Xiv. движение границы раздела двух

ЖИДКОСТЕЙ С УЧЕТОМ НЕПОЛНОТЫ ВЫТЕСНЕНИЯ.

ТЕОРИЯ БАКЛЕЯ - ЛЕВЕРЕТТА

При проектировании разработки и эксплуатации нефтяных и газовых месторождений большое внимание уделяется задачам движения границы раздела двух жидкостей в пористой среде. Например, в нефтяных пластах, разрабатываемых при водона­порном режиме, вода обычно не заполняет полностью область, первоначально занятую нефтью. В этой области происходит одновременное движение вторгшейся воды и оставшейся, постепенно вымываемой нефти.

Решение такого важного вопроса, как повышение коэффи­циента нефтеотдачи нефтяных месторождений, разрабатывае­мых при поддержании пластового давления закачкой в пласт воды или другого вытесняющего нефть агента, связано с зада­чами фильтрации многокомпонентных жидкостей.

При фильтрации двухфазной жидкости для каждой фазы в •отдельности справедлив закон Дарси. В общем случае при нали­чии массовых сил фильтрация двухфазной несжимаемой смеси описывается (по числу неизвестных Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru )следующей замкнутой системой уравнений:

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru (XIV.1)

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru (XIV.2)

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru (XIV.3)

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru (XIV.4)

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru (XIV.5)

где σ— насыщенность порового пространства первой (вытесняю­щей) фазой; р1 и р2 — соответственно давления каждой фазы, которые, вообще говоря, не равны друг другу из-за капилляр­ных эффектов; X — проекция массовых сил, отнесенная к еди­нице массы; рк(σ)—капиллярное давление; R1 и R2 — в фор­муле Лапласа (XIV.3) — главные радиусы кривизны менисков контактной поверхности, зависящие, в основном, от насыщен­ности; а — поверхностное натяжение. Остальные обозначения прежниеНа практике капиллярное давление считается известной экс­периментальной функцией насыщенности и представляется в виде зависимости безразмерной функции Леверетта Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru от насыщенности σ порового простран­ства вытесняющей жидкостью (рис. 89), θ — статический крае­вой угол между жидкостями и породой.

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru

Оценки, сделанные М. Маскетом, показывают, что в пласте градиент капиллярного давления обычно мал по сравнению с градиентом гидродинамического давления всюду, кроме зоны фронта вытеснения, где насыщенность а резко изменяется, a поэтому имеют место большие значения градиента капиллярного давления (см. рис. 89), которые необходимо учитывать. Однако из-за исключительной сложности решения задач двухфазной фильтрации оба эти фактора не принимаются во внимание, а капиллярность косвенно учитывается самим видом экспери­ментальных кривых Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru для несцементированных и слабо сцементированных песков (рис. 90); на графиках Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru , Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru .

Наиболее разработанной теорией является теория одномер­ного движения двухфазной жидкости в пористой среде Баклея — Леверетта. Рассматривая двухфазную фильтрацию в трубке тока по­стоянного сечения при отсутствии капиллярного давления и без учета массовых сил и полагая, что суммарная скорость фильт­рации является постоянной величиной: Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru , Баклей и Леверетт из системы уравнений (XIV.1)—(XIV.5) получили дифференциальное уравнение относительно σ

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru (XIV.6)

где т — пористость пласта; Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru — производная от функции Леверетта

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru , Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru (XIV.7)

Уравнение (XIV.6) является квазилинейным дифференциаль­ным уравнением 1-го порядка в частных производных.

Решение уравнения (XIV.6) имеет вид:

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru (XIV.8)

где Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru — координата точки с заданной насыщенностью σ в момент t = 0.

Уравнение (XIV.8) определяет перемещение точки с задан­ной насыщенностью с течением времени.

Скорость распространения заданной насыщенности σ полу­чим из уравнения (XIV.8), взяв производную dx/dt,

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru (XIV.9)

Функция Леверетта f(σ) и ее производная Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru представ­лены на рис. 91. Как видно из графика, одному и тому же значению Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru , определяющему скорость распространения на­сыщенности заданной величины, соответствуют два разных значения насыщенности σ.

Это означает, что, начиная с некоторого момента, распреде­ление насыщенности становится многозначным, а это физически невозможно. Многозначность означает, что в зоне движения двухфазной жидкости имеет место скачок насыщенности (рис. 92).

Баклей и Леверетт из условия материального баланса полу­чили формулу для определения значения фронтовой насыщен­ности σф (насыщенности на скачке)

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru (XIV.10)

Очевидно, что фронтовую насыщенность σф можно легко определить графически. Проведя из начала координат каса­тельную к кривой f(σ) (рис. 93) и опустив перпендикуляр из точки касания на ось σ, получим значение фронтовой насыщен­ности.

Подставив σф в (XIV.8), можем найти координату скачка насыщенности Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru .

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru

Чтобы найти среднее значение насыщенности в переходной зоне, разделим объем поступившей вытесняющей жидкости на объем порового пространства переходной зоны, определяемого координатой Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru при площади поперечного сечения пласта, рав­ной единице,

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru (XIV.11)

Среднюю насыщенность σср можно определить графически следующим образом. Если продлить касательную к кривой f(σ) до пересечения с прямой f(σ) =1, то значение σ в точке пере­сечения и есть средняя насыщенность σср (см. рис. 93).

Как правило, среднее значение насыщенности порового про­странства водой σср значительно меньше единицы. Поэтому, на­пример, в процессах вытеснения нефти водой для более полного извлечения нефти из пласта на объем добытой нефти нужно закачать несколько объемов воды.

Задача 122

Построить функцию Леверетта f(σ) в случае, если зависи­мости относительных фазовых проницаемостей нефти Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru и воды Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru от насыщенности водой порового пространства σ за­даются кривыми Леверетта (см. рис. 90), отношение Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru .

Решение.Задаемся рядом значений σ, для каждого зна­чения σ по графику Леверетта (см. рис. 90) определяем соот­ветствующие Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru и Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru ; подставляя их в (XIV.7), подсчитываем f(σ) и строим график f(σ) (см. рис. 93). Результаты расчетов приведены ниже.

σ, %........0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru ..........- - 0,70 0,50 0,34 0,23 0,13 0,06 0,02 0 0

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru ..........0 0 0 0,01 0,05 0,11 0,21 0,33 0,51 0,72 -

f(σ) .......0 0 0 0,074 0,37 0,66 0,87 0,96 0,99 1 1

Задача 123

Используя полученный в задаче 122 график функции Леве­ретта (см. рис. 93), определить значение фронтовой насыщен­ности σф и средней насыщенности σср порового пространства водой в зоне вытеснения нефти водой.

Решение.Для определения фронтовой насыщенности σф из начала координат проведем касательную к кривой, выражающей функцию Леверетта (см. рис. 93). Значение насыщенности в точке касания соответствует фронтовой насыщенности σф = 59%.

Значение средней насыщенности найдем, продолжая каса­тельную к кривой f(σ) до пересечения ее с горизонтальной прямой f(σ) = 1. Значение насыщенности в точке пересечения касательной с прямой f(σ) =1определяет значение σср = 69%.

Задача 124

В однородном по мощности, пористости и проницаемости пласте происходит прямолинейно-параллельное вытеснение нефти водой по закону Дарcи. Определить положение фронта вытеснения в различные моменты времени, если пористость пласта m = 20%, отношение Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru , дебит галереи Q = 21,6·103 м3/сут, ширина фильтрационного потока В = 500 м, мощность пласта h=10 м. Зависимости относительных прони­цаемостей нефти и воды от насыщенности порового простран­ства водой задаются графиками Эфроса, для которых графики функции Леверетта f(σ) и ее производной Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru представлены: на рис. 94 и95.

Насыщенность пласта связанной водой составляет σсв= 18%.

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru Решение.Определим значение σф, для чего проведем из начала координат касательную к кривой f(σ) (см. рис. 94). Как видно из чертежа, σф =0,84 и соответствующее значение производной Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru =1,4 (см. рис. 95). Суммарная скорость фильт­рации

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru

Задаваясь различными значениями t, подсчитаем no (XIV.8) координат фронта вытеснения Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru , учитывая, что в начальный момент времени Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru :

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru

Результаты вычислений приведены ниже.

t,ч………1 12 24 48 240

Xiv. движение границы раздела двух - student2.ru , м…...1,16 15,1 30,2 60,4 302

На рис. 96 представлено распределение насыщенности для двух моментов времени.

Наши рекомендации