Минимальная граница критериального множества.

Рассмотрим второй подход к решению задачи выбора оптимального портфеля, а именно, будем выбирать «главный» критерий, фиксируя значение другого критерия.

Пусть уровень доходности фиксируется и ищутся портфели с минимальным риском . Такие портфели называются минимальными (по риску), а их оценки составляют минимальную границу критериального множества. Геометрически минимальная граница выглядит следующим образом:

Рис.6.

Здесь для любого определяется портфель с оценкой вида , который имеет наименьшую дисперсию. Множество таких оценок представляет собой дугу , которая и является минимальной границей. Причем показано (Марковиц), что эту границу можно представить на плоскости оценок графиком непрерывной функции вида .

Отметим также, что эффективная граница является частью минимальной границы критериального множества.

Перейдем теперь к построению оценок портфелей состоящих из двух активов. Начнем с модели Блека.

МОДЕЛЬ БЛЕКА ДЛЯ ДВУХ АКТИВОВ

Критериальное множество

Рассмотрим рынок из двух активов с параметрами и . Портфель описывается парой с основным ограничением . Представим последнее условие в параметрическом виде:

где . Тогда портфель будет описываться парой:

. (5)

Вычислим доходность и риск такого портфеля:

; (6)

. (7)

Учитывая, что равенство (7) можно переписать в виде:

(7¢)

Из последнего равенства следует, что риск портфеля зависит не только от рисков активов и , но и от коэффициента корреляции .

Равенства (6) и (7) определяют на критериальной плоскости критериальное множество , которое, как легко увидеть, представляет собой линию второго порядка вида . В этом можно убедиться, выразив из уравнения (6) и подставив полученное выражение в (7¢). Однако при этом получается достаточно громоздкое выражение, поэтому проведем предварительно исследование этой линии при различных значениях коэффициента корреляции .

3.2. Коэффициент корреляции

В этом случае, уравнение (7’) примет вид:

.

Подставив в последнее равенство параметр t из равенства (6):

,

получим

. (8)

То есть, в невырожденном случае , критериальное множество представляет собой параболу на критериальной плоскости :

Рис.7.

Эта парабола имеет вершину , с нулевым риском и доходностью (следует из равенства V(E)=0), и такой оценке соответствует портфель:

. (9)

Видно, что полное устранение риска в этом случае достигается только с использованием коротких позиций, так как одно из чисел и обязательно отрицательно.

С другой стороны, к полному устранению риска нужно подходить осторожно, так как, например, в случае

получаем, что доходность такого портфеля будет отрицательной , поэтому такое устранение риска является бессмысленным.

Если же риск измерять не дисперсией, а стандартным отклонением , то из формулы (8) получаем:

. (10)

В этом случае, критериальное множество представляет собой пару лучей с вершиной в точке :

Рис.8.

Таким образом, в случае минимальная граница совпадает с критериальным множеством, а эффективная граница представляет собой «правую ветвь» параболы на , или «правый луч» на плоскости .

3.3. Коэффициент корреляции .

В этом случае оценки портфелей имеют вид:

,

. (11)

Выражая t через E_t и подставляя в , получим параболу с вершиной Q^*. Найдем координаты вершины этой параболы из условия , а именно

или

.

Тогда

,

и

.

Таким образом, хотя , то есть риск портфеля меньше риска каждого из активов, но полностью устранить риск нельзя.

Критериальное множество (парабола) в этом случае имеет вид:

Рис.9.

На плоскости получаем кривую

(11')

которая представляет собой «верхнюю» ветвь гиперболы.

Рис.10.

Отметим, что здесь .

Как и в §3.2. минимальная граница совпадает с самим критериальным множеством, а эффективная граница – это «правая ветвь» параболы или гиперболы (соответственно).

3.4. Коэффициент корреляции

В этом случае

,

, (12)

или

. (12')

Это означает, что на плоскости (E,V) критериальное множество будет параболой с вершиной , в которой вычисляется из условия

или

.

Тогда

,

и парабола имеет вид:

Рис.11.

Здесь и риск можно устранить полностью только при использовании длинных позиций, так как .

На плоскости получаем пару лучей:

Рис.12.

Аналогичный анализ можно провести и для остальных . При этом следует, что:

а) полностью устранить риск можно лишь при

б) в общем случае на плоскости критериальное множество будет параболой, а на - гиперболой;

в) при вершина будет лежать вне дуги , а при - внутри дуги .