Упражнения и задачи по теории множеств
1. Является ли множество всех атомов Солнечной системы бесконечным?
2. Составить список элементов множеств, заданных посредством характеристического признака:
а) Х={х | };
б) Х={х | };
в) Х={х | хÎN, -4<х£3}.
3. Описать множества точек М плоскости таких, что:
а) {М | ОМ=5};
б) {М | ОМ £5};
в) {М | АМ=ВМ}.
4. Какая разница в записях АÎВ и А В?
5. Равны ли множества {{1, 2}, 3} и {1, 2, 3}?
6. Верно ли, что {1, 2}Î{{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}?
7. Верно ли, что {1,2} {{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}?
8. Является ли множество {0} пустым?
9. Доказать, что существует только одно пустое множество.
10. Привести пример таких множеств А, В, и С, что АÎВ, ВÎС и А С.
11. Привести пример такого множества В, что для некоторого А одновременно АÎВ и А В.
12. Найти множество-степень P(А) множества А={1, 2, 3, 4}.
13. Найти множество-степень P(А) множества А={{1, 2}, 3, 4}.
14. Может ли у множества быть:
а) 0 подмножеств;
б) 7 подмножеств;
в) 16 подмножеств.
15. Для каждых двух из следующих множеств указать, является ли одно из них подмножеством другого: А={1}, В={1, 2}, С={1, 2, 3}, D={{1}, 2, 3}, E={3, 2, 1}, F={{1, 2}, 3}.
16. Найти объединение, пересечение, разность и симметрическую разность множеств А и В, если
а) А={1, 2, 3, 4, 5}, В={2, 4, 6, 8, 10}; б) А={а, б, в, г, д, е}, В={а, в, д, к, и};
в) А={а, в, д, ж, и, м, н, о}, В={в, к, и, о, м, п, с, ф};
г) А={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, В={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
17. Найти объединение, пересечение, разность и симметрическую разность множеств А и В, если
а) А={а½аÎ(-7; 1]}, В={b½bÎ[-3,4]}; б) А={а½аÎ[-7; 1]}, В={b½bÎ(-3,4)};
в) А={а½аÎ[-7; 1)}, В={b½bÎ[-3,4)}; г) А={а½аÎ(-7; 1)}, В={b½bÎ(-3,4)}.
18. Даны следующие числовые множества: А={1,3,5,7,9,11}, B={2,5,6,11,12}, C={1,2,3,5,9,12}. Найти множества, которые будут получены в результате выполнения следующих операций:
а) (АÈС)DВ; б) (АÇС)\В; в) С\BDА;
г) АÇBÇC; д) В\(АÇС); е) (BDC)ÈA.
19. Даны следующие числовые множества: А={1,3,5,7,9,11}, B={2,5,6,11,12}, C={1,2,3,5,9,12}. Найти множества, которые будут получены в результате выполнения следующих операций:
а) (АÈС)\(ВDА)\С; б) (СÈВDА)\(СÇА); в) (А\С)È(ВDС);
г) (С\В)È(А\С); д) (ВDС)È(А\В) Ç (С\А); е) (АÇС) D (ВÈА)\С.
20. Заштрихуйте ту часть диаграммы, которая соответствует следующему множеству:
а) (АÈВ)\С; б) (АÇВ)È(СDВ); в) (АDВ) Ç (С \ В);
г) (С\В)È(А\С); д) (А\С)È(ВDС); е) (СDА)\(ВÇА).
21. Заштрихуйте ту часть диаграммы, которая соответствует следующему множеству:
а) (А È В) \ (С Ç В); б) (А\В)Ç(С \ В); в) (С \ А) È (С \ В);
г) (С \ А) Ç (С \ В); д) (С\В)È(А\С); е) (АÇС) D (ВÈА)\С.
22. Записать множество, изображенное с помощью кругов Эйлера на рисунке:
а) б) в)
г) д)
23. Следует ли из А\В=С утверждение А=ВÈС.
24. Следует ли из А=ВÈС утверждение С=А\В.
25. Доказать, что если B A , то АÈВ=А и АÇВ=В.
26. Доказать, что если АÈВ=А, то B A.
27. Доказать, что если АÇВ=В, то B A.
28. Существуют ли такие множества А, В и С, что АÇВ¹Æ, АÇС=Æ (АÇВ)\С=Æ.
29. Множество А состоит из натуральных четных чисел, множество В – из натуральных чисел, делящихся на 3. Из каких чисел состоит множество АÇВ?
30. Множество А состоит из натуральных четных чисел, множество В – из натуральных чисел, делящихся на 3, множество С – из натуральных чисел, делящихся на 12. Из каких чисел состоит множество АÇВÇС? Изобразите множества с помощью кругов Эйлера.
31. Множество А состоит из натуральных чисел, делящихся на 4, множество В – из натуральных чисел, делящихся на 6, множество С - из натуральных чисел, делящихся на 15. Из каких чисел состоит множество D=АÇВÇС? Изобразите множества с помощью кругов Эйлера.
32. Старейший математик среди шахматистов и старейший шахматист среди математиков – это один и тот же человек или (возможно) разные?
33. Лучший математик среди шахматистов и лучший шахматист среди математиков – это один и тот же человек или (возможно) разные?
34. Каждый десятый математик – шахматист, а каждый пятый шахматист – математик. Кого больше – математиков или шахматистов – и во сколько раз?
35. Может ли множество двух отцов и двух детей состоять из трех человек? В каком случае?
36. На окружности выбраны 1000 белых точек и одна черная. Чего больше – треугольников с вершинами в белых точках или четырехугольников, у которых одна вершина черная, а остальные три белые?
37. Каких подмножеств больше у 100-элементного множества: мощности 57 или мощности 43?
38. Из 15 спортсменов, занимающихся боксом или борьбой, 10 – боксеры. Сколько спортсменов занимаются обоими видами спорта, если борьбой занимается 8 из них?
39. Из 45 курсантов 25 юношей. 30 курсантов учатся на 4 и 5. 28 - занимаются спортом, из них 18 юношей и 17 хорошистов. 15 юношей учатся на 4 и 5 и занимаются спортом. Сколько юношей при этом могут быть хорошистами?
40. В двух группах учатся 50 курсантов. Для прибытия в институт 12 из них пользуются автобусом, 18 добираются пешком, 7 и идут, и едут в автобусе. Используя теорию множеств, найдите:
· Сколько человек или добираются пешком, или пользуются автобусом?
· Сколько человек пользуются только автобусом?
· Сколько человек пользуются другим транспортом?
41. На первом курсе в одной группе учатся 40 курсантов. Из них по теории государства и права имеют тройки 19 человек, по информатике и математике - 17 человек и по физкультуре – 22 человека. Только по одному предмету имеют тройки: по теории государства и права – 4 человека, по информатике и математике – 4 человека и по физкультуре – 11 человек. 7 человек имеют тройки и по информатике и математике, и по физкультуре, из них 5 имеют тройки и по теории государства и права. Сколько человек учится без троек? Сколько человек имеют тройки по двум из трех дисциплин?
42. Первая рота 1-го курса состоит из 70 курсантов. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 – поют в хоре, 22 – увлекаются спортом. В драмкружке 10 курсантов из хора, в хоре 6 – спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Найти:
· Сколько курсантов не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке?
· Сколько человек, занимающихся в драмкружке и в хоре, не занимаются спортом?
· Сколько спортсменов драмкружка не поют в хоре?
· Сколько поющих спортсменов, не посещающих драмкружок?
· Сколько спортсменов посещают хор или драмкружок?
· Сколько увлекаются только спортом?
Комплексные числа
Пример 1
.Доказать, что: а) ; б)
; в)
.
Решение.
Пусть z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2).
а) По определению сопряженного числа
б) Имеем
в) Запишем комплексное число z в тригонометрической форме z = (r cos θ, r sin θ), тогда
. Пользуясь формулой Муавра, имеем
Пример 2.
Выполнить указанные операции: а) (2 - i)(2 + i)2 - (3 - 2i) + 7; б) (1 + i)4; в)
.
Решение.
С комплексными числами, записанными в алгебраической форме, операции сложения, вычитания и умножения можно производить так же, как с действительными биномами. При этом пользуемся тем, что i2 = -1, i3 = i2 i = -i, i4 = i3 i = -i2 = 1, и т. д.
а) Имеем
(2 - i)(2 + i)2 = - (3 - 2i) + 7 = (2 - i)(2 + i)2 + 4 + 2i =
= (2 + i)((2 - i)(2 + i) + 2) = (2 + i)(4 + 1 + 2) = 14 + 7i.
б) Согласно формуле бинома Ньютона,
(1 + i)4 = 1 + 4i + 6i2 + 4i3 + i4 = 1 + 4i - 6 - 4i + 1 = -4.
в)
.
Пример 3.
Делится ли многочлен x4 + 2x2 + 4(1 + i) на x - 1 + i?
Решение.
Если данный многочлен делится на x - (1 - i), то комплексное число 1 - i должно быть его корнем. Подставим это число в многочлен, получим (1 - i)4 + 2(1 - i)2 + 4(1 + i) = - 4 + 2(-2i) + 4 + 4i = 0. Следовательно данный многочлен делится на x - 1 + i.
Пример 4.
Найти частное комплексных чисел: а) ; б)
; в)
.
Решение.
Формулу для нахождения частного комплексных чисел z1 и z2 запишем в виде
Пользуясь этой формулой, находим
а)
;
б)
;
в)
.
Пример 5.
Даны комплексные числа z1 = -2 + 5i и z2 = 3 - 4i. Найти: а) z1 + z2; б) z2 - z1; в) z1z2; г) z1/z2.
Решение.
а), б). Для комплексных чисел z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 сумма и разность находятся по формулам z1 ± z2 = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2).
В нашем случае имеем z1 + z2 = (-2 + 3) + i(5 - 4) = 1 + i, z2 - z1 = 3 - (-2) + i(-4 - 5) = 5 - 9i.
в) Перемножаем z1 и z2 как двучлены с учетом равенства i2 = -1:
z1z2 = (-2 + 5i)(3 - 4i) = (-2)3 + 15i + 8i - 20i2 = -6 + 20 + i(15 + 8) = 14 + 23i.
г) Для нахождения частного
умножим числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное знаменателю, т.е. на 3 + 4i; получим
.
Пример 6.
Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме: а) -3; б) -i; в) 1 + i; г) .
Решение.
Имеем
а) | -3 | = 3, θ = π, -3 = 3(cos π + i sin π);
б) | -i | = 1, θ = -π/2, -i = cos(-π/2) + i sin(-π/2);
в)
;
г)
.
Пример 7.
Установить, при каких действительных значениях x и y равны следующие комплексные числа: z1 = x2 = xyi - 5 + i и z2 = xi - y2 + yi.
Решение.
Согласно равенству комплексных чисел, получаем следующую систему уравнений:
(1)
Умножаем обе части второго уравнения на 2 и вычтем результат из первого уравнения, получим (x + y)2 - 2(x + y) - 3 = 0 - квадратное уравнение относительно x + y. Решив его, получим x + y = 3 или x + y = -1.
Таким образом, система (1) распадается на две системы
Их решениями являются: x1 = 1, y1 = 2; x2 = 2, y2 = 1 и x3 = 1, y3 = -2, x4 = -2, y4 = 1.
Пример 8.
Найти координаты точки M, изображающей комплексное число
.
Решение.
Выделим действительную и мнимую часть этого числа:
Пример 9.
Найти все значения корней: а) ; б)
.
Решение.
а) Запишем комплексное число 1 в тригонометрической форме 1 = cos 0° + i sin 0°; затем по формуле (1), находим
Следовательно,
при k = 0;
при k = 1;
при k = 2;
при k = 3.
б) Записав комплексное число в тригонометрической форме
находим
Отсюда
Пример 10.
Решить уравнение z6 + 1 = 0.
Решение.
Имеем . Для вычисления всех значений
применим формулу (1),
Отсюда
Пример 11.Найти число, сопряженное с числом
.
Решение.
Заметим, что
. Тогда
Тогда сопряженное число .
Пример 12.
Установить, при каких действительных значениях x и y являются противоположными следующие комплексные числа: и
.
Решение.
Приведем числа z1 и z2 к алгебраической форме записи:
Согласно условию задачи, получаем систему:
(1)
Умножим обе части первого уравнения на 5, а второго - на 2 и сложим получившиеся при этом результаты:
- однородное уравнение.
Разделим обе его части на y2, получим:
- квадратное уравнение относительно
. Решив его, получим
и
, т. е. y = -2x или
. Подставим эти значения, например, в первое уравнение из (1), получим
.
Тогда y1 = -2, y2 = 2.
Аналогично, при получаем
- это уравнение действительных решений не имеет.
Ответ: {(1; -2), (-1; 2)}.