Направление выпуклости и точки перегиба графика функции

Пусть функция дифференцируема на интервале (a, b). Тогда существует касательная к графику функции в любой точке этого графика причем, касательная не параллельна оси Oy, поскольку ее угловой коэффициент, равный , конечен.

Определение 3.9.Будем говорить, что график функции имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функций на (a, b) (рис. 3.23)

Рис. 3.23

Теорема 3.12Если функция имеет на интервале (a, b) вторую производную и ( ) во всех точках (a, b), то график функции имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Геометрический смысл признака:

, т.е. возрастает, график вогнут;

, т.е. убывает, график выпуклый.

Пример

график функции вогнут для всех x; график выпуклый для всех x.

Замечание.Признак не является необходимым, т.е. в точке выпуклости или вогнутости может быть .

Пример. (рис. 3.24)

Рис. 3.24

Определение 3.10.Точка называется точкой перегиба графика функции , если в точке M график имеет касательную, и существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции слева и справа от точки имеет разные направления выпуклости.

Теорема 3.13. (необходимое условие точки перегиба). Пусть график функции имеет перегиб в точке и пусть функция имеет в точке непрерывную вторую производную. Тогда в точке обращается в нуль, т.е.

Теорема 3.14. (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от точки , то график имеет перегиб в точке .

Замечание. Теорема остается верной, если имеет вторую производную в некоторой окрестности точки , за исключением самой точки , и существует касательная к графику функции в точке M. Тогда, если в пределах указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от точки , то график функции имеет перегиб имеет перегиб в точке .

Пример. ; В точке вторая производная не существует, но слева и справа от нее имеет разные знаки и график функции имеет перегиб в точке (рис. 3.25)

Рис. 3.25

Асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции на бесконечности, т.е. при или при или вблизи точек разрыва 2-го рода, часто оказывается, что график функции сколь угодно близко приближается к той или иной прямой. Такие прямые называются асимптотами.

Существуют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Определение 3.10. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

Определение 3.11. Прямая называется горизонтальной асимптотой, графика функции при ( ), если

Определение 3.12. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при ( ), если функцию можно представить в виде

где при ( ).

Пример

Найти асимптоты графика функции

Решение

1) - вертикальная асимптота, т.к.

2) Горизонтальных асимптот нет

3)

Итак, наклонная асимптота

Пример

Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция определена на всей числовой оси. Нет вертикальных асимптот.

Найдем наклонные асимптоты где ( т.к. )

( т.к. )

Замечание: при вычислении пределов использовалось правило Лопиталя. Итак, получены две наклонных асимптоты