Минимальная граница критериального множества.
Рассмотрим второй подход к решению задачи выбора оптимального портфеля, а именно, будем выбирать «главный» критерий, фиксируя значение другого критерия.
Пусть уровень доходности фиксируется и ищутся портфели с минимальным риском . Такие портфели называются минимальными (по риску), а их оценки составляют минимальную границу критериального множества. Геометрически минимальная граница выглядит следующим образом:
Рис.6.
Здесь для любого определяется портфель с оценкой вида , который имеет наименьшую дисперсию. Множество таких оценок представляет собой дугу , которая и является минимальной границей. Причем показано (Марковиц), что эту границу можно представить на плоскости оценок графиком непрерывной функции вида .
Отметим также, что эффективная граница является частью минимальной границы критериального множества.
Перейдем теперь к построению оценок портфелей состоящих из двух активов. Начнем с модели Блека.
МОДЕЛЬ БЛЕКА ДЛЯ ДВУХ АКТИВОВ
Критериальное множество
Рассмотрим рынок из двух активов с параметрами и . Портфель описывается парой с основным ограничением . Представим последнее условие в параметрическом виде:
где . Тогда портфель будет описываться парой:
. (5)
Вычислим доходность и риск такого портфеля:
; (6)
. (7)
Учитывая, что равенство (7) можно переписать в виде:
(7¢)
Из последнего равенства следует, что риск портфеля зависит не только от рисков активов и , но и от коэффициента корреляции .
Равенства (6) и (7) определяют на критериальной плоскости критериальное множество , которое, как легко увидеть, представляет собой линию второго порядка вида . В этом можно убедиться, выразив из уравнения (6) и подставив полученное выражение в (7¢). Однако при этом получается достаточно громоздкое выражение, поэтому проведем предварительно исследование этой линии при различных значениях коэффициента корреляции .
3.2. Коэффициент корреляции
В этом случае, уравнение (7’) примет вид:
.
Подставив в последнее равенство параметр t из равенства (6):
,
получим
. (8)
То есть, в невырожденном случае , критериальное множество представляет собой параболу на критериальной плоскости :
Рис.7.
Эта парабола имеет вершину , с нулевым риском и доходностью (следует из равенства V(E)=0), и такой оценке соответствует портфель:
. (9)
Видно, что полное устранение риска в этом случае достигается только с использованием коротких позиций, так как одно из чисел и обязательно отрицательно.
С другой стороны, к полному устранению риска нужно подходить осторожно, так как, например, в случае
получаем, что доходность такого портфеля будет отрицательной , поэтому такое устранение риска является бессмысленным.
Если же риск измерять не дисперсией, а стандартным отклонением , то из формулы (8) получаем:
. (10)
В этом случае, критериальное множество представляет собой пару лучей с вершиной в точке :
Рис.8.
Таким образом, в случае минимальная граница совпадает с критериальным множеством, а эффективная граница представляет собой «правую ветвь» параболы на , или «правый луч» на плоскости .
3.3. Коэффициент корреляции .
В этом случае оценки портфелей имеют вид:
,
. (11)
Выражая t через Et и подставляя в , получим параболу с вершиной Q*. Найдем координаты вершины этой параболы из условия , а именно
или
.
Тогда
,
и
.
Таким образом, хотя , то есть риск портфеля меньше риска каждого из активов, но полностью устранить риск нельзя.
Критериальное множество (парабола) в этом случае имеет вид:
Рис.9.
На плоскости получаем кривую
(11')
которая представляет собой «верхнюю» ветвь гиперболы.
Рис.10.
Отметим, что здесь .
Как и в §3.2. минимальная граница совпадает с самим критериальным множеством, а эффективная граница – это «правая ветвь» параболы или гиперболы (соответственно).
3.4. Коэффициент корреляции
В этом случае
,
, (12)
или
. (12')
Это означает, что на плоскости (E,V) критериальное множество будет параболой с вершиной , в которой вычисляется из условия
или
.
Тогда
,
и парабола имеет вид:
Рис.11.
Здесь и риск можно устранить полностью только при использовании длинных позиций, так как .
На плоскости получаем пару лучей:
Рис.12.
Аналогичный анализ можно провести и для остальных . При этом следует, что:
а) полностью устранить риск можно лишь при
б) в общем случае на плоскости критериальное множество будет параболой, а на - гиперболой;
в) при вершина будет лежать вне дуги , а при - внутри дуги .