Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций

Основной подход при интегрировании иррациональных функций состоит в сведении искомого интеграла к интегралу от рациональной функции с помощью подходящей замены переменной (так называемая рационализация интеграла). Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных и трансцендентных функций.

1. Интегралы вида

где R – рациональная функция, находятся с помощью подстановок соответственно.

Пример. Найти интеграл

Решение. Полагая получаем

, где

Пример.Найти интеграл

Решение.Положив получаем при

2. Интегралы вида где рациональная функция, рационализируется подстановкой , где наименьшее общее кратное чисел

Интегралы вида где рационализируется подстановкой где p имеет тот же смысл, что и выше.

Пример. Найти интеграл

Решение: наименьшее общее кратное степеней 4 и 6 радикалов в подынтегральной функции равно 12.

Поэтому введем замену тогда

Получаем

Вернемся к исходной переменной:

3. Интегрирование биномиального дифференциала (выражения вида ).

Интеграл где рациональные числа выражаются через элементарные функции только в следующих трех случаях.

Случай 1. p – целое. Тогда, если p>0, подынтегральное выражение развертывается по формуле бинома Ньютона; если p<0, то полагаем где k – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n.

Случай 2. целое. Полагаем знаменатель дроби p.

Случай 3. целое. Полагаем знаменатель дроби p.

В других случаях интеграл не может быть выражен в элементарных функциях.

Пример. Найти интеграл

Решение. получаем

Получаем случай 3.

Замена

4. Интегралы вида где рациональные числа, приводятся к интегралу от биномиального дифференциала и потому интегрируются в элементарных функциях только в трех случаях

1) n – нечетное ( целое),

2) m – нечетное ( целое),

3) m+ n – четное ( целое).

Если число n нечетное, применяется подстановка sin x=t.

Если число m нечетное, применяется подстановка cos x=t.

Если сумма чисел m+ n – четная, применяется подстановка tg x =t

(или ctg x=t).

В частности, такая подстановка удобна для интегралов где n – целое положительное число. Но если m и n – неотрицательные четные числа, то удобнее метод понижения степени с помощью тригонометрических преобразований:

5. Интегралы вида где рациональная функция от , преобразуются в интегралы от рациональной функции подстановкой

Эта подстановка называется универсальной. В этом случае

В случае, когда подстановка ведет к слишком громоздким выкладкам, иногда удается использовать более простые подстановки.

Если выполняется равенство или

то применяем подстановки соответственно.

Если выполняется равенство то применяем подстановки

Пример. Найти интеграл .

Решение.

.

Пример. Найти интеграл .

Решение. Введем замену .

Получаем: .

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

.

Пример. Найти интеграл .

Решение: - четные, . Введем замену

.

Получаем: .

Пример. Найти интеграл .

Ведем замену .

Получаем: .

Определенный интеграл

Пусть функция y=f(x) задана на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок [a, b] на п элементарных отрезков точками . В каждом из отрезков разбиения выберем произвольную точку и положим , где i=1, 2, … , n. Тогда сумма вида

(4.6)

называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a, b].

Геометрический смысл величины σ показан на рис. 4.1: это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами , i=1, 2, … , n.

Рис.4.1

Обозначим через λ длину максимального элементарного отрезка данного разбиения, т.е. .

Определение 4.3. Конечный предел I интегральной суммы σ при , если он существует, называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a, b]:

.

Определенный интеграл обозначается символом

Если определенный интеграл существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b], числа а и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования.

Теорема 4.5. (необходимое условие интегрируемости функции). Интегрируемая на [a, b] функция f(x) ограничена на этом отрезке.

Теорема 4.6. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на нем.

Теорема 4.7. Если определенная и ограниченная на отрезке [a, b] функция f(x) имеет конечно число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.