Полярная система координат на плоскости
CПРАВОЧНИК
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Полярная система координат на плоскости
Полярная система координат состоит из одной оси, которая имеет только положительное направление.
‑ полюс, полупрямая 
‑ полярная ось.
Произвольной точке 
плоскости, отличной от , ставят в соответствие два числа в следующем порядке:
‑ полярный радиус 
, равный расстоянию от до полюса , измеренному выбранной единицей масштаба (длина вектора 
) ( 
);
‑ полярный угол 
, равный углу между полярной осью и . Полярный угол измеряется в радианах, отсчет положительных (отрицательных) значений ведется от против движения (по движению) часовой стрелки. Полагают, что 
(или 
.
Полюсу соответствует полярный радиус 
, полярный угол для него не определен.
Запись 
означает: точка с полярными координатами 
и .
Если совместить полюс и начало декартовой прямоугольной системы координат, и полярную ось направить в ту же сторону, что и ось 
, то получим следующую связь между координатами точки 
в декартовой прямоугольной системе координат и координатами в полярной системе координат:
переход из ПСК в ДСК: 
;
переход из ПСК в ДСК: 
, 
, 
, т. е.при решении последнего уравнения относительно 
учитывают, в каком квадранте лежит точка 
. Если точка лежит на осях, то из геометрических соображений определяют полярный угол .
Пример. Дана точка 
в полярной системе. Найдите декартовые координаты этой точки.
Решение: 
; подставляем в формулы полярные координаты 
: получим декартовые координаты 
. В декартовой системе 
.
Пример. Дана точка 
в декартовой системе координат. Найдите полярные координаты точки.
Решение. находится в 4 четверти, поэтому 
, 
, , откуда 
, поэтому в полярной системе координат 
.
Пример. Дана точка 
в полярной системе координат. Найдите декартовые координаты точки.
Решение. Так как декартовые координаты 
, то получаем:
. Ответ: 
.
Векторная алгебра
Проекция вектора на ось: 
,
где - угол между 
и осью 
.
Свойства проекции: 
.
Вектор, заданный своими координатами, обозначается:
на плоскости 
, в пространстве 
, где 
.
Если известны проекции вектора на координатные оси ‑ координаты вектора 
, то разложение вектора по единичным векторам координатных осей имеет вид 
(верно и обратное утверждение).
Действия над векторами, заданными своими координатами
Если 
, 
, то
;
;
.
Длина вектора: 
.
Координаты вектора, если известны координаты
его начала 
и конца 
:
,
длина вектора: 
.
Координаты точки 
, принадлежащей отрезку 
, и делящей его в отношении 
( 
):
.
Если точка середина отрезка , то
.
Скалярное произведение векторов и его свойства
Векторное произведение векторов и его свойства
Условие коллинеарности двух векторов
В векторной форме: 
.
В координатной форме: если 
, 
, то
.
Прямая на плоскости
Плоскость в пространстве
Угол между плоскостями
, 
:
.
Взаимное расположение двух плоскостей 
и 
:
пересекаются 
не верно, что 
;
параллельны (но не совпадают) 
;
совпадают 
Прямая в пространстве
Кривые второго порядка
Эллипс
| Определение |   2a>2c |    |
| Уравнение |  |  |
| Параметры |  | |
| Связь между параметрами |  |  |
| Фокусы |  на оси |  на оси  |
| Вершины |  ,  | , |
| Большая ось |  |  |
| Малая ось | | |
| Фокусное расстояние |  | |
| Эксцентриситет |  (  |  ( |
| Рисунок |  |  |
Уравнение эллипса с центром в точке 
и полуосями 
:
Гипербола
| Определение |   2a<2c |  2a<2c |
| Уравнение |  |  |
| Параметры | | |
| Связь между параметрами |  | |
| Фокусы | на оси OX |  на оси |
| Вершины | | |
| Действительная Ось | | |
| Мнимая ось | | |
| Фокусное расстояние | | |
| Уравнения асимптот |  | |
| Эксцентриситет |  (  |  ( |
| Рисунок |  |  |
Уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями :
или 
ПАРАБОЛА
| Уравнение |  |  |  |  |
| Параметр |  | | | |
| Фокус |  |  |  |  |
| Директриса |  |  |  |  |
| Рисунок |  |  |  |  |
Окружность
| Уравнение |  |  |
| Радиус окружности |  |  |
| Центр окружности |  |  |
| Положение окружности |  |  |
CПРАВОЧНИК
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Полярная система координат на плоскости
Полярная система координат состоит из одной оси, которая имеет только положительное направление.
‑ полюс, полупрямая ‑ полярная ось.
Произвольной точке плоскости, отличной от , ставят в соответствие два числа в следующем порядке:
‑ полярный радиус , равный расстоянию от до полюса , измеренному выбранной единицей масштаба (длина вектора ) ( );
‑ полярный угол , равный углу между полярной осью и . Полярный угол измеряется в радианах, отсчет положительных (отрицательных) значений ведется от против движения (по движению) часовой стрелки. Полагают, что (или .
Полюсу соответствует полярный радиус , полярный угол для него не определен.
Запись означает: точка с полярными координатами и .
Если совместить полюс и начало декартовой прямоугольной системы координат, и полярную ось направить в ту же сторону, что и ось , то получим следующую связь между координатами точки в декартовой прямоугольной системе координат и координатами в полярной системе координат:
переход из ПСК в ДСК: ;
переход из ПСК в ДСК: , , , т. е.при решении последнего уравнения относительно учитывают, в каком квадранте лежит точка . Если точка лежит на осях, то из геометрических соображений определяют полярный угол .
Пример. Дана точка в полярной системе. Найдите декартовые координаты этой точки.
Решение: ; подставляем в формулы полярные координаты : получим декартовые координаты . В декартовой системе .
Пример. Дана точка в декартовой системе координат. Найдите полярные координаты точки.
Решение. находится в 4 четверти, поэтому
, , , откуда , поэтому в полярной системе координат .
Пример. Дана точка в полярной системе координат. Найдите декартовые координаты точки.
Решение. Так как декартовые координаты , то получаем:
. Ответ: .
Векторная алгебра
Проекция вектора на ось: ,
где - угол между и осью .
Свойства проекции: .
Вектор, заданный своими координатами, обозначается:
на плоскости , в пространстве , где .
Если известны проекции вектора на координатные оси ‑ координаты вектора , то разложение вектора по единичным векторам координатных осей имеет вид (верно и обратное утверждение).