Найти матрицу билинейной формы 
, заданной в стандартном базисе, в новом базисе 
:
а) 
,
;
б) 
,
;
в) 
,
.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
Часть 2. Третий семестр
Эрмитовы формы.
14. Полуторалинейные эрмитовы формы. Квадратичные формы в унитарном пространстве.
15. Приведение квадратичной формы и пары квадратичных форм к каноническому виду.
Элементы теории тензоров.
7. Определитель Грамма. Линейная зависимость и независимость системы векторов.
8. Взаимные базисы. Ковариантные и контравариантные координаты векторов.
9. Преобразование координат векторов при изменении базиса. Ковариантные и контравариантные координаты. Формулы Гиббса..
10. Понятие тензора. Примеры тензоров.
11. Основные операции над тензорами.
12. Афинные ортогональные тензоры. Операции над афинными ортогональными тензорами.
13. Признак тензорности величины. О свойствах симметрии тензоров.
14. Псевдотензоры. Примеры псевдотензоров.
15. Алгебраический символ Леви-Чивита.
16. Связь тензоров 2-го ранга с матрицей линейного оператора и с определителями.
17. Тензорные поля. Дифференцирование тензорного поля по координатам.
18. Дифференциальные операции 1-го порядка. Градиент, дивергенция и ротор тензорного поля.
19. Дифференциальные операции 2-го порядка для тензорных полей.
20. Интегральные формулы тензорного анализа. Формула Гаусса-Остроградского и формула Стокса для тензорных полей.
Элементы теории групп.
6. Определение группы. Подгруппы. Примеры.
7. Группа самосовмещений правильного многоугольника (на примере треугольника).
8. Группа перестановок. Таблица Кэли для группы перестановок трех элементов.
9. Свойства групп. Изоморфные группы. Примеры.
10. Смежные классы. Нормальные делители группы.
11. Гомоморфизмы групп. Фактор-группа.
12. Теоремы о гомоморфизмах групп.
13. Группы линейных преобразований. Ортогональная группа, группа Лоренца.
14. Линейные представления групп. Приводимые и неприводимые представления. Примеры.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
ПО КУРСУ "ВЫСШАЯ АЛГЕБРА" (третий семестр)
67. Найти матрицу 
оператора сопряженного к линейному оператору по заданной матрице оператора и матрице Грамма 
:
а) 
: 
; б) 
: 
.
68. Найти матрицу оператора сопряженного к линейному оператору по заданной матрице оператора и скалярному произведению:
а) 
, 
;
б) 
, 
;
в) 
, 
.
69. Оператор переводит векторы 
в векторы 
соответственно. Найти оператор , если базис в котором заданы , - ортонормирован:
а) 
; 
;
б) 
; 
.
70. Оператор 
задан матрицей в базисе 
, где 
. Найти в том же базисе.
71. Оператор 
задан матрицей в базисе 
, где 
. Найти в том же базисе.
72. В евклидовом пространстве полиномов степени не выше 2 со скалярным произведением 
(здесь 
и 
коэффициенты полиномов 
и 
при 
) задан оператор 
. Найти в следующих базисах: а) 
; б) 
.
73. В евклидовом пространстве полиномов степени не выше 2 со скалярным произведением 
задан оператор . Найти в следующих базисах: а) ; б) .
74. Пусть в унитарном пространстве дифференцируемых и периодичных с периодом 
функций, скалярное произведение имеет вид: 
. Доказать, что оператор 
- эрмитов.
75. Установить является ли оператор самосопряженным, если оператор задан матрицей в базисе с матрицей Грамма :
а) 
; б) 
;
в) 
.
76. Оператор задан матрицей 
в базисе с матрицей Грамма 
. Будет ли оператор - эрмитовым?
77. Установить, является ли ортогональным оператор , действующий на векторы ортонормированного базиса по формулам:
а) 
; б) 
.
78. Установить, является ли оператор унитарным, если действует на векторы ортонормированного базиса по формулам:
.
79. Установить, является ли ортогональным линейный оператор, заданный в ортонормированном базисе матрицей:
.
80. Установить, является ли ортогональным оператор , если он задан матрицей в базисе 
, а векторы 
выражаются через векторы ортонормированного базиса :
а) 
;
б) 
;
в) 
.
81. Построить собственный ортонормированный базис самосопряженного оператора, который, в некотором ортонормированном базисе, задан матрицей:
а) 
; б) 
.
82. Построить собственный ортонормированный базис эрмитового оператора, который, в некотором ортонормированном базисе, задан матрицей:
а) 
; б) 
; в) 
.
83. Построить собственный ортонормированный базис унитарного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:
а) 
; б) 
; в) 
.
84. Привести матрицу 
к диагональному виду.
85. Найти:
а) 
, 
; б) 
, 
; в) 
, 
;
г) , 
; д) , 
; е) , 
.
86. Установить, являются ли следующие квадратичные формы положительно определенными:
а) 
;
б) 
.
87. Установить, при каких следующие квадратичные формы являются положительно определенными:
а) 
;
б) 
.
88. Найти ортонормированный базис, в котором следующие квадратичные формы (заданные тоже в ортонормированном базисе) имеют диагональный вид:
а) 
;
б) 
.
89. Привести следующие квадратичные формы к нормальному виду:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
90. С помощью одного преобразования привести пару форм к каноническому виду:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
.
91. Найти базис, взаимный к данному:
а) 
;
б) 
.
92. Вектор 
задан своими координатами в том же базисе, в котором заданы координаты векторов двух взаимных базисов: 
и 
. Найти ковариантные и контравариантные координаты вектора .
93. Доказать инвариантность свойства антисимметрии тензора второго ранга 
.
94. Используя тензорную форму записи проверить тождества:
а) 
;
б) 
.
95. Используя тензорную форму записи, вычислить:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
.
(здесь 
- постоянные векторы, 
- радиус вектор).
96. Используя тензорную форму записи, доказать тождества:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
(здесь - векторные поля, 
- скалярное поле).
97. Вычислить (используя интегральные теоремы тензорного исчисления) 
, где 
- постоянные векторы, 
- орт нормали к поверхности 
, которая ограничивает объем 
.
&n