Второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида

, (17)

где - постоянные действительные числа, - известная непрерывная функция в интервале , называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Если в этом интервале, то уравнение принимает вид

(18)

Если уравнение (18) имеет те же коэффициенты, что и (17), то оно называется однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (17).

Для общего решения неоднородного уравнения (17) справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1 (о структуре общего решения неоднородного уравнения)

Общее решение неоднородного уравнения (17) есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения (18) и любого частного решения данного неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения (18) мы находить умеем, поэтому остается рассмотреть вопрос о нахождении частного решения уравнения (17).

Для нахождения частного решения можно применять метод вариации произвольных постоянных. Однако для уравнений с постоянными коэффициентами (17) существует более простой способ нахождения частного решения, если правая часть уравнения (17) имеет так называемый «специальный вид»:

I.

или

II.

В этих случаях частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов. Суть метода состоит в следующем: по виду правой части уравнения (17) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными (неизвестными) коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (17) и из полученного тождества находят значения неизвестных коэффициентов.

Случай I. Пусть правая часть уравнения имеет вид , где - многочлен степени . Тогда уравнение (17) запишется в виде

(19)

В этом случае частное решение ищется в виде:

, (20)

где - число, равное кратности как корня характеристического уравнения , т.е. - число, показывающее, сколько

раз является корнем характеристического уравнения; - многочлен степени , записанный с неопределенными коэффициентами .

Возможны следующие частные случаи:

а) Число не является корнем характеристического уравнения , т.е. . Поэтому . В этом случае частное решение нужно искать в виде

б) Число является однократным (простым) корнем характеристического уравнения, т.е. или , . Здесь . Частное решение следует искать в виде

.

в) Число является двукратным корнем характеристического уравнения , т.е. . В этом случае и частное решение ищем в виде

Особо отметим два частных случая уравнения (19):

1) , т.е. правая часть уравнения (19) является многочленом степени . В этом случае , т.к. . Поэтому формула (20) имеет вид ,

где - кратность как корня характеристического уравнения .

2) . Тогда есть многочлен нулевой степени, а значит const.

Пример 8Найти общее решение уравнения

(21)

Решение: Характеристическое уравнение имеет корни .

Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется формулой . Правая часть имеет вид .

Так как не является корнем характеристического уравнения ( ), то . Поэтому частное решение имеет вид ,

где - неопределенные коэффициенты. Для удобства эти коэффициенты обозначим через . Тогда частное решение следует искать в виде .

Коэффициенты определяются методом неопределенных коэффициентов. Для этого сначала находим производные:

Подставив найденные выражения в исходное уравнение (21), будем иметь

.

Приводя подобные члены, имеем:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях последнего тождества, получаем систему линейных уравнений:

Решая эту систему, находим

Следовательно, .

Общим решением исходного уравнения (21) будет

Пример 9Найти частное решение уравнения

Решение:

Здесь . Корнями характеристического уравнения являются числа Число совпадает с , т.е. . Поэтому . Частное решение ищем в виде:

. Коэффициенты A и B определяем методом неопределенных коэффициентов. Для этого находим производные:

Подставляя найденные выражения в исходное уравнение (22) и сокращая обе части на , получим тождество

или .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , имеем систему:

Решение этой системы есть

Итак, частное решение уравнения (22) имеет вид

.

Пример 10Решить задачу Коши

, , . (23)

Решение: Характеристическое уравнение имеет один корень кратности 2 (D=0). Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется формулой .

Правая часть уравнения имеет вид

, где

Число совпадает с обоими корнями характеристического уравнения, т.е. . Поэтому . Тогда частное решение следует искать в виде: .

Находим производные:

. Подставим эти выражения в исходное уравнение (23) и, сократим обе части на :

. Отсюда , .

Тогда частное решение уравнения (23) имеет вид .

Но это частное решение не удовлетворяет начальным условиям. Поэтому находим общее решение исходного уравнения (23): . Используя начальные условия , , получаем систему для вычисления значений и :

Подставив значения и в общее решение, найдем решение задачи Коши: .

Случай II. Правая часть уравнения (17) имеет вид , где и -многочлены степени и соответственно, и -действительные числа. Тогда уравнение (17) запишется в виде:

(24)

Доказывается, что в этом случае частное решение уравнения (24) следует искать в виде

, (25)

где - число, равное кратности как корня характеристического уравнения , , - многочлены степени с неопределенными коэффициентами, -наивысшая степень многочленов и , т.е. . Причем надо брать оба эти многочлена даже в том случае, когда один из многочленов и тождественно равен нулю.

После подстановки функции (25) в уравнение (24) сокращают обе части уравнения на и приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения. Другими словами, приравнивают коэффициенты при , , в левой и правой частях последнего тождества и получают необходимое количество уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов.

Пример 11Найти общее решение уравнения

(26)

Решение: Характеристическое уравнение имеет корни , . Общее решение однородного уравнения . Правая часть уравнения (26) имеет вид , т.е. - многочлены нулевой степени. Поэтому . По виду правой части уравнения составим комплексное число . Это число не является корнем характеристического уравнения, т.е. поэтому Следовательно, частное решение нужно искать в виде (25).

, (27) где .

Подставляем выражение (27) в уравнение (26). Для этого сначала находим производные:

Подставляя найденные выражения в исходное уравнение (26) и сокращая обе части на , получим тождество

.

Приравнивая коэффициенты при и , имеем систему:

Отсюда находим . Таким образом, частное решение имеет вид .

Тогда общее решение уравнения (26) определяется формулой

.

Пример 12 Указать вид частного решения уравнения

(28)

Решение: Характеристическое уравнение имеет корни , . Правая часть уравнения (28) имеет вид . Здесь , , , . Поэтому . По виду правой части составим число . Это число совпадает с одним корнем характеристического уравнения, т.е. , , так что . Следовательно, искомое частное решение надо искать в виде:

.

Часто правая часть уравнения содержит несколько слагаемых, каждое из которых принадлежит виду I или II. В этом случае частное решение ищется в соответствии с так называемом принципом суперпозиции (наложении) решений.

Теорема 3.2 (о наложении решений). Если -решение уравнения , а -решение уравнения , то сумма является решением уравнения .

Пример 13Найти общее решении уравнения

(29)

Решение: Характеристическое уравнение имеет корни . Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид . Правая часть состоит из суммы двух функции и . В соответствии с теоремой 3.2 частное решение этого уравнения можно искать в виде , где - частное решение уравнения

, (30)

а -частное решение уравнения

(31)

Сначала найдем частное решение . Число не является корнем характеристического уравнения, поэтому . Подставляя это выражение в уравнении (30) получаем . Сравнивая коэффициенты при и , имеем:

Поэтому .

Найдем частное решение уравнения (31). Число не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение имеет вид . Подставляя это выражение в уравнение (31) , находим . Следовательно, . Таким образом, частное решение данного уравнения имеет вид , а общее решение .

Задания для самостоятельного решения

Найти общие решения уравнений:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) .

Найти решения задач Коши:

11) , , ;

12) , , ;

13) , , ;

14) , , ;

15) , ,

Библиографический список

1 Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2ч.-М.:Высш.шк.Ч.2.-1996.-416с.

2 Зайцев И.А. Высшая математика: Учеб.-М.: Высш.шк., 1998.-409с.

3 Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учебное пособие: В 2-х т.-изд. стереотип.-М.: Интегралпресс, 1997 т.1.-416с.

4 Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.пособие:-М.:Высш.шк., 1990.-480с.

Подписано в печать 28.06.2006 г. Формат бумаги

Усл.печ.л. 2,44. Бумага типографская

Гарнитура «Таймс». Печать трафаретная. Заказ 518. тираж 100 экз.

4500010 г. Уфа, ул. 50 лет Октября, 34