Тема 1. «Выполнение действий над матрицами».

Определение 1. Матрицейразмера m×n называется таблица, имеющая m строк и n столбцов. -размер матрицы, Определение 2.Если m ≠ n, то матрицу называют прямоугольной. Если m = n, то матрицу называют квадратной, порядка n.   Элементы, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. -элемент матрицы, гдеi – номер строки, j- номер столбца Определение 3. Две матрицы A и B считаются равными, если они одинакового размера, и элементы, стоящие в A и B на одинаковых местах, равны между собой, т.е. aij = bij   Определение 4. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ. , другая диагональ - побочная Определение 5. Матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называется единичной. Обозначают: E . Определение 6. Матрица, у которой все элементы равны 0, называется нулевой.   Определение 7. Квадратная матрица называется ступенчатой (треугольной), если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Например: Определение 8. Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером называется транспонированной матрицей. Обозначение: . Например: , Свойства: 1) (AТ )T = A ; 2) (A + B)T = AT + BT ; 3) (αA)T = αAT ; 4) (A · B)T = BT · AT . ______________________________________________________________________ Сложение ( вычитание) матриц. ! Данные действия возможны для матриц одинакового размера. Надо сложить ( вычесть) соответствующие элементы матриц. Пример 1. Выполните действия А + В, А – В, если , . Решение: Свойства: 1) A + B = B + A 2) (A + B) + C = A + (B + C) 3) A + O = A; 4) A + (–A) = O; 5) α ⋅ ( βA) = (α⋅β )A ; 6) ( α + β )A = α A + βA 7) α(A + B) = α A + αB 8) 1 ⋅ A = A. ______________________________________________________________________ Умножение матриц на число Надо каждый элемент матрицы умножить на число. Пример 2. Выполните действие 2А, если . Решение: ______________________________________________________________________ Умножение матриц ! Данное действие возможно, если число столбцов 1 матрицы равно числу строк 2 матрицы. Надо найти сумму произведений элементов строки 1-й матрицы на элементы столбца 2-й матрицы Пример 3. Выполните действие , если , . Решение: У матрицы А 4 столбца и у матрицы В 4 строки, значит умножение выполнимо. Чтобы найти сам элемент c11 нужно перемножить элементы первой строки матрицы A на соответствующие элементы первого столбца матрицы B, т.е. первый элемент на первый, второй на второй, третий на третий, четвертый на четвертый. Полученные результаты суммируем: c11=−1⋅(−9)+2⋅6+(−3)⋅7+0⋅12=0.   c12=−1⋅3+2⋅20+(−3)⋅0+0⋅(−4)=37.       Далее аналогично: строка № 2 умножается на столбец № 2 строка № 3 умножается на столбец № 1 строка № 3 умножается на столбец № 2 В итоге получим: = = Свойства: 1) AE = EA = A , AO = OA = O; 2) (AB)C = A(BC) ; 3) (A + B)C = AC + BC ; 4) C(A + B) = CA + CB Определение 9.Если АВ = ВА, то матрицы называются перестановочными Пример 4.Найдите АВ и ВА, если , Решение: . АВ = ВА , следовательно матрицы перестановочные

Тема 2. «Выполнение элементарных преобразований матриц».

Элементарные преобразования матриц: -Вычёркивание нулевой строки ( столбца) - Перестановка строк ( столбцов) - Умножение строки ( столбца) на число Прибавление к строке (столбцу)другой строки (столбца), умноженную на некоторое число Определение 1.Две матрицы называются эквивалентным, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Обозначение: А~В При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице ступенчатого ( треугольного) вида. Пример 1.Привести к ступенчатому виду матрицу 1) 2) 3) 4) Решение: ~ ~ ~ ~ Действия: 1) 1 строку поменяли со второй 2) 1 строку умножили на (- 4) и сложили со второй строкой, 1 строку умножили на 2 и сложили с третьей строчкой 3) 2 строку разделили на (-10), а третью строку разделили на 7. 4) 2 строку умножили на ( -1) и сложили с третьей. Ответ: ~