Теоремы о функциях, имеющих производную

Теорема Ферма

Теорема. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке и в некоторой внутренней точке этого промежутка достигает своего наибольшего или наименьшего значения. Если в этой точке существует производная, то она равна нулю: .

Доказательство

Пусть, для определенности, в точке функция достигает своего наибольшего значения.

По условию теоремы эта точка внутренняя, то есть , и поэтому к этой точке можно подойти и слева и справа.

Пусть мы подходим к слева. Тогда

(так как - наибольшее значение);

;

(так как мы подходим слева);

;

.

Делая предельный переход , получим

.

Пусть мы подходим к точке справа. Тогда

(так как - наибольшее значение);

;

(так как мы подходим слева);

;

.

Делая предельный переход , получим

.

Совместить два полученных неравенства можно только в одном случае: . <

Геометрический смысл доказанной теоремы ясен из рисунка: в точке наиболь­шего или наименьшего значения функции касательная к графику функции параллельна оси OX.

Существенность ограничений

В теореме Ферма по сути дела два ограничения: а) точка расположена внутри отрезка и б) . Покажем, что оба ограничения являются существенными, то есть отказ от любого из них приводит к тому, что утверждение теоремы становится неверным.

а) «внутренность» точки .

Если максимум или минимум функции достигается на границе отрезка, то, как видно из рисунка, утверждение теоремы Ферма неверно. При доказательстве это проявляется в том, что мы сможем подойти к точке только с одной стороны, и поэтому не получится второго, противоположного неравенства.

б) существование производной.

Пусть в точке существуют только односторонние производные. Тогда, как это видно из рисунка, теорема Ферма неверна. При доказательстве это проявиться в том, что получаться неравенства и , которые нельзя будет объединить в одно равенство, так как теперь .

Теорема Ролля

Пусть функция

а) определена и непрерывна на ;

б) ;

в)

Тогда существует точка в которой .

Доказательство этой теоремы следует из такой логической цепочки рассуждений:

1. Так как определена и непрерывна на , то, по первой теореме Вейерштрасса, она ограничена на , то есть существуют конечные и .

2. Если , то есть константа, то есть и поэтому . В качестве точки можно взять любую точку из .

3. Если , то, в силу условия и второй теоремы Вейерштрасса, хотя бы одно из значений или достигается во внутренней точке промежутка (см. рисунок). По теореме Ферма, в этой точке (их может быть и несколько) производная равна нулю. <

Внутри промежутка достигается sup	Внутри промежутка достигается inf

Внутри промежутка достигаются и sup и inf.

Формулы Коши и Лагранжа

Теорема. Пусть функции и

а) определены и непрерывны на ;

б) и ;

в) .

Тогда существует точка такая, что

.

Эта формула носит название формулы Коши.

Доказательство. Прежде всего отметим, что , иначе, по теореме Ролля, существовала бы точка , где , что противоречит ограничению «в».

Рассмотрим функцию

.

Она

а) определена и непрерывна на , так как и функции и непрерывны на ;

б)

.

в) .

Таким образом, для выполнены все условия теоремы Ролля. Поэтому такая, что

,

но тогда в этой точке

,

что и дает формулу Коши. <

Формула Лагранжа

Рассмотри частный случай, когда . Тогда формула Коши приобретает вид

,

или

,

где . Эта формула и называется формулой Лагранжа. В дальнейшем мы будем на нее часто ссылаться.

Заметим, что точка не обязательно единственная: может быть несколько точек , удовлетворяющих формулам Коши или Лагранжа.

Рассмотрим еще вопрос о геометрическом смысле формулы Лагранжа. Пусть мы имеем график . Проведем через точки и секущую. Она образует с осью OX угол и, как видно из рисунка, . Но есть тангенс угла, который касательная к кривой в точке образует с осью OX. Поэтому формулу Лагранжа можно трак­товать так: существует точка ,

в которой касательная параллельна секущей, соединяющей точки и .

Дифференциал

Рассмотрим важное для дальнейшего понятие дифференциала.

Напомним, что величина называется приращением функции.

Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде

.

Определение 2. Линейная часть приращения функции, то есть называется дифференциалом функции и обозначается

.

Чтобы точно уяснить эти определения функции рассмотрим пример. Пусть . Тогда

Заметим, что содержит слагаемое, линейное по , слагаемые с и . Так вот, только слагаемое, линейное по дает дифференциал, то есть

.