Приборостроения и информатики

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Московский государственный университет

Приборостроения и информатики

Кафедра высшей математики

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ (решение задач)

Учебное пособие для студентов всех форм обучения для самостоятельной подготовки к выполнению контрольных работ.

Москва 2015

Составитель: к.ф.м.н., доцент Выборнов А.Н..

В этом пособии рассматриваются задачи нахождения наибольших и наименьших значений функций, задачи исследования функций, заданных формулой (элементарных функций) средствами дифференциального исчисления. В приложении рассмотрено применение правила Лопиталя для вычисления пределов. Пособие составлено на основе пособия МГАПИ (Архипов Н.В., Головешкин В.А., Егиазаров Ю.И., Зюзько Т.Н.) для заочного отделения. Составителем исправлены неточности и переработано изложение теоретических положений и методов решения задач. Пособие может использоваться как дополнительное пособие по развитию навыков решения задач.

Напомним определение локального макси­мума и минимума функции.

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек , принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство ( ).

Точки локального максимума и локального минимума назы­ваются точками экстремума функции.

Сформулируем теорему о необходимом условии сущест­вование экстремума.

Теорема Ферма (необходимое условие сущест­вования экстремума)

Точками экстремума непрерывной функции могут быть только такие точки, в которых производная этой функции или равна нулю или не существует.

Точки, в которых функция обращается в ноль или терпит разрыв, будем называть критическими точками этой функции.

В следующей задаче требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции, заданной на некотором отрезке и непрерывной на этом отрезке.

Из свойств непрерывной функции известно, что функция непрерывная на отрезке принимает на этом отрезке свое наибольшее и наименьшее значения.

Если наибольшее или наименьшее значение достигается внутри отрезка, то эта точка является точкой локального экстремума, а значит критической точкой производной этой функции. Поэтому, для определения наибольшего и наименьшего значений функции на некотором отрезке и непре­рывной на этом отрезке может быть предложена следующая схема:

1. Находим производную функции.

2. Определяем критические точки производной и выбираем те из них, которые лежат внутри данного отрезка.

3. Вычисляем значения функции в выбранных точках и на концах отрезка.

4. Среди вычисленных значений выбираем наибольшее и наименьшее.

Задача.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.

.

Решение.

Найдем критические точки производной, для чего вычислим производную функции и приравняем ее нулю:

при ,

откуда находим критические точки: .

Далее необходимо выбрать те критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. В данном случае обе критические точки ему принадлежат. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка и выберем наибольшее и наименьшее значения функции:

.

.

.

Делаем вывод о том, что свое наибольшее значение на заданном отрезке функция достигает при , , а наименьшее значение при , .

Задача.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.

, .

Решение.

Находим производную: .

Находим критические точки: ; .

На отрезке лежат , .

Вычисляем значения функции: ; ; ; .

Наибольшее значение: .

Наименьшее значение: .

В следующей «текстовой» задаче требуется найти наибольшее или наименьшее значение некоторой величины S( , ), зависящей от двух параметров и . Условия задачи позволяют определить возможную область изменения параметров.

При этом параметры и не являются независимыми, а связаны соотношением F( , )=0, причем из соотношения F( , )=0 один параметр может быть выражен через другой, например: = ( ).

При подстановке = ( ) функция S становится функцией одного параметра , т.е. S=S( , ( )).

Если область возможного изменения параметра является отрезком, то дальнейшее решение проводится по схеме решения предыдущих задач.

Если область изменения параметра является интервалом, то можно воспользоваться следующим фактом:

Если на некотором интервале функция имеет единственную точку экстремума и эта точка является точкой максимума (минимума), то значение функции в этой точке будет наибольшим (наименьшим) на всем интервале.

Сформулируем достаточные условия экстремума функции:

Если при переходе через критическую точку производная функции меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то эта точка является точкой максимума (минимума) функции. (Предполагается, что функция определена и непрерывна в окрестности данной точки.)

Задача.

Прямоугольный участок огорожен с трех сторон забором периметра 4p. При каких размерах сторон площадь участка S будет наибольшей.

Решение.

Обозначим через и длины сторон прямоугольника.

Тогда S= . Параметры и не являются независимыми, а связаны соотношением (длина забора) +2 =4p. Отсюда: =4p-2 . Следовательно, функцию S можно представить как функцию одного параметра : S= (4p-2 ) .

Из условия задачи ясно, что параметр может изменяться на следующем отрезке . То есть задача сводится к отысканию наибольшего значения функции S=S( )= (4p-2 ) на отрезке .

Найдем производную: . Приравнивая ее нулю, получаем =p. Найденная точка лежит на отрезке .

Вычисляем S(0)=0, S(2p)=0, - это значение и является наибольшим. Тогда размеры сторон равны: a=2p, b=p.

Задача.

Объем цилиндрической цистерны равен V. При каких размерах площадь ее полной поверхности будет наименьшей.

Решение.

Цилиндрическая цистерна характеризуется двумя параметрами: радиусом основания R и высотой H. Площадь полной поверхности выражается формулой S=2p +2pRH. Параметры R и H не являются независимыми (известен объем), а связаны соотношением V=p H. Отсюда H= . Подставляя Н в выражение для площади полной поверхности, получим S как функцию одной переменной S(R)= 2p + . Возможная область изменения параметра R интервал (0;¥).

Найдем производную: 4pR- . Приравнивая ее нулю, получаем R= . Заметим что: <0 при R< , >0 при R> . Поскольку при переходе через данную критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс, то эта точка является точкой минимума. Поскольку на интервале (0;¥) данная точка является единственной точкой экстремума, то значение функции в этой точке будет наименьшим. Получаем, что цистерна имеет наименьшую полную поверхность при R= , H= =2R.

Заметим, что отношение H к R равно 2:

.

Итак, у цилиндра данного объёма с наименьшей полной поверхностью диаметр должен быть равен высоте.

Задача.

На странице книги печатный текст (вместе с промежутками между строками) должен занимать . Верхнее и нижнее поля должны быть по , правое и левое – по . Каковы должны быть размеры страницы для того, чтобы ее площадь была наименьшей?

Решение.

Исследуемая величина, для которой нам предлагается отыскать наименьшее значение, есть площадь печатной страницы. Обозначим ширину печатного текста через , а длину - через . Площадь всей страницы можно найти по формуле: S=(x+4)(y+6), S=xy+6x+4y+24.

Таким образом, мы выразили функцию, для которой необходимо найти наименьшее значение, как функцию двух переменных. Используем данную в условии задачи площадь печатного текста: , тогда . Выразим площадь страницы как функцию переменной :

.

Из условия задачи вытекают естественные ограничения на значения переменной : 0<x<¥. Таким образом, мы решаем задачу о нахождении наименьшего значения функции на заданном интервале. Найдем критические точки производной, приравняв ее нулю:

при .

В соответствии с ограничениями, наложенными на , рас­сматриваем критическую точку , принадлежащую заданному интервалу. Определим, с помощью достаточного условия экстремума, будет ли найденная точка точкой локального максимума функции. Для этого проверим знак производной в окрестности точки .

При x<12 имеем <0, при x>12 имеем >0. Данная точка является точкой минимума. Поскольку эта точка является единственной критической точкой интервале, то значение в этой точке будет наименьшим.

Таким образом, площадь печатной страницы будет наименьшей, если ее длина равна , а ширина .

Задача.

Методами дифференциального исчисления провести полное исследование функции и построить ее график:

.

Эту задачу мы рассмотрим более подробно. Непосредственно в ходе решения мы будем приводить некоторые факты теории. План исследования функции состоит из следующих шагов:

1. Область определения функции. (Для элементарной функции подразумевается естественная область определения – множество значений аргумента, в которых значение функции можно вычислить.)

Исследуемая функция определена на всей числовой оси за исключением тех точек, где знаменатель обращается в ноль.

Найдем эти точки: ; .

Следовательно, областью определения данной функции является вся числовая ось за исключением точек .

2. Четность, нечетность функции.

Напомним, что: функция называется четной, если y(-x)=y(x); функция называется нечетной, если y(-x)=-y(x). Напомним, что график четной функции симметричен относительно оси Y, график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Если функция не является ни четной, ни нечетной, то говорят, что данная функция является функцией общего вида.

Для исследуемой функции имеем: ;

.

Следовательно, исследуемая функция является нечетной.

3. Нули функции, точки разрыва функции, точки пересечения графика функции с осями коор­динат.

Для определения нулей функции решаем уравнение y(x)=0.

Имеем: ; x=0. Следовательно, исследуемая функция обращается в ноль в единственной точке x=0.

Элементарная функция имеет точки разрыва только в тех точках, где она не определена. Следовательно, исследуемая функция имеет две точки разрыва , .

График функции пересекается с осью Х в тех точках, где она равна нулю. Эти точки уже найдены.

Определим точку пересечения с осью Y. Имеем y(0)=0.

Отметим, что в данной задаче точка пересечения с осью Х и точка пересечения с осью Y совпали, то есть график функции проходит через начало координат.

4. Интервалы знакопостоянства функции.

Сначала напомним следующий факт.

Функция может изменить свой знак лишь при переходе через такие точки, в которых она равна нулю или имеет точку разрыва.

Исследуемая функция равна нулю при х=0. Имеет точки разрыва при х=-1 и х=1. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы: (-¥;-1); (-1;0); (0;1); (1; ¥). На каждом из интервалов функция сохраняет постоянный знак. Чтобы определить знак функции на любом интервале, достаточно вычислить ее значение в любой точке интервала. Например, определим знак на интервале (0;1). Возьмем точку , лежащую на этом интервале. Вычислим >0. Следовательно, исследуемая функция положительна на интервале (0;1). Аналогично исследуются знаки функции на остальных интервалах. Результаты удобно свести в таблицу.

x (интервал изменения)	(-¥;-1)	(-1;0)	(0;1)	(1; ¥)
у (знак функции)	+	-	+	-

5. Асимптоты графика функции.

А. Вертикальные асимптоты.

Напомним, что прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции у=у(х), если хотя бы один из пределов или равен бесконечности. Прямая х=а может быть (а может и не быть) вертикальной асимптотой только, если а - точка разрыва функции.

В исследуемой функции имеются две точки разрыва. При стремлении к этим точкам знаменатель дроби стремится к нулю, а числитель к ненулевой конечной величине. Следовательно, выражение будет стремиться к бесконечности. Знак бесконечности можно определить из таблицы интервалов знакопостоянства функции. Например, в окрестности точки х=-1 (x<-1) функция положительна. Следовательно

= .

Аналогично:

= ;

= ;

= .

Задача.

Методами дифференциального исчисления провести полное исследование функции и построить ее график: .

1.Область определения функции.

Функция определена при x>0.

2. Четность, нечетность функции.

Поскольку функция не определена при x 0, то данная функция является функцией общего вида.

3. Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат.

Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0. Имеем: =0; x=1. Следовательно, исследуемая функция обращается в ноль в единственной точке x=1.

Данная функция непрерывна на всей области допустимых значений.

Точка пересечения с осью Х, точка х=1.

Поскольку функция не определена при х=0, то ее график не пересекается с осью Y.

4. Интервалы знакопостоянства функции.

В области допустимых значений знак функции может меняться в единственной точке х=1. Точка х=1 разбивает область допустимых значений на два интервала (0;1) и (1; ¥). Определяем знак функции на каждом интервале и результаты сводим в таблицу:

x	(0;1)	(1;+¥)
y	-	+

5. Асимптоты графика функции.

А. Вертикальные асимптоты.

В своей области определения функция непрерывна. Поэтому асимптоты могут быть только на границе области определения.

. Итак, прямая х=0 – это вертикальная асимптота.

Б. Наклонные асимптоты.

. В этом пределе неопределенность вида . Применяем правило Лопиталя: . Поскольку k=0, то :

. (При вычислении предела использовано правило Лопиталя.)

Таким образом уравнение асимптоты при имеет вид

y=0.

Задача.

Методами дифференциального исчисления провести полное исследование функции и построить ее график: .

Решение.

1. Область определения данной функции – вся числовая ось.

Асимптоты графика функции.

А. Вертикальные асимптоты.

Поскольку функция непрерывна на всей числовой оси, то вертикальных асимптот нет.

Б. Наклонные асимптоты.

Учитывая разное поведение функции при и при , будем искать асимптоты по отдельности для и .

.

.

Отметим, что во втором пределе присутствует неопределенность вида , которую мы обратили в неопределенность вида . Далее предел вычисляется по правилу Лопиталя, в соответствии с которым предел отношения при наличии неопределенности равен пределу отношения производных числителя и знаменателя. Итак, при график исследуемой функции имеет горизонтальную асимптоту, совпа­дающую с осью : y=0.

Выясним, существует ли наклонная асимптота при .

Поскольку коэффициент k не имеет конечного значения, делаем вывод о том, что график не имеет наклонной асимптоты при .

ПРИЛОЖЕНИЕ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Московский государственный университет

приборостроения и информатики

Кафедра высшей математики