Теорема (основное тригонометрическое тождество).
Для любого угла справедливо тождество
.
Доказательство.
Пусть дан некоторый угол
. Тогда координаты конца радиуса тригонометрического круга, составляющего угол
с положительным направлением оси
, будут равны по определению
, (рис.18). Так как квадрат расстояния между любыми двумя точками плоскости, заданными своими координатами, равен сумме квадратов разностей одноимённых координат, то квадрат расстояния от точки
до точки
(равный единице, поскольку
- конец радиуса единичной длины) определяется равенством
,
откуда следует .
Между основными тригонометрическими функциями произвольного аргумента α имеются следующие соотношения.
1.Основное тригонометрическое тождество
.
Доказательство тождества приведено выше.
2.По определению тангенса и котангенса выполнено
, для
,
;
, для
,
.
3.Перемножая последние два соотношения, получим
для
,
.
4. Разделив основное тригонометрическое тождество почленно на и
и выполнив несложные преобразования, получим соответственно
для
,
.
Аналогично для
,
.
23. Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента
Формулы сложения позволяют выразить ,
и
через тригонометрические функции угла
.
Рассмотрим формулы:
Положим в этих формулах равным
. Получим:
Полученные формулы: называют формулами двойного угла.
Замечание. Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, формулу косинуса двойного угла можно переписать в виде
.
Из формул двойного аргумента легко выводятся формулы половинного аргумента:
,
и
24.
Рассмотрим тригонометрическую окружность. Повернем радиус , равный
, около точки
на угол
и на угол
. Получим радиусы
и
.
Найдем скалярное произведение векторов и
Пусть координаты точки равны
, координаты точки
равны
. Эти же координаты имеют соответственно и векторы
и
.
По определению скалярного произведения векторов:
Выразим скалярное произведение и
через тригонометрические функции углов
и
. Из определения косинуса и синуса следует, что
Подставив значения в правую часть равенства
, получим
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторов, имеем:
.
Угол BOC между векторами и
может быть равен
или
, либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов.
В любом из этих случаев, так как
Поэтому
Из равенств и
следует:
,
Поделив обе части равенства на , получаем
С помощью формулы легко получить следующую формулу
Так как
Поделим числитель и знаменатель на , получим
Поделим числитель и знаменатель на , получим
Аналогично для (проведите доказательство самостоятельно)
25. Преобразование суммы (разности) в произведение
Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций.
Чтобы представить в виде произведения сумму , положим
и
и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:
Решая систему
, получаем, что
и
, таким образом.
Аналогично, можно вывести формулы разности синусов, суммы и разности косинусов.
26. Преобразование произведения в сумму.
Произведение ;
;
можно представить в виде суммы тригонометрических функций.
Положим и
,
отсюда, решив систему: , получаем,
и
Воспользуемся формулами преобразования суммы в произведение:
27. Обратные тригонометрические функции. (Теорема о корне и теорема об обратной функции)
Теорема о корне:
Пусть функция возрастает (убывает) на промежутке
, число
– любое из значений, принимаемых функцией
на этом промежутке. Тогда уравнение
имеет единственный корень в промежутке
.
Теорема об обратной функции:
Если функция возрастает (убывает) на промежутке
, то она обратима и обратная к ней функция
, определённая на множестве значений функции
, так же является возрастающей (убывающей).
Арксинус
О. Функция возрастает на
и принимает все значения от
до
, значит по теореме о корне
в промежутке
уравнение
имеет единственный корень.
Это число называется арксинусом числа
и обозначается
.
Т.е. арксинусом числа называется такое число из промежутка
, синус которого равен
:
.
Так как функция
на промежутке
строго возрастает, значит, по теореме об обратной функции, она имеет обратную функцию:
, переобозначив переменные, получаем
Рассмотрим свойства этой функции:
1. Область определения функции:
.
2. Множество значений функции:
3. Периодичность:
Функция не периодическая, так как она строго возрастает на всей области определения (по теореме об обратной функции)
Чётность/нечётность
Из рисунка 19 видно, что , т.е. функция
нечетная