Задача массового обслуживания

При решении задач массового обслуживания примем следующие обозначения: λ – интенсивность входного потока (число заявок в единицу времени);

μ – интенсивность выходного потока (число удовлетворенных заявок в единицу времени);

S – количество каналов обслуживания:

К – количество ожидающих обслуживания клиентов;

- интенсивность загрузки системы;

N = S + K – всего клиентов, находящихся в системе;

р_n – вероятность образования очереди из n заказов (включая находящийся в

- среднее число находящихся в системе заказов (длина очереди);

обслуживании);

Одноканальная система обслуживания с неограниченной очередью

Задача: В компанию приходят клиенты за консультацией о продаваемой продукции с интенсивностью 8 посещений в час. Работник компании тратит на обслуживание каждого клиента в среднем 6 минут. Необходимо определить вероятность нахождения в приемной комнате 1, 2 и 3-х клиентов, среднее количество клиентов за час, среднее количество ожидающих консультации клиентов, среднее время ожидания.

Решение: Исходные данные для нашей задачи следующие:

λ = 8; μ = 10 (60 мин./6 мин.); η = λ/μ = 0,8

(5.1)

Вероятность нахождения в системе обслуживания n клиентов определяется по формуле (5.1)

Среднее количество клиентов за час определяется по формуле (5.2)

(5.2)

Среднее количество, ожидающих клиентов определяется по формуле (5.3)

(5.3)

(5.4)

Среднее время ожидания своей очереди определяется по формуле (5.4)

Подставляя исходные данные в формулы (5.1) – (5.4) получим:

1. вероятность отсутствия клиентов р₀= 0,2

2. вероятность нахождения в приемной 1-го клиента р₁= 0,16

3. вероятность нахождения в приемной 2-х клиентов р₂= 0,13

4. вероятность нахождения в приемной 3-х клиентов р₃= 0,10

5. среднее количество клиентов, находящихся в приемной за 1 час - 4 человека.

6. Среднее количество ожидающих обслуживания клиентов - 3,2 человека в час

7. Среднее время ожидания в очереди - 0,4 часа (24 минуты).

Одноканальная система обслуживания с ограниченной очередью.

Задача: В условия предыдущей задачи вводим дополнительные сведения, а именно: количество мест в приемной комнате равно 4.

Решение: Исходные данные для такой задачи следующие:

λ = 8; μ = 10; η = 0,8; К = 4; N = S + K = 1 + 4 = 5.

(5.5)

Вероятность нахождения в системе обслуживания n клиентов определяется по формуле (5.5).

Среднее количество клиентов за час определяется по формуле (5.6)

	(5.6)

n = N/2, при η = 1

(5.7)

Среднее количество, ожидающих клиентов определяется по формуле (5.7)

(5.8)

Среднее время ожидания своей очереди определяется по формуле (5.8)

Подставляя исходные данные в формулы (5.5) – (5.8) получим:

1. вероятность отсутствия клиентов р₀= 0,27

2. вероятность нахождения в приемной 1-го клиента р₁= 0,22

3. вероятность нахождения в приемной 2-х клиентов р₂= 0,17

4. вероятность нахождения в приемной 3-х клиентов р₃ = 0,14

5. среднее количество клиентов, находящихся в приемной за 1 час ≈ 2 человека.

6. Среднее количество ожидающих обслуживания клиентов - 1,13 человека в час

7. Среднее время ожидания в очереди - 0,15 часа (9 минут).