Нахождение матриц, обратных данным
Цель занятия:1) знать правила вычисления определителей 2-го и 3-го порядка;
2) знать правила выполнения действий с матрицами;
3) знать алгоритм вычисления матрицы, обратной данной;
4) уметь вычислять определители 2-го и 3-го порядка;
5) уметь выполнять действия с матрицами;
6) уметь вычислять матрицу, обратной данной.
Указания к выполнению практической работы
Пример 1. Вычислить определитель .
Решение. Определитель второго порядка равен разности между произведениями элементов главной диагонали (a1 и b2) и побочной (b1 и a2), то есть
.
Поэтому .
Пример 2. Вычислить определитель .
Решение. Определитель третьего порядка можно вычислить по формуле
Получаем
.
Пример 3.Умножить матрицу на матрицу
.
Решение. Известно, что матрицу A размера (m − число строк, n − число столбцов) можно умножить на матрицу B размера
, если n = p, причем в результате получится матрица
размера
. Элемент cij (расположен на пересечении i-й строки и j-го столбца) результирующей матрицы C вычисляется по формуле
,
то есть равен сумме произведений элементов строки i матрицы A на соответствующие элементы столбца j матрицы B.
В данной задаче матрицы A и B имеют размер и
соответственно, и, значит, перемножаемы (n=p=2), а результирующая матрица C будет иметь размер
.
Найдем c11, для чего умножим поэлементно первую строку матрицы A на первый столбец матрицы B и результаты сложим:
.
Вычислим c12, умножив первую строку матрицы A на второй столбец матрицы B и сложив результаты:
.
Аналогично, находим остальные элементы
,
,
,
.
Итак,
.
Пример 4.Выполнить действия с матрицами: где
Решение. Устанавливаем возможность выполнения указанных действий. Матрица А имеет порядок 3×5, матрица В - 5×2. Умножение возможно, поскольку число столбцов первой матрицы равно числу строк второй; в результате умножения получится матрица порядка 3×2. У второго произведения матрица С имеет порядок 3×4, матрица D - 4×2, умножение возможно, итоговая матрица будет иметь порядок 3×2. Сложение первого произведения со вторым также возможно, ибо оба произведения есть матрицы порядка 3×2.
Следовательно
где
Итак,
2) где
Итак,
Тогда,
Ответ:
Пример 5.Найти матрицу, обратную матрице .
Решение. Найдем определитель матрицы А:
∆
Следовательно, матрица А имеет обратную матрицу.
Обратная матрица определяется по формуле
=
,
где алгебраические дополнения элементов
данной матрицы А.
Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы А:
Обратная матрица имеет вид
Необходимо сделать проверку
т.е.
Варианты практической работы
Задание №1.Выполнить действия над матрицами.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Задание № 2.Найти матрицу, обратную матрице .
1. ![]() | 6. ![]() |
2. ![]() | 7. ![]() |
3. ![]() | 8. ![]() |
4. ![]() | 9. ![]() |
5. ![]() | 10. ![]() |
Практическое занятие № 2