Понятие о внутренней геометрии поверхности
Рассмотрение двух поверхностей, полученных изгибанием, показывает, что многие их свойства одни и те же, хотя формы у поверхностей разные. Поэтому целесообразно изучать такие понятия и факты теории поверхностей, которые не меняются при изгибании.
Определение. Внутренней геометрией поверхности называется совокупность таких её свойств, которые определяются только коэффициентами первой квадратичной формы, то есть не меняются при изгибании.
К внутренней геометрии относятся:
– длины кривых на поверхности;
– углы между кривыми;
– площади областей поверхности;
– гауссова кривизна: K =
LN – M2 =
+
Гауссову кривизну можно найти, используя только коэффициенты первой квадратичной формы, таким образом, две поверхности с одинаковой гауссовой кривизной изометричны.
– тип точек на поверхности и др.
Геодезическая кривизна кривой на поверхности
Пусть Ф – регулярная поверхность, g Ì Ф – регулярная кривая, – её естественная параметризация, М Î g – некоторая точка.
– единичный вектор нормали к поверхности.
Определение. Число kg = ( ,
,
) называется геодезической кривизной кривой g в точке М.
Геометрический смысл геодезической кривизны: k – вектор кривизны кривой g в точке М, геодезическая кривизна кривой – это длина проекции вектора кривизны k
на касательную плоскость (с точностью до знака).
Геодезическая кривизна в произвольной параметризации
– параметризация кривой g;
=
=
;
=
+
=> kg =
Пример. Найти геодезическую кривизну винтовой линии u = u0, лежащей на прямом геликоиде x = u cos v, y = sin v, z = bv.
(cos v; sin v; 0),
(–u0 sin v; u0 cos v; b)
(
; –
;
)
Пусть t = v => =
,
=
(–u0 cos v; –u0 sin v; 0), |
| =
kg = = –
Геодезические линии
Определение. Линия на поверхности называется геодезической, если в каждой её точке геодезическая кривизна равна нулю.
( ,
,
) = 0 (в любой параметризации)
Свойства геодезической линии
1. Кривая g является геодезической тогда и только тогда, когда в каждой её точке, где кривизна k ¹ 0, имеет место соотношение ||
(вектор кривизны коллинеарен нормали).
2. Пусть g – линия касания двух поверхностей Ф1 и Ф2. g – геодезическая линия для Ф1 тогда и только тогда, когда g – геодезическая линия для Ф2.
3. Через каждую точку регулярной поверхности в любом направлении можно провести, причем единственную геодезическую линию.
4. Геодезическими линиями на сфере являются большие окружности и только они.
Пример. Найти геодезические линии на прямом круговом цилиндре:
х = R cos u, y = R sin u, z = v (0 £ u < 2p, –¥ < v < ¥)
(–R sin u, R cos u, 0),
(0; 0; 1);
(cos u; sin u; 0)
Пусть – параметризация линии, лежащей на цилиндре, то есть u = u(t),
v = v(t).
(–R sin u · ut'; R cos u · ut'; vt');
(–R cos u (ut')2 – R sin u ·
; –R sin u · (ut')2 + R cos u ·
;
)
( ,
,
) = 0 => ut'
–
vt' = 0
Решением этого дифференциального уравнения являются: u = at + b, v = ct + d.
Тогда на цилиндре геодезическими линиями будут:
x = R cos(at + b), y = R sin(at + b), z = ct + d – винтовые линии
Теорема (основное свойство геодезической линии). Если точки P и Q геодезической линии на поверхности Ф достаточно близки, дуга М1М2 этой линии является кратчайшей среди дуг всевозможных кривых на Ф с концами P и Q.
Замечание. Требование близости точек P и Q на геодезической линии существенно. Достаточно рассмотреть две дуги большой окружности на сфере с общими концами P и Q, не являющимися диаметрально противоположными точками. Одна из этих дуг является кратчайшей, а другая – нет.