Применение МКЭ для расчета стержневых систем
Расчет стержневых систем с помощью МКЭ приводит к тем же уравнениям, что и обычный метод перемещений, хотя подходы к их построению несколько отличаются по форме.
При этом КЭ рамы с 6 степенями свободы имеет на концах два узла, в каждом из которых введено по три связи – две линейных и одной моментной.
Матрица жесткости такого КЭ имеет 6 порядок и ее элементами являются реакции rij в шести введенных связях от единичных смещений этих связей.
Компонентами вектора приведеннойузловой нагрузки являются взятые со знаком минус реакции во введенных связях от приложенной к КЭ нагрузки, которые, в отличие от МП будем обозначать не Rip0 , а rip0:
{Pэ}= – [r1p0, r2p0, … , r6p0]Т,
где индексом «т» обозначена операция транспонирования.
Балочный конечный элемент, на примере которого мы рассмотрим процедуру анализа, имеет только четыре степени свободы. В качестве неизвестных такого КЭ выбирают неизвестные прогибы и углы поворотов в начальном и конечном сечениях, как и в обычном методе перемещений (рис. 7.1, а).
Анализ КЭ заключается в определении реакций во введенных связях {Sэ}= [S1, S2, S3, S4]Т от кинематических воздействий {Zэ}= [Z1, Z2, Z3, Z4]Т и от действующей местной нагрузки. Первая зависимость имеет вид:
{Sэ} = [Rэ]{Zэ}.
Для построения матрицы жесткости [Rэ] рассмотрим КЭ при единичных кинематических воздействиях (рис. 7.1, б), объединив соответствующие им функции формы в матрицу-строку:
[N] = [N1(x), N2(x), N3(x), N4(x)].
Этим функциям формы соответствуют уже известные эпюры моментов, приведенные на рис. 6.4 и 7.1, в, которые также объединим в вектор:
{M} = [M1(x), M2(x), M3(x), M4(x)]Т.
Учитывая, что для принятой системы координат зависимость между изгибающими моментами и прогибами имеет вид
M(x) = – EJ v''(x),
можно записать:
{M} = – EJ [N'']Т. (7.2)
Воспользовавшись соотношением (6.4):
rij = rji = Sò(`Mi0 ·`Mj0/EJ )ds ,
получим с учетом (7.2):
[Rэ] = (1/ EJ) ∫{M}{M}Тdx = EJ ∫ [N'']Т[N''] dx. (7.3)
Для построения вектора приведеннойузловой нагрузки учтем, что на основании принципа суперпозиции уравнение изогнутой оси КЭ можно представить в виде:
v(x) = Σ Ni (x) · Zi = [N]{Zэ}. (7.4)
Рис. 7.1
Поэтому, дополнив соотношение (6.5) работой распределенной нагрузки, приложенной к КЭ, и сменив обозначения, получим:
rip0 = – [S Pk · Nik + ∫ q(x) · Ni (x) dx].
Таким образом, искомый вектор приведеннойузловой нагрузки равен:
{Pэ}= S Pk ·[Nk]Т + ∫ q(x) [N]Т dx. (7.5)
Как видим, анализ КЭ сводится в конечном итоге к построению матрицы функций формы. Помимо методов, упомянутых в параграфе 6.3, эти функции можно, например, построить следующим способом.
Представим уравнение изогнутой оси КЭ в виде полинома:
v (x) = [H] {a}, (7.6)
где [H] = [1, x, x2, x3], а {a} = [a1, a1, a1, a1]Т.
Приравнивая (7.4) и (7.6) в узловых точках КЭ, то есть x1 = 0 и x2 = l, получим:
Z1 = v (0) = 1 + a1x1+ a2x12+ a3x13 ;
Z2 = v'(0) = a1+2a2x1+ 3a3x12 ;
Z3 = v (l) = 1 + a1x2 + a2x22 + a3x23 ;
Z4 = v'(l) = a1 +2a2x2+ 3a3x22,
или иначе
{Zэ} = [L] {a},
где [L] = [[H(x1)]T, [H'(x1)]T, [H(x2)]T, [H'(x2)]T]Т.
Обратная зависимость
{a} = [L]–1{Zэ}
после подстановки в (7.6) приводит с учетом (7.4) к искомой формуле:
[N] = [H] [L]–1. (7.7)
В скалярной форме последняя зависимость имеет вид:
N1(x) = 1 – 3ξ2 + 2 ξ3;
N2(x) = l (ξ – 2 ξ2 + ξ3);
N3(x) = 1 – 3η 2 + 2η 3;
N4(x) = l (– η + 2η 2 – η 3),
где ξ = x/l , η = (l – x)/l .
Подставляя (7.7) в (7.3), получим искомую матрицу жесткости КЭ балки:
[Rэ] = EJ ∫ [N¢¢]T×[N¢¢]dx = (EJ/l) 
.
Вектор приведенной узловой нагрузки находим по формуле (7.5). Для постоянной равномерно распределенной нагрузки q(x) = q он имеет вид:
{Pэ} = [P1, P2, P3, P4]Т = (ql/12)[ 6, l, 6, –l ]Т.
Примечание.
Двумерным аналогом балочного КЭ является прямоугольный КЭ с 12 степенями свободы для расчета плит, изогнутая поверхность которого аппроксимируют полиномом
w(x,y) = [H]{a},
где [H]= [1, x, y, x2, xy, y2, x3, x2y, xy2, y3, x3y, xy3].
В каждой из четырех узловых точек такого КЭ, расположенных в его вершинах, вводят по три связи: линейную, препятствующую вертикальным перемещениям в направлении оси Oz, и две моментные в направлениях осей Ox и Oy.
Этот элемент, как показали проведенные исследования, можно с успехом применять даже для расчета цилиндрических оболочек, если дополнительно ввести по две линейные связи в каждом узле, препятствующие его смещениям вдоль осей Ox и Oy локальной системы координат.
ЛИТЕРАТУРА
1. Куликов И.С.Расчет конструкций на деформируемом основании: Учебное пособие / И.С. Куликов. – Горький: Изд-во ГИСИ им. В.П.Чкалова, 1986. – 72 с.
2. Масленников А.М., Егоян А.Г. Основы строительной механики для архитекторов: Учебное пособие / А.М.Масленников, А.Г.Егоян. – Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1988. – 264 с.
3. Оксанович Л.В. Невидимый конфликт / Л.В.Оксанович. – М.: Стройиздат, 1981. – 191с.
4. Розин Л.А., Константинов И.А., Смелов В.А.Расчет статически определимых стержневых систем: Учебное пособие / Л.А.Розин, И.А.Константинов, В.А.Смелов. - Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1983. - 228 с.
5. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие / Под ред. А.А.Яблонского. – М.: Высш.шк., 1985. – 367 с.
6. Смирнов В.А., Иванов С.А., Тихонов М.А.Строительная механика: Учебник для вузов / В.А.Смирнов, С.А.Иванов, М.А.Тихонов. - М.:Стройиздат, 1984. - 208 с.
7. Rakowski G.Komputerowa mechanika konstrukcji / G. Rakowski. –Warszawa: Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, 1977. – 279 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие........................................................................................................ 3
Глава 1. Введение.............................................................................................. 4
1.1. Предмет строительной механики и ее задачи.................................... 4
1.2. Кинематический анализ сооружений................................................. 5
1.3. Основные уравнения строительной механики................................. 18
Глава 2. Расчет статически определимых стержневых систем................. 21
2.1. Свойства статически определимых систем...................................... 21
2.2. Внутренние усилия в рамах............................................................. 21
2.3. Расчет плоских ферм........................................................................ 31
2.4. Расчет трехшарнирных арок........................................................... 36
Глава 3. Определение перемещений в СОС................................................. 40
3.1. Работа сил, приложенных к твердому телу..................................... 40
3.2. Работа сил, приложенных к деформируемому телу....................... 42
3.3. Общие теоремы строительной механики......................................... 44
3.4. Работа внутренних сил плоской стержневой системы.................... 48
3.5. Интеграл Мора-Максвелла.............................................................. 50
3.6. Формула Верещагина....................................................................... 51
3.7. Примеры определения перемещений............................................... 54
Глава 4. Расчет статически неопределимых балок и рам методом сил... 58
4.1. Свойства статически неопределимых систем................................... 58
4.2. Суть метода сил. Канонические уравнения МС.............................. 60
4.3. Определение внутренних усилий в МС........................................... 65
4.4. Проверка правильности решения в МС.......................................... 68
4.5. О выборе ОС МС. Признаки ортогональности эпюр..................... 70
4.6. Расчет симметричных систем в МС................................................. 73
4.7. Расчет неразрезных балок................................................................ 76
Глава 5. Расчет статически неопределимых арок и ферм методом сил... 78
5.1. Расчет статически неопределимых ферм......................................... 78
5.2. Расчет статически неопределимых арок.......................................... 79
Глава 6. Расчет СНС методом перемещений............................................... 81
6.1. Суть метода перемещений. Основная система МП......................... 81
6.2. Канонические уравнения метода перемещений............................... 82
6.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений................... 83
6.4. Общий метод вычисление коэффициентов...................................... 86
Глава 7. Понятие о расчете СНС методом конечных элементов.............. 89
7.1. Суть метода конечных элементов.................................................... 89
7.2. Применение МКЭ для расчета стержневых систем......................... 90
Литература........................................................................................................ 93