Действия над векторами, заданными своими координатами
Если ,
, то
;
;
.
Длина вектора: .
Координаты вектора, если известны координаты
его начала и конца
:
,
длина вектора: .
Координаты точки , принадлежащей отрезку
, и делящей его в отношении
(
):
.
Если точка середина отрезка
, то
.
Скалярное произведение векторов и его свойства
Определение скалярного произведения
, где
- угол между векторами
и
(если или
, то
).
Свойства: 1) 2)
(
число);
3) .
Выражение скалярного произведения векторов через координаты векторов:
если ,
, то
.
Выражение скалярного произведения через проекции:
или
.
Косинус угла между векторами и
вычисляется по формуле:
,
или через координаты векторов:
Правые и левые тройки векторов.Тройку некомпланарных ненулевых векторов , взятых в указанном порядке, называют правой тройкой, если после приведения их к одному началу при взгляде из конца третьего вектора на плоскость первых двух векторов кратчайший поворот от первого вектора ко второму кажется совершающимся против часовой стрелки. Если – по часовой стрелке, то тройку называют левой.
Векторное произведение векторов и его свойства
Определение векторного произведения
Векторным произведением двух ненулевых неколлинеарных векторов и
называется такой вектор
, который обозначается
, и обладает следующими свойствами:
1) где
- угол между векторами
и
;
2)
3) векторы в указанном порядке образуют правую тройку.
Если один из векторов или
нулевой, или векторы
и
коллинеарны, то
.
Свойства: 1) 2)
(
число);
3) .
Если векторы и
заданы своими координатами, т.е.
,
, то векторное произведение находится по формуле
, или в координатной форме
.
Длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах
и
как на сторонах, если эти векторы приведены к одному началу:
.
Смешанное произведение векторов
Определение.Смешанным произведением трех векторов называют скалярное произведение векторов
и
. Обозначают смешанное произведение
. Итак,
.
Если известны координаты векторов ,
,
, то смешанное произведение находится по формуле
.
Объем параллелепипеда, построенного на векторах как на сторонах, если эти векторы приведены к одному началу, находится по формуле:
.
Объем пирамиды, построенной на векторах как на сторонах, если эти векторы приведены к одному началу, находится по формуле:
.
Если , то тройка векторов
- правая, если же
, то тройка
- левая.
Условие коллинеарности двух векторов
В векторной форме: .
В координатной форме: если ,
, то
.
Условие перпендикулярности двух векторов
В векторной форме: .
В координатной форме: если ,
, то
.
Условие компланарности трех векторов
В векторной форме:
ненулевые векторы компланарны в том и только том случае, если
.
В координатной форме: если ,
,
, то ненулевые векторы
компланарны в том и только том случае, если
.
Прямая на плоскости