Нормальный закон распределения случайной величины.

Нормальное распределение, также называемое гауссовым распределением, гауссианой или распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия. Нормальное распределение играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в статистической физике. Физическая величина, подверженная влиянию значительного числа независимых факторов, способных вносить с равной погрешностью положительные и отрицательные отклонения, вне зависимости от природы этих случайных факторов, часто подчиняется нормальному распределению, поэтому из всех распределений в природе чаще всего встречается нормальное (отсюда и произошло одно из названий этого распределения вероятностей). Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Нормальный закон распределения

Это основной закон теории вероятностей. Доказано, что в пределе все законы стремятся к нормальным законам распределения. По крайней мере, сумма бесконечного числа случайных величин, распределенных по любым законам, в итоге приобретает нормальный закон распределения.

Случайная величина распределена по нормальному закону распределения, если

Функция Лапласа. Вероятность попадания величины, распределенной по нормальному закону, на заданный интервал.

Функцией Лапласа называется функция вида

Свойства:

1) при z>0 функция Лапласа определяет вероятность попадания нормальной случайной величины с параметрами

MX=0

DX=1

в интервале (0, z)

2)

3) - функция нечетная

Иногда в литературе встречаются два вида функций Лапласа

Функция Лапласа табулирована. Функция Лапласа используется для выполнения событий вида

для произвольных нормальных величин.

Вероятность попадания величины, распределенной по нормальному закону, на заданный интервал

Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, приходится определять вероятность попадания случайной величины подчиненной нормальному закону с параметрами , на участок от до . Для вычисления этой вероятности воспользуемся общей формулой

Где - функция распределения величины .

Закон больших чисел.

Зако́нбольши́хчи́сел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду. Всегда найдётся такое количество испытаний, при котором с любой заданной наперёд вероятностью относительная частота появления некоторого события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности. Общий смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая. На этом свойстве основаны методы оценки вероятности на основе анализа конечной выборки. Наглядным примером является прогноз результатов выборов на основе опроса выборки избирателей.

Слабый закон больших чисел

Пусть есть бесконечная последовательность (последовательное перечисление) одинаково распределённых и некоррелированных случайных величин , определённых на одном вероятностном пространстве То есть их ковариация Пусть Обозначим S_n выборочное среднее первых n членов:

Тогда

Усиленный закон больших чисел

Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин определённых на одном вероятностном пространстве .Пусть .Обозначим выборочное среднее первых членов:

Тогда почти наверное.