О выборе ОС МС. Признаки ортогональности эпюр

Напомним, что ОС МС получается из заданной СНС удалением лишних связей и их заменой неизвестными реакциями. Выясним, насколько мы свободны в выборе ОС, и как оценить качество нашего выбора.

Отметим, прежде всего, следующие моменты:

1) ОС выбирается не единственным способом и более того, ее можно выбрать бесчисленным множеством способов. Например, для рамы на рис. 4.4, а в качестве ОС, помимо уже рассмотренной на рис. 4.4, б, могут быть выбраны системы, приведенные на рис. 4.4, в-д.

2) Главным и безусловным требованием, предъявляемым к ОС, является требование ее неподвижности, то есть в качестве ОС нельзя выбрать геометрически изменяемую систему (рис. 4.4, е) или мгновенно изменяемые системы (рис. 4.4, ж, з).

3) Надо стремиться к выбору рациональной основной системы, чтобы соответствующая ей система канонических уравнений:

d₁₁ X₁ + d₁₂ X₂ + d₁₃ X₃ + D_1p⁰ = 0, ü

d₂₁ X₁ + d₂₂ X₂ + d₂₃ X₃ + D_2p⁰ = 0, ý (4.3¢)

d₃₁ X₁ + d₃₂ X₂ + d₃₃ X₃ + D_3p⁰ = 0, þ

имела как можно более простую структуру.

Для рамы на рис. 4.4, а такой будет ОС, приведенная на рис. 4.4, в. Нетрудно убедиться, что для нее d₁₂ = d₂₁ = 0, d₂₃ = d₃₂ = 0 и система трех линейных алгебраических уравнений (4.3) распадается на систему двух уравнений для определения X₁ и X₃ и одно независимое от них уравнение для определения X₂:

d₁₁ X₁ + d₁₃ X₃ + D_1p⁰ = 0,

d₂₂ X₂ + D_2p⁰ = 0,

d₃₁ X₁ + d₃₃ X₃ + D_3p⁰ = 0.

Чтобы выяснить, почему данная ОС оказалась удобнее остальных и почему для нее d₁₂ = d₂₃ = 0 , введем понятие ортогональности функций или ортогональности эпюр.

Термин «ортогональность» является обобщением понятия «перпендикулярность» и в отношении двух векторов a и b из трехмерного пространства означает, что скалярное произведение этих векторов равно нулю:

(a×b) = ½a½×½ b½ cos (a,b) = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = = 0.

Аналогично ортогональность двух векторов a и b из n-мерного пространства означает равенство нулю суммы произведений их одноименных компонент:

(a×b) = = 0. (4.8)

Определение. Две функции f(x) и g(x) ортогональны на промежутке [0,l] , если выполняется соотношение:

f(x)× g(x) dx = 0. (4.9)

Классическим примером функций, ортогональных на промежутке [0,p] являютсяфункции sin x и cos x .

Понятие ортогональности функций является естественным обобщением ортогональности векторов в n-мерном пространстве.

В самом деле, разбивая промежуток [0,l] на n частей длиной Dx = l/n узловыми точками x_i = i(Dx), где i = 0,1, … , (n – 1), и переходя в (4.9) к численному интегрированию, получим:

f(x)× g(x) dx = f (x_i) g (x_i) Dx.

Полагая в (4.8) a_i = f (x_i), b_i = g (x_i) Dx и переходя к пределу при Dx ® 0, а n ® ¥, мы и придем к (4.9).

Наконец, подставляя в (4.9) f(x) = `M<sub>i</sub><sup>0</sup> и g(x) = `M_j⁰/EJ или g(x) =`M_p⁰/EJ и обобщая на случай n участков рамы, мы получим условие ортогональности этих эпюр в виде:

d_ij = (`M<sub>i</sub><sup>0</sup>´`M_j⁰) = Sò (`M<sub>i</sub><sup>0</sup>×`M_j⁰ /EJ)ds = 0, (4.10)

D_ip⁰= (`M<sub>i</sub><sup>0</sup>´ M<sub>p</sub><sup>0</sup>)= Sò (`M_i⁰× M_p⁰/EJ)ds = 0. (4.11)

Из последних выражений можно получить признаки ортогональности эпюр:

1) Две эпюры с взаимно нулевыми участками ортогональны. Примером служат эпюры `M<sub>1</sub><sup>0</sup> и`M₂⁰ на рис. 4.7, в, и 4.7, г, соответствующие выбранной на рис. 4.7, б основной системе, для которой d₁₂ = 0.

2) Две эпюры ортогональны, если центр тяжести нелинейной эпюры лежит против нулевой точки линейной.

В качестве примера вернемся к раме на рис. 4.5, а - (рис. 4.8, а). Выберем вместо прежней ОС, показанной на рис. 4.5, б, новую ОС, в которой реакция X₂

не перпендикулярна к X₁, а направлена к ней под углом a = arctg (2/3) (рис. 4.8, б). На стойке рамы центр тяжести эпюры`M<sub>1</sub><sup>0</sup> (рис. 4.8, в) расположен против точки, где ордината эпюры`M₂⁰ равна нулю (рис. 4.8, г), поэтому по правилу Верещагина на этом участке их произведение равно нулю. На ригеле наоборот – эпюре`M<sub>2</sub><sup>0</sup> соответствует нулевой участок эпюры`M₁⁰, поэтому в целом для выбранной основной системы d₁₂ = 0.

Рис.4.7

Рис.4.8

3) Симметричная и обратносимметричная эпюры ортогональны. Возвращаясь к раме на рис. 4.4, а - (рис. 4.9, а), видим, что для ОС, показанной на рис. 4.4, в - (рис. 4.9, б), эпюры`M<sub>1</sub><sup>0</sup> и`M₃⁰ будут симметричны (рис. 4.9, в, д), а эпюра`M<sub>2</sub><sup>0</sup> – обратно симметрична (рис. 4.9, г). При этом на левой половине рамы произведение эпюр`M₁⁰ и`M₂⁰ положительно, а на правой – отрицательно и равно по модулю предыдущему значению, откуда и следует, что d₁₂ = 0. Аналогичное замечание касается d₂₃ = d₃₂ = 0.

Рис.4.9

Примечания:

1. Напомним, что обратносимметричная (в литературе также встречается термин кососимметричная) эпюра получается из симметричной, если сменить на противоположный знак для части эпюры расположенной по одну сторону от оси симметрии.

Очевидно, что понятия симметричная и обратносимметричная эпюры являются обобщением понятий четная и нечетная функции в математике. Для первых f (x) = f (–x), для вторых f (x) = – f (–x).

2. О симметричных и обратносимметричных эпюрах можно говорить лишь в отношении систем, обладающих свойством симметрии. При этом симметричными должны быть не только геометрические очертания, но и жесткости элементов конструкции.

3. Для системы с одной лишней связью вопрос о рациональном выборе основной системы, с учетом примечания 2 из предыдущего параграфа, целиком определяется видом эпюры M_p⁰.

Расчет симметричных систем

При расчете симметричных систем можно упростить структуру системы канонических уравнений за счет обращения в ноль как коэффициентов d_ij, так и свободных членов D_ip⁰.

В первом случае соответствующий прием носит название группировки неизвестных, во втором – результат достигается с помощью разложения нагрузки на симметричную и обратносимметричную.

Группировка неизвестных применяется для рам, у которых реакции лишних связей представлены только симметричными неизвестными. Примером служит рама на рис. 4.10, а для выбранной на рис. 4.10, б основной системы, где в канонических уравнениях:

d₁₁ X₁ + d₁₂ X₂ + D_1p⁰ = 0;

d₂₁ X₁ + d₂₂ X₂ + D_2p⁰ = 0;

все коэффициенты отличны от нуля.

Чтобы упростить эту систему, перейдем от неизвестных X₁ и X₂ к новым неизвестным X₁¢ и X₂¢ по формулам:

X₁¢ = (X₁ + X₂)/2; (4.12)

X₂¢ = (X₁ - X₂)/2;

где обратное преобразование:

X₁ = X₁¢+ X₂¢; (4.13)

X₂ = X₁¢- X₂¢;

имеет наглядный смысл. При этом неизвестные X₁¢ и X₂¢ соответствуют новой основной системе (рис. 4.10, в), для которой эпюры`M<sub>1</sub><sup>0</sup>¢ и`M₂⁰¢ ортогональны (рис. 4.10, г, д), а d₁₂¢ = 0, поэтому соответствующая система канонических уравнений распадается на два независимых уравнения:

d₁₁¢ X₁¢+ D_1p⁰¢ = 0,

d₂₂¢ X₂¢ + D_2p⁰¢ = 0.

Определив групповые или обобщенные неизвестные X₁¢и X₂¢, можно с помощью (4.13) вернуться к старым переменным X₁ и X₂.

Разложение нагрузки на симметричную и обратносимметричную рассмотрим на следующем примере (рис. 4.11, а), где в соответствии с принципом суперпозиции в такой форме представлена заданная нагрузка (рис. 4.11, б, в). Для выбранной основной системы (рис. 4.11, г) d₁₂ = 0 и расчет от симметричной нагрузки приводит к системе канонических уравнений:

d₁₁ X₁⁽¹⁾+ D_1p⁰⁽¹⁾ = 0, (4.14)

d₂₂ X₂⁽¹⁾ = 0.

При этом D_2p⁰⁽¹⁾ = (`M<sub>2</sub><sup>0</sup> ´ M<sub>p</sub><sup>0(1)</sup>) = 0 в силу ортогональности обратносимметричной эпюры `M₂⁰ и симметричной эпюры M_p⁰⁽¹⁾ от первого загружения (рис. 4.11, б). Поэтому решением (4.14) будет X₁⁽¹⁾ ¹ 0, X₂⁽¹⁾ = 0.

Расчет рамы от второго варианта загружения (рис. 4.11, в) приводит к системе канонических уравнений:

d₁₁ X₁⁽²⁾= 0; (4.15)

d₂₂ X₂⁽²⁾ + D_2p⁰⁽²⁾ = 0,

так как в этом случае равен нулю свободный член D_1p⁰⁽²⁾ = (`M₁⁰ ´ M_p⁰⁽²⁾). Ее решением будет X₁⁽²⁾ = 0, X₂⁽²⁾ ¹ 0.

Рис.4.10

Искомые реакции от заданной первоначальной нагрузки равны сумме соответствующих реакций от каждого варианта загружения:

X₁ = X₁⁽¹⁾ + X₁⁽²⁾ = X₁⁽¹⁾; (4.16)

X₂ = X₂⁽¹⁾ + X₂⁽²⁾ = X₂⁽²⁾.

Рис.4.11

Полученный результат можно сформулировать в виде следующей теоремы:

Теорема. В симметричных системах, загруженных симметричной нагрузкой, обратносимметричные неизвестные равны нулю и, наоборот – в симметричных системах, загруженных обратносимметричной нагрузкой равны нулю симметричные неизвестные.

Примечания:

1. Очевидно, что суть рассмотренных методов одинакова: в первом случае суммой симметричных и обратносиметричных сил представляют реакции, во втором – приложенную нагрузку.

2. Рассмотренные приемы расчета удобны для сравнительно простых систем с небольшим числом неизвестных, когда они имеют наглядную интерпретацию. Однако такая идея симметризации неизвестных может быть обобщена на решение произвольных систем алгебраических уравнений.

3. Пример рамы на рис. 4.10, б носит иллюстративный характер – в данном случае решение можно было упростить за счет выбора рациональной основной системы (рис. 4.10, е), для которой d₁₂= (`M<sub>1</sub><sup>0</sup>´`M₂⁰) = 0. Отметим, что основная система при этом остается несимметричной.

Расчет неразрезных балок

Неразрезной балкой называется статически неопределимая система, образованная из простой двухопорной балки введением дополнительных промежуточных опор. Эти опоры добавляют в целях уменьшения изгибающих моментов в пролете, и их число равняется степени статической неопределимости полученной системы (рис. 4.12, а).

В отличие от неразрезной балки разрезная или шарнирно-консольная балка является статически определимой системой, она образована из первой введением шарниров во всех пролетах кроме одного и расчет такой составной системы принципиально не отличается от расчета статически определимых рам рассмотренного во второй главе.

Для расчета неразрезных балок можно применить метод сил, выбрав в качестве основной систему, полученную из заданной системы устранением всех промежуточных опор (рис. 4.12, б). Однако такая система не является рациональной, поскольку для нее каждая из эпюр `M_i⁰ и эпюра M_p⁰ отличны от нуля на всей длине балки, а значит, ни один из коэффициентов d_ij и свободных членов D_ip⁰ не равен нулю.

Гораздо эффективнее будет основная система, которая получается из заданной системы введением шарниров над каждой из промежуточных опор (рис. 4.12, в). Она представляет собой цепочку простых двухопорных балок, поэтому каждая из эпюр `M_i⁰ не выходит за пределы двух смежных пролетов (рис. 4.12, г-е). Аналогичное замечание можно сделать и в отношении эпюры M_p⁰, которая также будет иметь локальную структуру (рис. 4.12, ж).

Нетрудно заметить, что независимо от числа промежуточных опор уравнение для i-ой опоры неразрезной балки будет иметь вид:

d _{i-1, i} X_i-1 + d_i,i X_i + d _{i+1, i} X _i+1+ D _{i p}⁰ = 0. (4.17)

Это уравнение называется «уравнением трех моментов», поскольку в качестве неизвестных выступают изгибающие моменты над i-ой опорой неразрезной балки и еще над двумя опорами смежными с ней.

Рис.4.12

Примечание.

В качестве исходной балки для получения неразрезной помимо простой двухопорной балки можно взять балку с одним или двумя жесткозащемленными концами.