Производные гиперболических функций
Гиперболические функции встречаются в механике, электротехнике и других технических дисциплинах. Многие формулы для гиперболических функций похожи на формулы для тригонометрических функций, кроме свойства ограниченности.
№ | Функция ![]() | Название | Производная ![]() |
1. | ![]() | гиперболический синус | ![]() |
2. | ![]() | гиперболический косинус | ![]() |
3. | ![]() | гиперболический тангенс | ![]() |
4. | ![]() | гиперболический котангенс | ![]() |
Формулы для гиперболических функций
1. .
Доказательство. Рассмотрим искомую разность
. Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство:
.
2. .
Доказательство. Рассмотрим произведение
. Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство:
.
3. .
Доказательство. Рассмотрим произведение
.
Рассмотрим произведение
.
Сложим два произведения и приведем подобные:
. Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство:
.
Ещё много других свойств гиперболических функций похожих на свойства тригонометрических функций, которые доказываются аналогично.
Докажем формулы для производных гиперболических функций.
1. Рассмотрим гиперболический синус .
При нахождении производной константу выносим за знак производной. Далее применяем свойство о производной разности двух функций
и
. Находим производную функции
по таблице производных:
. Производную функции
ищем как производную сложной функции
.
Поэтому, производная .
Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .
2. Рассмотрим гиперболический косинус .
Полностью применяем предыдущий алгоритм, только вместо свойства о производной разности двух функций и
применяем свойство о производной суммы двух этих функций.
.
Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .
3. Рассмотрим гиперболический тангенс .
Находим производную по правилу отыскания производной дроби.
.
4. Производную гиперболического котангенса
можно найти как производную сложной функции
.
Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .
Дифференциал функции
Пусть функция – дифференцируема в точке
, тогда её приращение
этой функции в точке
, соответствующее приращению аргумента
, может быть представлено в виде
, (8.1)
где – некоторое число, не зависящее от
, а
– функция аргумента
, которая является бесконечно малой при
.
Таким образом, приращение функции
представляет собой сумму двух бесконечно малых слагаемых
и
. Было показано, что второе слагаемое
является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем т.е.
(см. 8.1). Поэтому первое слагаемое
является главной линейной частью приращения
функции
. В замечании 8.1. получена другая формула (8.1.1) для приращения
функции
, а именно:
. (8.1.1)
Определение 8.3.Дифференциаломфункции в точке
называется главная линейная частью её приращения, равная произведению производной
в этой точке
на произвольное приращение
аргумента
, и обозначается
(или
):
(8.4)
Дифференциал функции
называют также дифференциалом первого порядка.
Под дифференциалом независимой переменной
понимается любое, независящее от
, число. Чаще всего, в качестве этого числа берётся приращение переменной
, т.е.
. Это согласуется с правилом(8.4) нахождения дифференциала функции
Рассмотрим функцию и найдем её дифференциал.
, т.к. производная
. Таким образом, получили:
и дифференциал
функции
можно находить по формуле
. (8.4.1)
Замечание 8.7.Из формулу (8.4.1) следует, что.
Таким образом, запись можно понимать не только как обозначение для производной
, но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных.
8.7. Геометрический смысл дифференциала функции
Пусть к графику функции проведена (см. рис. 8.1) касательная
. Точка
находится на графике функции
и имеет абсциссу –
. Даем
произвольное приращение
, такое, чтобы точка
не вышла из области определения функции
.
Рисунок 8.1 Изображение графика функции
Точка имеет координаты
. Отрезок
. Точка
лежит на касательной к графику функции
и имеет абсциссу –
. Из прямоугольного
следует, что
, где угол
– угол между положительным направлением оси
и касательной, проведенной к графику функции
в точке
. По определению дифференциала
функции
и геометрического смысла производной функции
в точке
, делаем вывод, что
. Таким образом, геометрический смысл дифференциала функции
заключается в том, что дифференциал
представляет собойприращение ординаты касательной к графику функции
в точке
.
Замечание 8.8.Дифференциал и приращение
для произвольной функции
, вообще говоря, не равны между собой.В общем случае, разность между приращением и дифференциалом функции является бесконечно малой высшего порядка малости, чем приращение аргумента. Из определения 8.1следует, что
, т.е.
.
На рисунке 8.1точка лежит на графике функции
и имеет координаты
. Отрезок
.
На рисунке 8.1 выполнено неравенство , т.е.
. Но возможны случаи, когда справедливо противоположное неравенство
. Это выполняется для линейной функции и для выпуклой вверх функции.