Переход от изображения к оригиналу. Формулы разложения

Эти формулы позволяют найти оригинал, если изображение задано дробно-рациональной функцией:

Собственно формулу разложения можно применять только в том случае, когда высшая степень знаменателя выше высшей степени числителя. Если это не так, то сначала нужно поделить числитель на знаменатель, что и позволит привести F(p) к требуемому виду.

Пример:

,

.

Если m<n, то изображение записывают в виде: .

Характеристическое уравнение – выражение F₂(p)=0 и, в зависимости от корней в оригинале, появляются соответствующего вида слагаемые, каждое из которых соответствует простейшей дроби.

Чтобы не искать коэффициенты дробей из систем уравнений, пользуются формулами разложения. Они имеют вид:

1) Каждому простому корню характеристического уравнения в оригинале, будет соответствовать слагаемое , где ;

2) Среди корней есть пара комплексно сопряженных: , . Можно воспользоваться предыдущей формулой для каждого корня, но проверка показывает, что коэффициенты перед exp оказываются к.с.ч. и можно упростить процедуру, записывая ответ сразу для двух корней в виде: , где - корень с положительной мнимой частью.

Пример:

, ,

,

, .

3) Среди корней есть кратные или одинаковые, в этом случае для группы кратных корней получаются сложные выражения, но если таких корней всего два, им в оригинале будет соответствовать такая запись:

Пример:

,

Из примеров видно, что корню p_х=0 в оригинале соответствует величина, которую в классическом методе называют принужденной составляющей. Используя все вышеизложенное, можно в таком порядке рассчитывать переходной процесс.

(1) В схеме до коммутации находят и .

(2) Для схемы после коммутации записывают полную систему уравнений Кирхгофа и применяют к ней прямое преобразование Лапласа. В результате получают систему операторных уравнений.

(3) Из этой системы находят изображение искомой величины и переходят к оригиналу. Так обычно поступают, когда вся схема описывается одним уравнением. В сложных цепях этот путь не эффективен, так как он позволит убрать только один недостаток классического метода (поиск начальных условий). Второй недостаток – уравнения можно писать только по законам Кирхгофа – остался. Чтобы и его убрать, формулируют в операторной форме законы цепей и строят операторные схемы замещения.

Законы цепей в операторной форме

Применим к законам Кирхгофа для мгновенных значений прямое преобразование Лапласа.

Пример:

В некоторой схеме для некоторого узла имеем уравнение: . Изображение источника легко находится (см. начало операторного метода). Например, если .

Пусть в некотором контуре выполняется уравнение:

,

.

Тогда применяя преобразования Лапласа, получим: