Константу можно выносить за знак производной
Константу можно выносить за знак производной
Пример 1.1. y = 12sinx +17cosx + 99tgx
► Пользуясь правилом суммы и вынося константу за знак производной получаем
(12sinx + 17cosx + 99tgx)` = 12cosx – 17sinx + ◄
Пример 1.2. y = 11x101 +18 ln(x)
► y` = 1111x100 + 18/x◄
1) ![]() | 2) ![]() |
3) ![]() | 4) ![]() |
5) ![]() | 6) ![]() |
7) ![]() | 8) ![]() |
9) ![]() | 10) ![]() |
11) ![]() | 12) ![]() |
13) ![]() | 14) ![]() |
15) ![]() | 16) ![]() |
17) ![]() | 18) ![]() |
19) ![]() | 20) ![]() |
21) ![]() | 22) ![]() |
23) ![]() | 24) ![]() |
25) ![]() | 26) ![]() |
27) ![]() | 28) ![]() |
29) ![]() ![]() | 30) ![]() ![]() |
Производная от частного. Найти производную функции
Пример 2.1. y = (99x/sinx).
► Воспользуемся формулой ((u/v)` = (u`v – uv`)/v2)
(99x/sinx)`=99(1×sinx–xcosx)/sin2x. ◄
Пример 2.2. y = 3ax/lnx.
► Пользуясь правилом дифференцирования частного двух функций, получаем (3ax/lnx)` = 3(axlnalnx–3ax/x)ln2x. ◄
1) (tg(x) /cx3)) 2)
(sin(x) /x) 3)
(cos(x) /x5)
4) (arctg(x) /4x) 5)
(arcctg(x) /(x-x8)) 6)
(arcsin(x) /5x))
7) (arccos(x) /ax) 8)
(5x/ln(x)) 9)
(log(x) /x3x))
10) (ln(x) /cosec(x)) 11)
(xa/sec(x)) 12)
(x2/arccos(x))
13) (4x5) /arcsin(x)) 14)
(9x) /arctg(x)) 15)
(12x) /arcctg(x))
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28) (lg4x/thx) 29)
(chx/(1-shx2)) 30)
(shx/(1-thx))
Производная произведения
Пример 3.1. y = xsinxex.
► Пользуясь формулой (uv)` = u`v + uv` получим
(*) (xsinxex)` = xex cosx + exsinx(x + 1)
Здесь удобно взять u = xex,а v = sinx.Так как u – произведение двух функций, x и ex, то воспользуемся формулой для вычисления произведения двух функций
u` = u1`v1+u1v1` = ex(x + 1), где u1 = ex, v1 = x.
Подставляя найденное u` и v` = cosx получим (*)◄
Пример 3.2. y = sinxcosx(ax)
► Действуя по аналогии с примером 3.1. возьмем u = sinxcosx и v = ex, тогда
u` = cos2x-sin2x = cos2x, v` = ex
По формуле для производной произведения получим
(sinxcosxex)` = u`v + uv` = excos2x + exsinxcosx = ex(cos2x + (sin2x)/2) ◄
1) ( 2xlog25x(-x56)) 2)
( 4xsinx(-arctg(x))) 3)
(3xtgx(-arccos(x)))
4) ( 5xctgx(-x5a)) 5)
( axlog2x(-x7)) 6)
(7xlog4x(-x3))
7) ( 8axlog7x(-x9)) 8)
( 9xlog3x(-5x8)) 9)
(343xlog21x(-x33))
10) ( 77xlog63x(-4x8)) 11)
( 22xlog23x(-xa)) 12)
(2xcosx(-x3))
13) ( 6xlog67x(-x66)) 14)
( 9xlog55x(-x77)) 15)
(757xlog44x(-x88))
16) (xsinx) 17)
(xshx) 18)
(xthx3)
19) (tgxthx) 20)
(lnxchx) 21)
(sinx arccos2x)
22) (e2xarctgxchx) 23)
(axxb) 24)
(arcctgxlog32x3)
25) (x3tgxsin3x) 26)
(23xln(x2+3x+2)) 27)
(shx(ax+b))
28) (tgxarcctg24x) 29)
(sin12x5chx7) 30)
(exxaln(bx)4)
Производная сложной функции
Пример 4.1. y = log3(arcsinx)
► Пользуясь правилом нахождения производной от сложной функции и полагая f=log3(g), g=arcsinx, найдем f`(g) и g`(x).
f`(g) = log3e/g, g`(x)= , (f(g(x)))`=f`(g)g`(x) Þ
◄
Пример 4.2.
► Поступаем, аналогично предыдущему примеру
.◄
1) (acos(tg(x))) 2)
(3sin(ctg(x))) 3)
(4tg(sin(x)))
4) (3(tg(cos(x))) 5)
(7cos(3tg(4x))) 6)
(6arctg(3cos(4x)))
7) (9cos(3arctg(6x))) 8)
(10ln(tg(3x))) 9)
(11ctg(3tg(7x)))
10) (6sin(tg(x))) 11)
(4cosec(7tg(5x))) 12)
(55cos(arctg(x)))
13) (3(arcsin(x))) 14)
(2cos(6arcctg(4x))) 15)
(5sec(5tg(8x)))
16) ln
17)
(ln(ln(ln(2x+1)))) 18)
(sin(arcctg(sh3x)))
19) (th(ctgx)) 20)
(ln(arccosex)) 21)
(sin(shx))
22) (sin(chx2)) 23)
(log35(3thx)) 24)
(cosec(th(arcsin7x)))
25)
26)
27)
(sh(ch(e20x)))
28) (7ln(ln(x))) 29)
(th(arctg(lnx))) 30)
(xxlnx)
Неявные функции
Пример 7.1. Уравнение x2 + y2 = 1 неявно определяет на интервале (-1,1) две функции:
y1(x) = ,
y2(x) = .
Найти их производные, не используя явных выражений.
►Пусть y(x) - любая из этих функций. Тогда, дифференцируя по x тождество
x2 + y2(x) = 1,
получим
2x + 2y(x)y`(x) = 0.
Отсюда
y`(x) = –x/y(x),
т. е.
y`1(x) = –x/y1(x) = – , y`2(x) = –
.◄
Пример 7.2. Уравнение arctg(y/x) = ln задаёт неявную функцию. Найти ее производную.
► Продифференцировав равенство arctg(y/x) = ln получим
,
откуда
y` = (x¹y).◄
Найти производную неяной функции y = f(x), определяемой уравнением
1) sin(xy) + 2x = 3xy 2) cos(xy)+2x= 5xy
3) tg(xy) + 5x= 8xy 4) arccos(x2y) + log2x = 11xy
5) cos(xy4) + arcsin(23x3) = 22xy 6) sin(xy) + 2x = 3xy
7) x3 + y4 = xy 8) 5x7 + y8 = x8y8
9) 5x6 + y9 = xy9 10) 8x9 + y7 = x7y2
11) 4x6 + y3 = x5y2 12) log5(xy3) + arcsin(9x5) = 19xy
13) log8(xy8) + arcsin(4x7) = 18xy 14) log9(xy9) + arcsin(2x9) = 1995xy
15) log2(xy4) + arcsin(3x3) = 19xy 16) x2 + 2xy – y2 = 2x
17) y2 = 2px 18) = 1
19) 20)
21) arctg = ln
22) x3 – 2x2y2 + 5x + y – 5 = 0
23) exy + xy = e 24) 2ylny = x
25) exsiny – eycosx = 0 26) sin(xy) + cos(xy) = 0
27) 2x+2y = 2x+y 28) x – y = arcsinx – arcsiny
29) xy = yx 30)
Найти дифференциал функции
Пример 9.1. Найти дифференциал функции y = ctg3x
►Пользуясь тем, что dy = y`(x)dx найдем dy
dy = – , x¹pk/3, kÎZ.◄
Пример 9.2. Найти дифференциал функции y=ln| |
► Используя определение дифференциала, находим
.◄
1) y = arccos(89log56(8x+4x9) ) 2) y = tg(exp(5x+x7))
3) y = cos(log3(2x+x4)) 4) y = tg(5log4(7x+x3))
5) y = arctg7log8(9x+x2)) 6) y = log3(5log4(7x)+6x8))
7) y = exp(6log7(16+2x5)) 8) y = arctg(9log9(14x+x5))
9) y = arcctg(8log12(13x)) 10) y = cos(exp(2x+x4))
11) y = arcsin(log3(6x+12(x7)3)) 12) y = (67log11(2x+33x77))
13) y = 45log12(x+2x12) 14)y = (34log9(11x+66x9))3
15) y = (23log3(7x+77x5))5 16) y = ln|x+ |
17) y = xex 18)y = tg(exp(16x+x9))
19) y = arctg(3log5(2x+4x3)) 20) y = arcctg(2log6(7x+2x4))
21) y = arcsin(ln(6x2)) 22) y = arccos
23) y = arcsin 24) y = x2ln2x
25) y = 26) y =
27) y = sinx – xcosx+4 28) y = x +
-5
29) y = xlnx-x+1 30) y = xarcsinx+
Константу можно выносить за знак производной
Пример 1.1. y = 12sinx +17cosx + 99tgx
► Пользуясь правилом суммы и вынося константу за знак производной получаем
(12sinx + 17cosx + 99tgx)` = 12cosx – 17sinx + ◄
Пример 1.2. y = 11x101 +18 ln(x)
► y` = 1111x100 + 18/x◄
1) ![]() | 2) ![]() |
3) ![]() | 4) ![]() |
5) ![]() | 6) ![]() |
7) ![]() | 8) ![]() |
9) ![]() | 10) ![]() |
11) ![]() | 12) ![]() |
13) ![]() | 14) ![]() |
15) ![]() | 16) ![]() |
17) ![]() | 18) ![]() |
19) ![]() | 20) ![]() |
21) ![]() | 22) ![]() |
23) ![]() | 24) ![]() |
25) ![]() | 26) ![]() |
27) ![]() | 28) ![]() |
29) ![]() ![]() | 30) ![]() ![]() |