М – последовательности. Основные свойства и методы формирования

Среди ФМ сигналов особое место по применению занимают сигналы, кодовые последовательности которых являются ПСП максимальной длины или М – последовательностями.

М – последовательности обладают следующими свойствами:

1. ПСП является периодической с периодом из N импульсов.

2. Величина боковых пиков периодической АКФ ПСП равна М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru .

3. М – последовательность в общем случае состоит из нескольких видов радиоимпульсов (отличающихся начальными фазами, несущими частотами и т.д.). Импульсы различного вида встречаются в периоде примерно одинаковое число раз, т.е. распределены на периоде равновероятно и удовлетворяют условию сбалансированности. Поэтому М – последовательности называют псевдослучайными.

4. Формируются М – последовательности на основе РСЛОС. При этом, если регистр имеет k – разрядов (дискретных элементов задержки) и в М – последовательности используется алфавит из p различных видов импульсов (отличающихся, например, фазами), то

М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru , (2.29)

откуда число разрядов регистра

М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru . (2.30)

Следовательно, значительное увеличение числа импульсов N в периоде М – последовательности вызывает незначительное увеличение числа разрядов регистра, причем нулевая последовательность является запрещенной.

5. АКФ усеченной М – последовательности, понимаемой как непериодическая последовательность с длиной N, имеет величину боковых пиков, близкую к М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru .

Рассмотрим принцип формирования и свойства М –последовательностей. Пусть при р= 2 РСЛОС рис.2.4 состоит из трех ячеек триггеров М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru с функциями дискретных элементов задержки и сумматора.

М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru

М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru

М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru

Рис.2.4. Генератор М–последовательности с периодом N=7.

На триггеры поступают тактовые импульсы сдвига с частотой М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru , каждый из которых вызывает изменение состояния всех триггеров. При этом состояние на выходе каждого триггера становится равным состоянию на его входе для предыдущего такта. Символы состояния принимают два значения, которые условно обозначим 1 и 0.

Правило суммирования символов в двоичной системе счисления – это суммирование по модулю 2 (mod 2).

Пусть в исходном состоянии символ на выходе T1 равен 1, а на T2 и T3 – 0. Т.е. исходное состояние сдвигающего регистра характеризуется комбинацией выходных символов – 100. На входе T1 символ 0, т.к. символ на выходе сумматора равен М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru . С поступлением очередного тактового сдвигающего импульса символы с входов триггеров переходят на их выходы. Новое состояние регистра описывается комбинацией – 010. На входе T1 появляется 1 с выхода сумматора. Аналогично определяются и другие состояния регистра. Состояния регистра различны для тактов 1-7, а для последующих тактов они повторяются. Т.к. число разрядов регистра k=3, то число возможных состояний регистра М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru . Нулевая комбинация 000 является запрещенной, т.к. она приводит к обращению в нуль всех символов во всех комбинациях. Поэтому период ПСП (2.29) равен М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru = 7. Если символы непрерывно считывать с входа T1, то получим периодическую последовательность c периодом N = 7: М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru .

Если считывать последовательности с других триггеров, то получим последовательности, сдвинутые по времени относительно ПСП с входа T1.

Изменение исходного состояния регистра приводит лишь к сдвигу последовательности во времени.

Число единиц М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru , число нулей М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru , М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru в периоде ПСП удовлетворяет условию сбалансированности. В общем случае при p=2 число единиц в последовательности М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru , а число нулей М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru .

Сумма двух М – последовательностей, сдвинутых относительно друг друга, является М – последовательностью, т.е. удовлетворяет свойству корреляции кода.

Фазоманипулированный действительный сигнал ПСП огибающей (1.15) U(t) М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru рис.1.4 формируется с помощью М – последовательности на основании следующих известных соотношений.

Согласно таблице 2.1 каждому символу 0,1 ЦКП bn М – последовательности ставится в соответствие радиоимпульс со своей начальной фазой (т.е. видеоимпульс огибающей КП с амплитудой М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru ):

М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru , (2.31)

Поэтому умножению символов an (1 и –1) соответствует согласно (2.31) таблица сложения bn (0 и 1) по модулю 2, т.е.

М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru . (2.32)

Пример. Покажем, как указанные выше соотношения позволяют легко вычислить, например, АКФ (2.19) для периодического ШПС

М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru .

Если сдвиг не кратен периоду ( М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru для любого l=0,1,…), то согласно (2.32) сумма двух сдвинутых М – последовательностей является М – последовательностью, для которой число единиц больше числа нулей на единицу. Поэтому сумма всех М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru ЦКП при М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru будет равна единице и в выражении для АКФ сумма произведений КП согласно (2.32) и (2.31) равна соответственно минус 1, а нормированная АКФ будет равна (- М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru .)

Если сдвиг кратен периоду ( М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru для любого l=0,1,…) временной сдвиг между последовательностями равен нулю, т.е. М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru и значение периодической АКФ равно М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru .

На рис.2.5. представлена периодическая М – последовательность и ее периодическая АКФ, которая при увеличении N приближается к идеальной с уровнем боковых пиков М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru = (−1/N) → 0.

М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru

U(t)

1

t

-1 Т 2Т

М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru

М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru

0 0 М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru

М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru

Рис.2.5. АКФ периодической М – последовательности с N=15.

Вместе с тем, с точки зрения параметрической скрытности структуры генератора ПСП необходимо также увеличивать период N ПСП. Однако, это требование неэффективно. Известно [2,5,6], что постановщику помех достаточно принять 2k символов М – последовательности, чтобы определить структуру генератора. Поэтому применяют нелинейные ПСП, смену ПСП.

В некоторых приложениях, например, в системах СDМА каждому абоненту присваивается индивидуальная ПСП и ансамбль ПСП должен быть большим. В идеальном случае ПСП абонентов должны быть взаимно ортогональны, т.е. периодическая ВКФ (2.18) равна Rjk (µ) = 0. Однако, число М – последовательностей ограничено, а ВКФ между парами ансамбля реальных М – последовательностей имеет относительно большие амплитуды пиков Rjk max (µ). Только отдельные пары ПСП [2] длиной М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru имеют меньшие пики ВКФ с тремя уровнями {-1, -t(k), t(k) -2}, где

М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru (2.32')

Такие М – последовательности называют ПСП Голда, Касами или предпочтительными последовательностями. Например, при k=5 общее число ПСП ансамбля равно 6, Rjk max (µ) =11, Rjk max (µ)/ R(0) = 0,35 , а для пары предпочтительных ПСП ансамбля t(k=5)=23+1=9, Rjk max (µ)/ R(0) = 0,29.

Рассмотрим обобщенную структуру цифрового автомата рис.2.6 формирования М – последовательностей.

Пусть используется алфавит из p различных символов: 0,1,2,3,…,p-1, образующих множество символов М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru . Cимволы на выходе триггеров в j –м такте равны: x1,j, x2,j… xl,j… xk,j , а множители М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru . Операция умножения в умножителе X производится по модулю М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru , т.е. М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru . Для сохранения однозначности значения p -простые числа.

Tk
T3
T2
T1
x0,j x1,j x2,j x3,j xk,j

               
  М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru   М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru   М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru
        М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru
 

М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru

C0

C1 C2 C3 Ck-1 Ck

 
  М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru

Рис.2.6. Цифровой автомат формирования М-последовательности.

Правило умножения двух чисел по модулю p: два числа перемножаются обычным образом, а их произведение переводится в конечное множество S с помощью сравнения по модулю p.

Примечание [18]. Два целых числа m и n сравнимы по модулю М, т.е. М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru , где М - целое число, если разность (m - n) делится на М без остатка. Это значит, что m и n при делении на М дают одинаковые остатки. Например, числа: b ≡12 ≡ 2 ≡ −3 (mod 5) сравнимы по mod 5, так как при m=2, n= −3 → (m − n)= 2 − (−3) ≡ 0(mod 5), а 12 ≡ 2(mod 5).

Если все числа m и n при делении на mod M дают одинаковые остатки, т.е. сравнимы, то их можно объединить в один класс, который называют классом вычетов по mod M, а эти числа называют вычетами этого класса. Таким образом, все числа можно разбить на М непересекающихся классов вычетов: С0 , С1 ,….СМ -1 .

Таким образом, умножение по модулю pзаписывается как М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru , при М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru ; например, если a=2, b=4, то d=8,и для p=5 имеет М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru , т.е. число 8, которого нет в множестве S, переводится в число 3. В табл. 2.3 дано правило умножения по mod 5, а в табл. 2.4 правило сложения mod 5.

Таблица 2.3. Умножение по mod 5

М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru

Умножение любого числа на нуль означает, что символ на выходе умножителя всегда нуль. Это эквивалентно разрыву цепи между триггером и сумматором и умножитель может быть опущен.

Таблица 2.4. Сложение по mod 5.

М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru

В результате операций умножения и сложения получаются только элементы множества S.

Символ на входе T1 сдвигающего регистра (рис.2.6) на j – такте равен: М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru . (2.33)

Это линейное рекуррентное уравнение позволяет по известным k символам на выходах триггеров найти символ М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru , который в последующем j+1 такте перейдет на выход T1. Для j+1 – такта состояние РС характеризуется переменными:

М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru . (2.34)

Анализ работы цифрового автомата формирования ПСП на основе рекуррентного уравнения (2.33) показывает, что его работа полностью характеризуется характеристическим многочленом:

М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru , (2.35)

где k – максимальное число ячеек задержки РС (степень свободы состояния генератора), а коэффициенты М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru связаны с множителями М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru соотношением:

М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru . (2.36)

В частности, для двоичных последовательностей, состоящих из символов 1 и 0 (p=2) , М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru .

Характеристический многочлен f(x) степени k формирователя М – последовательности должен быть:

1) неприводимым, то есть его нельзя представить в виде произведения многочленов меньших степеней;

2) первообразным (примитивным) относительно двучлена М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru , то есть должен делить М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru без остатка.

Таким образом, при заданных N, k и p структура регистра для формирования М–последовательности с периодом М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru определяется характеристическим многочленом, в качестве которого необходимо взять первообразный многочлен степени k .

Значения (k+1) коэффициентов..аkаk--1 …а1 а0 характеристических многочленов для k=3 -11 приведены в таблице [1, таблица 3.9], например:

● для k =3 существует два характеристических многочлена: 1011 и 1101.Коэффициент a0=1 всегда по определению. Если коэффициент или соответствующий множитель Сl в (2.36) равен 1, то выход l-го триггера подключен к сумматору по mod 2, например, генератор ПСП рис.2.4 соответствует многочлену М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru с коэффициентами 1011;

● для k =5 существует шесть многочленов, два из которых (101001 и 111011) формируютпредпочтительные ПСП Голда с периодом М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru и тремя уровнями ВКФ (2.32').

Число М – последовательностей Q ансамбля ПСП равно

М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru , (2.37)

где М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru - функция Эйлера [1, 17], равная количеству чисел в ряду 1,2,…,N-1 взаимно простых с числом N, где М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru , а k – число разрядов в РС.

Если N–простое число, то М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru . Однако, не все периоды N

М – последовательностей являются простыми числами и поэтому зависимость Q от k нелинейная.

Длительность (период) М–последовательности М – последовательности. Основные свойства и методы формирования - student2.ru , например, для РС при f Т =1/τ0 =1МГц и k = 43 равна 101,7 дня.

Наши рекомендации