Опр1.1 ( предел значения ф. одной пер.)
Число наз. предельным значением функции
в т.
(или пределом ф. при
), если для
сход. послед.
значение аргумента
, элементы
которой отличны от
, соответствующая послед.
значений ф. сходится к
.
Обозначается так: .
Зам.: функция может иметь в т.
только одно предельное значение. Это вытекает из того, что послед.
может иметь только один предел.
Опр1.2 (предел значения ф. двух пер.)
Число наз. предельным значением функции двух переменных
при
, если для
числа
такая
– окрестность точки
, что для
точки
этой окрестности (за исключением, быть может, точки
) выполняется нерав.:
, или
.
Обозначается так: или
.
Опр2 (правое (левое) пред. знач. ф.)
Число bназ. правым (левым) предельным значением ф. в т.
, если для любой сход. к
послед.
значение аргумента
, элементы
которой больше (меньше)
, соответствующей послед.
значений ф. сходится к b.
Обозначается так: Пр. пред. знач.: или
.
Лв. пред. знач.: или
.
Зам.: Если в т. правое и левое предельные значения ф.
равны, то в точке а
предельное значение этой ф., равное указанным односторонним предельным значениям.
Опр3 (пред. значения ф. при )
Число наз. предельным значением функции
при
(или пред. ф. при
), если для
б.б. послед. значений аргумента соответствующая послед. значений ф. сход. к
.
Обозначается так: .
Опр4 (пред. значения ф. при )
Число bназ. предельным значением функции при
, если для
б.б. последовательности значений аргумента, элементы которой, начиная с некоторого номера, положительны (отрицательны), соответствуют последовательности значений ф. сход. к
.
Теорема.(Арифм. опер.)
Пусть заданные на одном и том же мн-ве ф. и
имеют в т.
предельные значения
и с. Тогда ф.
,
,
имеют в т.
пред. знач.:
,
,
соотв.
Док-во.: Пусть –произвольная сходящаяся к
послед. значений аргумента ф.
и
. Соотв. послед.
и
знач. этих ф. имеют пределы
и с. Но иногда, в силу теорем сходящихся послед.(см. вопр. 1) послед.:
,
,
имеют пределы, соотв. равные:
,
,
. В силу произвольности послед.
это означает, что
,
,
. ч.т.д.
Опр5 (Условие Коши, необх. и дост. условие сущ. пред. знач.)
Будем говорить, что ф. удовлетворяет в т.
условию Коши, если для любого полож. числа ε найдётся полож. число δ такое, что, каковы бы ни были два значения аргумента
и
, удовлетворяющие неравенствам:
,
, для соответствующих значений ф. справедливо неравенство:
.
Теорема.(Критерий Коши).
Для того чтобы ф. имела конечное предельное знач. в т.
, необходимо и достаточно, чтобы ф.
удовлетворяла в этой т. условию Коши.
Основные теоремы о пределах.
Т1. (О пред. переходе в равенстве).
Если две ф. принимают одинаковые знач. в окрестности некоторой т., то их пределы в этой т. совпадают. т.е. .
Т2. (О пред. переходе в нерав.)
Если знач. ф. в окрестности некоторой т. не превосходят соответствующие знач. ф.
, то предел ф.
в этой т. не превосходит предела ф.
. т.е.
.
Т3. (Пред. постоянной равен самой постоянной).
.
Т4. (Ф. не может иметь двух различных пред. в одной т.)