Упрощение выражения: simplify ( ).

Задание № 2.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМАНД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ MAPLE ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ.

Цели работы:

· знать команды, наиболее часто используемые при выполнении

аналитических вычислений;

· уметь применять указанные команды для решения математических

задач.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

1. Команды преобразования выражений.

Процесс работы в Maple состоит в том, что пользователь создает переменные, присваивает им символьные выражения и производит над ними некоторые действия в соответствии с алгоритмом решения поставленной задачи, использую стандартные функции или написанные собственные процедуры.

Синтаксис вызова стандартной команды следующий:

команда (пар_1, пар_2, ..., пар_n);

Здесь команда - это имя вызываемой функции, а пар_1, пар_2, ... означают необходимые для выполнения команды параметры, которые могут быть пе­ременными или даже выражениями, причем их тип должен соответствовать типу параметров используемой функции. Отметим, если команда завершает­ся точкой с запятой, то результаты ее выполнения отображаются в области вывода, если команда завершается двоеточием, то она выполняется, но никакого вывода результатов не происходит.

Система обозначений функций в Maple интуитивно проста. Обычно имя функции соответствует действию, которое она выполняет (следует учесть, что все имена заданы на английском языке). Например, ясно, что функция с именем simplify ( ) осуществляет некоторые упрощения над выражением, заданным в качестве ее параметра.

Для некоторых команд существуют активная и пассивная формы. Активная форма команды (в случае ее вызова) немедленно выполняется, а ее имя начинается со строчной буквы. Пассивная форма команды не выполня­ется немедленно, а просто в области вывода отображается математическая запись того, что она может сделать. Ее имя начинается с прописной буквы. В дальнейшем, если в операторе присваивания для некоторой переменной в правой части задана пассивная форма команды, то командой value ( ) ее можно вычислить. Основное предназначение пассивных форм команд - это исполь­зование их как средства документирования производимых действий в обыч­ной математической нотации. Примерами команд с двумя формами являются команда дифференцирования (diff и Diff), интегрирования (int и Int) и др.

Пример 1. Пассивная и активная формы команд.

> k:=Int(cos(x)^3,x);

> k=int(cos(x)^3,x);

> value(k);

Если команды и функции являются частью ядра системы Maple, то они всегда доступны пользователю. А для вызова других команд и функций необходимо подключить библиотеку или пакет, в которых они расположены. Для этого служат команды readlib ( ) и with ( ). Первая подключает библиотеку, вторая - пакет. Параметром этих команд является имя библиотеки или пакета, функции которых пользователь желает использовать.

Команды и функции Maple, наиболее часто используемые при аналити­ческих преобразованиях, располагаются в его системном ядре – части программного обеспечения системы аналитических вычислений, постоянно находящейся в памяти компьютера. К ним относятся команды, выполняющие разнообразные преобразования выражений, получающие решение уравнений и систем уравнений, дифференцирующие функции и т. д. В данной работе вводятся команды, наиболее часто используемые при выполнении аналити­ческих вычислений.

Пример 2. Упрощение выражений.

> c:=ln(exp(x))+x*ln(exp(x));

> simplify(c);

> simplify(c,assume=real);

> d:=1/sqrt(8)*(((1+sqrt(8))/10)^5+((1-sqrt(8))/10)^5);

> simplify(d);

Как видно из примера 2, использование команды без параметров не упростило выражения ln(exp(x))+x·ln(exp(x)), тогда как второй оператор с предположением о действительной области изменения переменной х упростил заданное выражение. Maple по умолчанию работает с комплексными числами (т.е. при упрощении предполагается, что переменные изменяются в области комплексных чисел). При таком предположении упростить выражение с действительно невозможно.

Пример 3. Упрощение с предположением.

> f:=(sqrt(x^2));

> simplify(f);

> simplify(f,assume=real);

> simplify(f,assume=positive);

Команда simplify( ) позволяет задать правила упрощения в виде равенств. Эти правила задаются вторым параметром, который должен иметь следующий вид:

{равенствоl, равенство2, ...}

Использование собственных правил для упрощения тригонометричес­ких выражений позволяет получить именно тот его вид, который необходим для дальнейшей работы, так как третьим параметром можно определить, в какой последовательности должны отображаться неизвестные в упрощенном выражении. Этот параметр задается в двух формах: в виде множества и в виде списка. (Множество – последовательность выражений через запятую, заключенная в фигурные скобки, а список - это тоже объект Maple, который для данного частного случая можно охарактеризовать как последователь­ность выражений через запятую, заключенную в квадратные скобки.) Так вот, если параметр задан в виде множества, то алгоритм упрощения сортиру­ет в выражении неизвестные по убыванию их степени в слагаемых выраже­ния, учитывая степени всех неизвестных, а потом начинает упрощения в со­ответствии с заданными правилами. В случае со списком – сначала выраже­ние сортируется по степеням первой неизвестной в списке, затем упрощается в соответствии с заданными правилами, затем полученное выражение сорти­руется по степеням второй неизвестной списка и упрощается и т. д.

Пример 4. Упрощение в соответствии с правилами пользователя.

> equ:={sin(x)^2+cos(x)^2=1};e:=sin(x)^3-11*sin(x)^2*cos(x)+3*cos(x)^3-sin(x)*cos(x)+2;

> simplify(e,equ,[sin(x),cos(x)]);

> simplify(e,equ,[cos(x),sin(x)]);

Пример 5. Представление произведений в виде суммы.

> expand((x+3)*(x+4)^2);

> expand((x+3)^3/(x+4)^2);

> expand(cos(x-y));

> expand((x+3)*(x+4)^2,x+3);

Пример 6. Разложение полинома над разными полями.

> factor(x^3+2); #над полем целых чисел (целые коэффициенты)

> factor(x^3+2.0); #над полем вещественных чисел

(вещественный коэффициент)

> factor(x^3+2,real); #над полем вещественных чисел

(параметр real)

> factor(x^3+2,complex); #над полем комплексных чисел

(параметр complex)

> factor(x^3+2,2^(1/3)); #над полем целых и радикала 2^(1/3)

(параметр определяет поле с радикалом)

Если применить команду factor ( ) к алгебраической рациональной дроби (отношение двух полиномов), то сначала будет осуществлено приведение дроби к нормальной форме (сокращение общих множителей числителя и знаменателя), а после этого и числитель, и знаменатель раскладываются на множители (с учетом поля коэффициентов):

> d:=(x^11-y^11)/(x^6-y^6);

> factor(d);

Пример 7.Сокращение алгебраических дробей.

> f:=1/x+1/(x+1)^2+1/(x+1);

> normal(f);

Если параметр f задан в виде списка, множества, последовательности, ряда, уравнения, отношения или функции, то команда normal ( ) последова­тельно применяется к компонентам f. Например, для уравнения это означает, что процедура сокращения применяется и к правой, и к левой части уравне­ния. В случае ряда, это означает, что упрощаются коэффициенты ряда, а в случае выражения с несколькими функциями, аргументы которых представ­лены алгебраическими дробями, процедура сокращения применяется к аргументу каждой функции:

> s:=sin(x/(x+1)-x)^2+cos(-x/(x+1)+x);

> normal(s);

> normal(1/x+y=x/y+(3*y)/x);

Пример 8. Приведение коэффициентов в выражении.

>k:=x^3*sin(x)^2+x^3*cos(x)+x^3*exp(x)+x*cos(x)+2*x*exp(x)+7*x*sin(x)+4*x^3;

> collect(k,x);

> collect(k,x^3);

> collect(k,exp(x));

> collect(k,sin(x));

> collect(k,cos(x));

В примере 8 для одного и того же выражения осуществляется приведение коэффициентов относительно разных его неизвестныхкомпонентов.

Параметр form применяется для полиномов от нескольких переменных и определяет алгоритм приведения подобных членов. Заметим, что неизвест­ные, при степенях которых приводятся подобные члены, должны быть заданы в виде списка или множества. Параметр form два значения: recursive и distributed. В первом случае приводятся подобные члены при степенях первой неизвестной в списке, затем в полученных коэффициентах приводятся подоб­ные члены относительно степеней второй неизвестной в списке и т. д. Если при этом значении параметра form неизвестные полинома, относительно которых приводятся подобные члены, заданы в виде множества, то порядок приведения определяется системой Maple и может меняться от сеанса к сеансу. Значение distributed указывает на приведение коэффициентов при членах, содержащих всевозможные произведения степеней неизвестных в списке или множестве, причем суммарная степень всех переменных возрастает от наименьшей к наибольшей.

Пример 9. Алгоритмы приведения для полиномов нескольких переменных.

> p:=x*y-a^2*x*y+y*x^2-a*y*x^2+x+a*x; #полином двух переменных

> collect(p,[x,y],recursive);

> collect(p,[y,x],recursive);

> collect(p,{x,y},recursive);

> collect(p,{x,y},distributed);

> collect(p,[x,y],distributed);

Параметр func определяет имя команды, применяемой к полученным в результате коэффициентам при соответствующих степенях неизвестных. Обычно используют команды simplify ( ) и factor ( ).

Пример 10. Задание функции, применяемой к полученным коэффициентам.

> d:=a^4*y-y+a^4+a^2;

> collect(d,y);

> collect(d,y,factor); # разложение на множители коэффициентов при y

Пример 11. Рационализация дробных выражений.

> a:=7*(3^(1/3)+4^(1/5))/(3-2^(1/3));

> rationalize(a);

> b:=y/(y+sqrt(2-sqrt(5)));

> rationalize(b);

> c:=1/(3-root(cos(1/(2+sqrt(mu))),5));

> rationalize(c);

Задачи для самостоятельного решения.

1. Исключить иррациональность в дроби:

1.1.

1.2 .

1.3 .

1.4 .

1.5

1.6

2. Разложить многочлен на множители:

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

3. Раскрыть скобки в выражении:

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

4. Привести к одному члену:

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

5. С помощью команд преобразования выражений получить равенство:

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

5.11.

5.12.

5.13.

5.14.

Контрольные вопросы.

1. Команда simplify( ), ее предназначение и синтаксис.

2. Команда expand( ), ее предназначение и синтаксис.

3. Команда factor( ), ее предназначение и синтаксис.

4. Команда normal( ), ее предназначение и синтаксис.

5. Команда combine( ), ее предназначение и синтаксис.

6. Команда collect( ), ее предназначение и синтаксис.

7. Команда rationalize( ), ее предназначение и синтаксис.

Задание № 2.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМАНД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ MAPLE ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ.

Цели работы:

· знать команды, наиболее часто используемые при выполнении

аналитических вычислений;

· уметь применять указанные команды для решения математических

задач.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

1. Команды преобразования выражений.

Процесс работы в Maple состоит в том, что пользователь создает переменные, присваивает им символьные выражения и производит над ними некоторые действия в соответствии с алгоритмом решения поставленной задачи, использую стандартные функции или написанные собственные процедуры.

Синтаксис вызова стандартной команды следующий:

команда (пар_1, пар_2, ..., пар_n);

Здесь команда - это имя вызываемой функции, а пар_1, пар_2, ... означают необходимые для выполнения команды параметры, которые могут быть пе­ременными или даже выражениями, причем их тип должен соответствовать типу параметров используемой функции. Отметим, если команда завершает­ся точкой с запятой, то результаты ее выполнения отображаются в области вывода, если команда завершается двоеточием, то она выполняется, но никакого вывода результатов не происходит.

Система обозначений функций в Maple интуитивно проста. Обычно имя функции соответствует действию, которое она выполняет (следует учесть, что все имена заданы на английском языке). Например, ясно, что функция с именем simplify ( ) осуществляет некоторые упрощения над выражением, заданным в качестве ее параметра.

Для некоторых команд существуют активная и пассивная формы. Активная форма команды (в случае ее вызова) немедленно выполняется, а ее имя начинается со строчной буквы. Пассивная форма команды не выполня­ется немедленно, а просто в области вывода отображается математическая запись того, что она может сделать. Ее имя начинается с прописной буквы. В дальнейшем, если в операторе присваивания для некоторой переменной в правой части задана пассивная форма команды, то командой value ( ) ее можно вычислить. Основное предназначение пассивных форм команд - это исполь­зование их как средства документирования производимых действий в обыч­ной математической нотации. Примерами команд с двумя формами являются команда дифференцирования (diff и Diff), интегрирования (int и Int) и др.

Пример 1. Пассивная и активная формы команд.

> k:=Int(cos(x)^3,x);

> k=int(cos(x)^3,x);

> value(k);

Если команды и функции являются частью ядра системы Maple, то они всегда доступны пользователю. А для вызова других команд и функций необходимо подключить библиотеку или пакет, в которых они расположены. Для этого служат команды readlib ( ) и with ( ). Первая подключает библиотеку, вторая - пакет. Параметром этих команд является имя библиотеки или пакета, функции которых пользователь желает использовать.

Команды и функции Maple, наиболее часто используемые при аналити­ческих преобразованиях, располагаются в его системном ядре – части программного обеспечения системы аналитических вычислений, постоянно находящейся в памяти компьютера. К ним относятся команды, выполняющие разнообразные преобразования выражений, получающие решение уравнений и систем уравнений, дифференцирующие функции и т. д. В данной работе вводятся команды, наиболее часто используемые при выполнении аналити­ческих вычислений.

Упрощение выражения: simplify ( ).

Команда simplify ( ) предназначена для упрощения разнообразных вы­ражений, составленных из чисел, переменных и элементарных функций. Заметим, что Maple может его упростить, а может и не упростить, так как он использует свои внутренние алгоритмы упрощения, результат выполнения которых может не совсем соответствовать взглядам пользователя на то, как он хотел бы упростить выражение и в каком виде его получить.

Эта команда имеет несколько форм вызова. Ее самый простой синтаксис имеет следующий вид:

simplify (выражение);

В скобках указывается выражение, подлежащее упрощению. Команда simplify ( ) ищет в выражении вызовы функций, квадратные корни, радикалы и степени и инициализирует подходящие процедуры упрощения. Реально команда simplify ( ) реализована в виде набора процедур упрощения, хранящихся в основной библиотеке Maple. Перечислим некоторые из них, остальные можно найти в справке по этой команде (например, установив курсор в рабочем листе на ее имя и нажав клавишу <F1>): `simplify/exp` - для упрощения выражений с экспоненциальными функциями, `simрlifу/ln` - для упрощения выражений с логарифмами, `simplifу/sqrt` - для упрощения выражений, содержащих квадратные корни, `simplifу/trig` - для упрощения выражении с тригонометрическими функциями, `simplifу/radical` - для упрощения выражений с радикалами (дробные степени), `simplifу/power` - для упрощения выражений со степенями, экспонентами и логарифмами и т.д. По умолчанию Maple пытается использовать максимальный набор функций упрощения, подходящий к конкретному выражению.

В команде можно задать конкретные процедуры упрощения, и тогда только они будут использоваться для упрощения заданного выражения, а не весь возможный, установленный по умолчанию набор. Это обеспечивается следующим синтаксисом команды:

simрlifу(выражение, nl, n2, ...);

Здесь nl, n2 и т. д. являются именами процедур упрощения: Ei, GAMМА, RootOf, @, hypergeom, ln, polar, power, radical, sqrt, trig. Полную информацию о формулах упрощения при использовании перечисленных значений параметров можно получить с помощью команды ?simplify [имя], где [имя] - одно из значений параметров функции упрощения.

Упрощения выражений можно проводить с различными видами чисел, например, положительными или принадлежащими некоторому отрезку действительных чисел. Это достигается с помощью параметра assume=свойство. Форма вызова команды при этом имеет вид:

simplify (выражение, аssumе=свойство);

где параметр свойство может принимать одно из следующих значений:

complex - комплексная область, real - действительная область, positive - положительные действительные числа, integer - целые числа, RealRange(a,b) - интервал (а,b) действительных чисел.

Примеры использования команды упрощения выражений simplify( ) представлены ниже :

Пример 2. Упрощение выражений.

> c:=ln(exp(x))+x*ln(exp(x));

> simplify(c);

> simplify(c,assume=real);

> d:=1/sqrt(8)*(((1+sqrt(8))/10)^5+((1-sqrt(8))/10)^5);

> simplify(d);

Как видно из примера 2, использование команды без параметров не упростило выражения ln(exp(x))+x·ln(exp(x)), тогда как второй оператор с предположением о действительной области изменения переменной х упростил заданное выражение. Maple по умолчанию работает с комплексными числами (т.е. при упрощении предполагается, что переменные изменяются в области комплексных чисел). При таком предположении упростить выражение с действительно невозможно.

Пример 3. Упрощение с предположением.

> f:=(sqrt(x^2));

> simplify(f);

> simplify(f,assume=real);

> simplify(f,assume=positive);

Команда simplify( ) позволяет задать правила упрощения в виде равенств. Эти правила задаются вторым параметром, который должен иметь следующий вид:

{равенствоl, равенство2, ...}

Использование собственных правил для упрощения тригонометричес­ких выражений позволяет получить именно тот его вид, который необходим для дальнейшей работы, так как третьим параметром можно определить, в какой последовательности должны отображаться неизвестные в упрощенном выражении. Этот параметр задается в двух формах: в виде множества и в виде списка. (Множество – последовательность выражений через запятую, заключенная в фигурные скобки, а список - это тоже объект Maple, который для данного частного случая можно охарактеризовать как последователь­ность выражений через запятую, заключенную в квадратные скобки.) Так вот, если параметр задан в виде множества, то алгоритм упрощения сортиру­ет в выражении неизвестные по убыванию их степени в слагаемых выраже­ния, учитывая степени всех неизвестных, а потом начинает упрощения в со­ответствии с заданными правилами. В случае со списком – сначала выраже­ние сортируется по степеням первой неизвестной в списке, затем упрощается в соответствии с заданными правилами, затем полученное выражение сорти­руется по степеням второй неизвестной списка и упрощается и т. д.

Пример 4. Упрощение в соответствии с правилами пользователя.

> equ:={sin(x)^2+cos(x)^2=1};e:=sin(x)^3-11*sin(x)^2*cos(x)+3*cos(x)^3-sin(x)*cos(x)+2;

> simplify(e,equ,[sin(x),cos(x)]);

> simplify(e,equ,[cos(x),sin(x)]);