Распределение числа запросов

Если поступления запросов являются нетипичными и стационарные вероятности их числа в момент поступления -

запрос поступил сразу же после момента t},

необязательно равны соответствующим безусловным стационарным вероятностям

,

но для системы М/М/1:

,

тогда, для любого момента t и длины интервала число запросов, поступивших в интервале , не зависит от числа запросов, находящихся в системе в момент t. При использовании свойств пуассоновского процесса это эквивалентно предположению, что в любой момент времени длительность обслуживания поступивших ранее запросов и интервалы между будущими моментами поступлений являются независимыми, до некоторой степени это выполняется и в сетях пакетной передачи. Такое предположение справедливо, если процесс поступления является пуассоновским, а интервалы между моментами поступления и длительности обслуживания независимы.

Равенство , выполняется, так как, по предположению, события (запрос поступил сразу же после момента t) независимы. В результате условная вероятность будет равна безусловной.

Пусть соответствует событию, что запрос поступает в интервале и

запрос поступает сразу же после момента t}.

Используя формулы Байеса можно получить, что:

По предположению событие не зависит от числа запросов, находящихся в системе в момент t. Следовательно

: , а для будет получена формула. Таким образом, если процесс поступления запросов пуассоновский, то поступивший в систему запрос определяется обычным состоянием.

При распределении числа запросов в системе сразу же после того, как запрос покидает систему, вероятность равна:

запрос поступает непосредственно перед моментом t}.

Соответствующие стационарные вероятности можно обозначить как . При очень общих предположениях - система достигала стационарного состояния, в котором стационарные вероятности положительны при всех п, и число запросов N(t) имеет приращения, равные единице. Для любого увеличения состояния системы от п до п+1 из-за поступления нового запроса в дальнейшем будет соответствующее уменьшение от n+1 до п из-за ухода запроса из системы. Следовательно, при длительной работе доля переходов из п в п+1 среди общего их числа из любого k в k+1 равна доле переходов из п+1 в п среди всех переходов из любого k+1 в k,а , и в стационарном состоянии для поступающего и уходящего запроса система выглядит как статистически одинаковая.

Система М/М/M с M обслуживающими приборами

Уравнения равновесия для стационарных вероятностей при можно записать следующим образом:

, .

Из этих уравнений следует, что:

где

Можно вычислить , используя формулу и условие Тогда:

, и окончательно

.

Вероятность того, что поступивший запрос обнаружит в системе, что все обслуживающие приборы заняты, и будет поставлен в очередь для ожидания, равна

,

следовательно,

P_Q □ P {встать в очередь}= ,

где P_Q можно определить из формулы Эрланга.

Математическое ожидание числа запросов, находящихся в очереди равно: MO .

дает условное математическое ожидание числа запросов, ожидающих в очереди при поступлении запроса, при условии, что этот запрос направляется в очередь для ожидания. Математическое ожидание при заданном не зависит от числа обслуживающих приборов. Оно указывает, в частности, на то, что, если имеются запросы, ожидающие в очереди, длина очереди в системе М/М/т ведет себя так же, как в системе М/М/m со скоростью обслуживания , равной суммарной скорости т обслуживающих приборов.

Следовательно, средняя задержка в системе равна

t_з.ср = + t_ож = + ,

и среднее число запросов в системе составляет

Система М/М/M/M с потерями и с Т обслуживающими приборами

Эта система подобна системе М/М/т за исключением того, что, если запрос при поступлении в систему обнаружит, что все т обслуживающих приборов заняты, он не поступит в систему, а потеряется, эта модель широко применяется в телефонии. В корпоративных компьютерных сетях такая модель может использоваться для исследования сети, в которой моменты поступления соответствуют заявкам на установление виртуальных соединений между двумя узлами, а максимально возможное число виртуальных связей равно т. Средняя длительность обслуживания , в этом случае равна среднему времени использования виртуального соединения.

Пусть так, что Тогда, с учетом равенства получается:

.

Система M/G/1

Можно проанализировать СМО с одной очередью, в которой запросы поступают в соответствии с пуассоновским процессом с интенсивностью , но длительности обслуживания имеют произвольное распределение, не обязательно экспоненциальное, как в системе М/М/1. Запросы обслуживаются в порядке поступления, T_xi - длительность обслуживания i-го запроса, случайные величины (T_x1,T_x2,…) одинаково распределены, взаимно независимы и не зависят от интервалов между моментами поступления.

Пусть - средняя длительность обслуживания, - второй момент длительности обслуживания. Из формулы Поллячека — Хинчина:

,

где MOW - математическое ожидание времени пребывания запроса в очереди, а .

Общее время пребывания в очереди и в обслуживающем приборе равно

.

Применяя формулу Литтла для MOW и Т, можно получить математическое ожидание числа запросов в очереди MO и математическое ожидание числа запросов в системе:

.

Так как в случае M/D/1 при данном получается минимально возможное значение , из этого следует, что при одинаковых значениях и величины MOW, T, MO_Q и N для системы массового обслуживания M/D/1 являются нижними границами для соответствующих величин в системе M/G/1. Необходимо заметить, что MOW и MO для системы M/D/1 равны половине их значений в системе М/М/1. Вместе с тем значения Т и N при малых для M/D/1такие же, как в системе М/М/1, и приближаются к половине их значений в системе М/М/1 по мере того, как приближается к 1. Дело в том, что математическое ожидание длительности обслуживания одно и то же в обоих случаях и при малых большую часть времени пребывания в системе запросы находятся в обслуживающем приборе, а при больших большую часть времени ожидают в очереди.

Системы M/G/1 с перерывами

Пусть T₁,T₂,… - продолжительности последовательных перерывов, которые делает обслуживающий прибор и T₁,T₂,… - независимые одинаково распределенные случайные величины, которые также не зависят от интервалов между моментами поступления запросов и длительностей их обслуживания. Моменты поступления образуют пуассоновский поток, а длительности обслуживания являются независимыми и имеют произвольное распределение. Вновь поступивший в систему запрос должен ждать в очереди завершения обслуживания текущего запроса или завершения перерыва, а затем должен ждать, пока будут обслужены все запросы, стоящие перед ним. Таким образом, выполняется равенство

MOW = ,

где T_R - среднее остаточное время для завершения обслуживания или перерыва в момент, когда поступает i-й запрос.

Если М(t) - число обслуживаний, которые завершились к моменту t , a L (t) - число перерывов, которые закончились к моменту t, то для любого момента t,когда точно завершается обслуживание или перерыв справедливо выражение:

.

Предполагается, что среднее по времени можно заменить на среднее по вероятности и получить, что при возрастании t, где и — первый и второй моменты длительности перерыва соответственно.

Тогда, учитывая, математическое ожидание времени, проведенного в очереди в системе M/G/1с перерывами равно:

.

Пропускная способность узла

Пусть - интенсивность потока (i,r)-заданий, поступающих в узел i сети Q(M,N) в стационарном режиме. Очевидно, что - относительная частота посещения r-заявкой узла , приходящаяся на одно посещение некоторого выделенного УК i*. Интенсивность поступающего в узел i потока r-заявок равна интенсивности обслуженного этим узлом потока r-заявок.

Следовательно

При этом, маргинальное распределение общего числа заявок в узле удовлетворяет рекуррентному соотношению: