Основные правила дифференцирования функций одной переменной (одно из этих правил доказать).

При доказательстве правил дифференцирования будем считать функции f(x) и g(x) дифференцируемыми на некотором промежутке X.

То есть, для любого справедливо , где - приращения соответствующих функций.

В другой записи .

К основным правилам дифференцирования относят:

• вынесение постоянного множителя за знак производной;
• производная суммы, производная разности;
• производная произведения функций;
• производная частного двух функций (производная дроби).

Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функции.

Таблица производных простейших элементарных функций

Легко получить следующую таблицу производных основных элементарных функций, используя определение производной. Для более подробного изучения данного материала рекомендуем использовать, например, "Математический анализ" ч.1 В.А. Ильина, В.А. Садовничего, Бл.Х. Сендова.

1. (u^a(x))' = a u^a-1(x)u'(x), в частности,

(1/u(x))' = -u'(x)/u2(x), ( )' = u'(x)/2 ;

2. (log_au(x))' = (u'(x)log_ae)/u(x) при 0<a¹1, u(x)>0, в частности, (ln u(x))' = u'(x)/u(x);

3. (a^u(x))' = a^u(x)ln a u'(x) при 0<a¹1, в частности, (e^u(x))' = u'(x)e^u(x);

4. (sin u(x))' = cos u(x)u'(x);

5. (cos u(x))' = -sin u(x)u'(x);

6. (tg u(x))' = u'(x)/cos²u(x) x¹ p/2+p n, n=0,+-1,...;

7. (ctg u(x))' = -u'(x)/sin²u(x) x¹ p n, n=0,+-1,...;

8. (arcsin u(x))' = u'(x)/ , -1<u(x)<1;

9. (arccos u(x))' = -u'(x)/ , -1<u(x)<1;

10. (arctg u(x))' = u'(x)/(1+u²(x));

11. (arcctg u(x))' = -u'(x)/(1+u²(x)).

Введем гиперболические функции:

sh x = (1/2)(e^x-e^-x)- гиперболический синус;

ch x = (1/2)(e^x+e^x)- гиперболический косинус;

th x = sh x/ch x -гиперболический тангенс;

cth x = ch x/sh x - гиперболический котангенс.

Из определения гиперболических функций элементарно вытекают следующие формулы для нахождения их производных.

1. (sh x)' = ch x;

2. (ch x)' = sh x;

3. (th x)' = 1/ch² x;

4. (cth x)' = -1/sh² x.

Пример 7. Найти y', если

1. y(x) = x³arcsin x.

2. y(x) = ln sin (x²+1).

y' = (2xcos(x2+1))/sin(x2+1) = 2x ctg(x2+1)

Замечание. Производная любой элементарной функции является элементарной функцией, то есть операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций.

"Двухслойная" сложная функция записывается в виде

где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.
Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)!

Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга.

21. Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем.

Теорема 1. (Теорема Ролля) Пусть функция f(x)

1. непрерывна на отрезке [a, b];

2. дифференцируема в интервале (a, b);

3. на концах отрезка [a, b] принимает равные значения.

Тогда существует точка c О (a, b) такая, что f'(c) = 0.

Геометрическая интерпретация теоремы Ролля

Из теоремы Ролля следует, что существует точка с О (a, b), в которой касательная к графику функции f(x) параллельна оси ОX (рис. 1).

Теорема 2. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x)

1. непрерывна на отрезке [a, b];

2. дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с О (a, b) такая, что

f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a) .

(1)

Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 119.

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа

Представим формулу (1) в виде

f(b) − f(a) b − a = f '(c) .

(2)

Число

f(b) − f(a)

b − a

есть угловой коэффициент прямой, проходящей через концы графика функции y = f(x) — точки (a, f(a) ) и (b, f(b) ), а f '(c) — угловой коэффициент касательной к этому графику в точке
(c, f(c) ). Из формулы (2) следует, что существует точка с О (a, b), в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой, проходящей через концы графика (или совпадает с ней) (рис. 2).

22. Достаточные признаки монотонности функции (график см. стр. 127 учебника)

y=f(x) называется монотонной (возраст. или убыв.) на промежутке М, если для любых двух значений,таких, что х2>x1

Если f ’( x ) > 0 в каждой точке интервала ( a, b ), то функция f ( x ) возрастает на этом интервале.

Если f ’( x ) < 0 в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция f ( x ) убывает на этом интервале

Исследование функций с помощью производных

Условия монотонности функции на интервале

Рассмотрим сначала достаточные условия строгой монотонности функции на интервале.

Теорема 22.1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a;b) функция возрастала (убывала) на этом интервале достаточно, чтобы производная была положительной (отрицательной) всюду на этом интервале.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда . Пусть x1 и x2 - любые две точки интервала (a;b), удовлетворяющие условию . На отрезке функция дифференцируема, а, следовательно, непрерывна. Поэтому к ней можно применить формулу Лагранжа:

, где .

По условию . Поэтому или , т.е. функция возрастает на интервале (a;b). Случай, когда , рассматривается аналогично.

Теорема доказана.

Из последней теоремы следует, что отличие от нуля производной является достаточным условием строгой монотонности функции. Однако это условие не является необходимым. Так, например, функция возрастает на любом интервале действительной оси, но при x=0 производная этой функции обращается в нуль (рис. 6). Следующая теорема устанавливает необходимое и достаточное условие монотонности функции.

воторой вариант : Достаточные признаки монотонности ф-ций (один из них доказать).

Теорема (достаточное условие возрастания ф-ции). Если производная дифференцируемой ф-ции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке.

Рассм х₁ и х₂ на данном промежутке Х. Пусть х₂>х_1,х_1,х₂єХ. Докажем, что f(x₂)>f(x₁).Для ф-ции f(x) на отрехке [x₁;x₂] выполняются условия т. Лагранжа, поэтому f(x₂)-f(x₁)=f ^/(Е)(x₂-x₁), где х₁<Е>х_2, т е Е є промежутку, на кот производная положительна, следов. f^/(Е)>0 и правая часть равенства lim_{x→xo(x→∞)} f(x)/g(x)= lim_{x→xo(x→∞)} f^/(x)/g^/(x)- положительна. f(x₂)-f(x₁)>0 и f(x₂)>f(x₁).

Теорема (достаточное усл убывания ф-ции): Если производная дифференцируемой ф-ции отрицательна внутри некоторого промежутка Х, то она убывает на этом промежутке.

23. Определение экстремума функции одной переменной. Необходимый признак экстремума (доказать).