О компонентах математического мышления (математических способностей)
Рассмотрим специфику процесса математического развития ребенка дошкольного возраста с точки зрения развития математического стиля мышления и математических способностей. Попробуем подойти к данной проблеме как к проблеме методической, т.е. рассмотрим возможность построения методической концепции математического развития ребенка.
Проблема формирования и развития математических способностей детей — одна из наименее разработанных методических проблем дошкольной педагогики. Крайняя разнородность взглядов на само понятие «математические способности» обусловливает отсутствие сколько-нибудь концептуально обоснованных методик, что, в свою очередь, порождает сложности в работе педагогов. Возможно, именно поэтому не только среди родителей, но и среди большинства воспитателей распространено достаточно фатальное отношение к математике в жизни ребенка: математические способности либо даны, либо не даны, и тут уж ничего не поделаешь!
Безусловно, способности к тому или иному виду деятельности обусловлены индивидуальными различиями психики человека, в основе которых лежат генетические комбинации биологических (нейрофизиологических) компонентов. Однакосегодня нет доказательств того, что те или иные свойства нервных тканей напрямую влияют на проявление или отсутствие тех или иных способностей. Более того, целенаправленная компенсация неблагоприятных природных задатков может привести к формированию личности, обладающей ярко выраженными способностями, чему в истории немало примеров. Математические способности относятся к группе так называемых специальных способностей (как и музыкальные, изобразительные и др.). Для их проявления и дальнейшего развития требуются усвоение определенного запаса знаний и наличие определенных умений, в том числе и умения применять имеющиеся знания в мыслительной деятельности.
Мыслительная деятельность — основной вид деятельности математика, его орудие — карандаш и лист бумаги. Воплощение в жизнь результатов этой деятельности — один из мощнейших факторов развития цивилизации сегодняшнего дня.
Традиционно проблему усвоения и накопления запаса знаний математического характера в дошкольной педагогике связывают в основном с формированием представлений о натуральном числе и действиях с ним (счет, присчитывание, арифметические действия и сравнение чисел, измерение скалярных величин, т. е. величин, результат измерения которых выражается через неотрицательные числа и др.). Таковы традиционные программы формирования математических представлений дошкольника советского периода (А.М. Леуши-на, Л.С. Метлина, Г.В. Тарунтаева), таковы и альтернативные программы сегодняшнего дня — «Радуга», «Детство», «Развитие», «Из детства в отрочество» и др.
Во всех этих программах математическое содержание выстроено вокруг понятия «натуральное число и действия с ним»; усвоение содержательной (знания) и операционной (умения) стороны программы — цель процесса формирования элементарных математических представлений. Иными словами, под «определенным запасом знаний» подразумеваются знания о натуральном числе, а под «наличием ряда определенных умений» — ряд умений предметного характера (арифметического): счет, приемы присчитывания и отсчитывания, использование символики (цифр и знаков действия), решение простых типовых задач и т. д.
Анализ состояния проблемы формирования и развития математических способностей дошкольников показывает: все без исключения исследователи (как отечественные, так и зарубежные) связывают ее не с содержательной стороной предмета, а с процессуальной стороной мыслительной деятельности. При всем разнообразии мнений о сути и содержании понятия «математические способности» исследователи (А.В. Бруш-линский, А.Н. Колмогоров, Б.А. Крутецкий, В.В. Давыдов, З.И. Калмыкова, А.Я. Хинчин, Ю.М. Колягин, Д. Пойа, Л.В. Виноградова, И.В. Дубровина, К.А. Рыбников и др.) отмечают такие специфические особенности мыслительного процесса математически способного ребенка (а также профессионального математика), как" гибкость мышления, т. е. нешаблонность, неординарность, умение варьировать способы решения познавательной проблемы, легкость перехода от одного пути решения к другому, умение выходить за пределы привычного способа деятельности и умение находить новые способы решения проблемы при измененных условиях.
Очевидно, что эти особенности мышления напрямую зависят от особой организованности памяти (свободных и связанных ассоциаций), воображения и восприятия. Исследователи выделяют также такую характеристику, как глубина мышления, т. е. умение проникать в сущность каждого изучаемого факта и явления, умение видет> их взаимосвязи с другими фактами и явлениями, выявлять специфические, скрытые особенности в изучаемом материале1
Анализ рассматриваемой характеристики говорит о том, что в ее основе, очевидно, лежит способность к так называемому анализирующему наблюдению, отмеченному как важный компонент в процессе развивающего обучения2.
1 См.: Колягин ЮМ. Учись решаь задачи. М., 1979. 2 См.: Занков ЛВ. Обучение и развитие. М., 1975. |
Среди важнейших характеристик математического мышления многие исследователи отвечают и целенаправленность мышления, сочетающуюся с широтой, т. е. способность к формированию обобщенных способов действий, умение охватить проблему целиком, не упуская деталей. Психологический анализ этих категорий показывает: в их основе должны лежать специально сформированная или природная склонность к структурному подходу к-проблеме и предельно высокая устойчивость, концентрация I большой объем внимания человека.
Проведенный выше анализ категории «математическое мышление» (которое является базой для формирования и развития математических способностей) свидетельствует о том, что это понятие в большой мере обусловлено особой спецификой так называемых познавательных способностей, включающих в себя сенсорные (связанные с восприятием и наблюдением объектов и явлений) и интеллектуальные (обусловливающие исследование и структурирование поступающей извне информации) способности.
Наличие специальных знаний (предметных) позволяет человеку оперировать знаковыми системами, присущими данной науке, выражать и описывать этот процесс в общепринятой символике (с помощью цифр, букв, знаков и символов) и, таким образом, дать возможность стороннему наблюдателю (учителю, воспитателю и др.) увидеть и оценить результаты этого процесса. Причем наиболее важная часть процесса математического мышления, имеющая совершенно специфическую отвлеченную образность (которую А.Н. Колмогоров называл способностью «мыслить такими образами, которые непонятны и невидимы для тех, кто видит лишь голые символы»1), остается «за кадром». /
2. Содержание образования как существенный фактор, влияющий на развитие стиля мышления
Построение процесса формирования элементарных математических представлений ребенка на базе преимущественной работы с числом и операций с ним (счет и арифметические действия) неизбежно приводит к насыщению этого процесса знаковой символикой. Это обеспечивает «прозрачность» с точки зрения методики организации этого процесса и его высокую контролируемость, но отнюдь не формирует математическое мышление, а следовательно, и математические способности. Опытные педагоги знают, что высокая восприимчивость ребенка к арифметическому материалу вовсе не гарантирует наличия у него математических способностей.
1 Колмогоров А.Н. О профессии математика. М., 1959. |
Для ребенка-дошкольника основной путь развития — эмпирическое обобщение, т. е. обобщение своего собственного чувственного опыта1. Накопление этого чувственного опыт связано с активностью сенсорных способностей ребенка «переработку» его обеспечивают интеллектуальные способ ности. А для того чтобы этот обоюдный процесс «пошел» необходимо обеспечить ребенку условия для наблюдения и экс периментирования2. Первым условием является то, что дл^ дошкольника содержание должно быть чувственно воспри нимаемо и должно позволять активное экспериментирование результат которого, сформулированный в эмпирическом обоб щении (а в лучшем варианте еще и символически обозна ченный), как раз и будет собственно воплощением момента продвижения (развития) ребенка на пути познания окружающего мира.
Однако если мы обратимся с этой позиции к традиционному арифметическому содержанию, сейчас же возникает противоречие практически непреодолимого характера: число как математическое понятие является абстракцией высокой степени общности. Какой бы путь построения понятия «натуральное число» ни был выбран — на основе понятия «множество» или на основе понятия измерения скалярных величин, — само первичное понятие арифметики — число — является абстракцией, не воспринимаемой чувствами непосредственно. Любая «привязка» его к непосредственно воспринимаемому объекту, например множеству елочек (морковок, зайчиков), фактически двойное понижение уровня абстрактности, а значит, и общности самого понятия. Двойное, потому что в данном случае мы обращаемся не к множеству вообще (т. е. обращаемся обычно не к графической интерпретации, где элементы множества изображены точками или кругом Эйлера и т. п.), а к «множеству зайчиков» (морковок, елочек). И именно этот образ ребенок непосредственно воспринимает, именно с ним экспериментирует, фиксируя результаты эксперимента в эмпирическом обобщении.
1 См.: Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. М., 1986. 2 Развитие мышления и умственное воспитание дошкольника / Под ред. Н.Н. Поддъякова, А.Ф. Говорковой. М., 1985. |
Не случайно, многие дети даже в школе, в первом классе, теряют результаты этих обобщений при замене зайчиков на чашки, воспринимая такую замену как новую ситуацию, требующую повторения всего процесса осмысления заново.
Теоретически многократное повторение экспериментов с множеством разных объектов должно привести к правильному эмпирическому обобщению. Практически же этого во многих случаях не происходит. Причины самые разные, начиная от специфики индивидуальных особенностей восприятия ребенка и заканчивая вовсе банальным фактом — нехваткой наглядных материалов, исключающей возможность детям экспериментировать самостоятельно.
Отсюда несоблюдение второго важнейшего условия продвижения ребенка по пути развития, так как систематическая подмена самостоятельной деятельности наблюдением за деятельностью педагога не является в данном случае полноценной заменой.
Существующая традиция сразу высоко ставит планку перед ребенком, требуя от него практически с первых же шагов не только высокого уровня абстрагирования, не только выполнения заданий в отсутствие непосредственно воспринимаемых сенсорикой адекватных аналогов (моделей) понятия, но и систематических действий в умственном плане, в плане представлений (Мальвина. Представь себе, что у тебя есть два яблока. Некто взял у тебя яблоко. Буратино. Да я же не отдам Некту яблоко, хоть он дерись!). В такой ситуации действительно выживают сильнейшие, т. е. те дети, которым природные задатки позволяют самостоятельно справиться со всеми трудностями этого процесса.
Сложную и очень двойственную роль играет в этом процессе и ранняя символизация (т. е. раннее введение цифровой и знаковой символики). Сама по себе эта символика запоминается детьми достаточно легко, поскольку символизация — это привычный для дошкольников способ кодирования реальности в игре. Однако в отсутствие запаса адекватных наглядных представлений об объектах символизации символика приобретает для ребенка совершенно самостоятельное значение. При этом внешнее манипулирование ею замещает внутреннее оперирование математическими понятиями и отношениями. Например, можно часто наблюдать, как ребенок, легко и свободно перечисляющий числительные первого, второго, третьего десятка, теряется, когда его просят назвать числа от 9 до 5. Еще пример. Ребенок 4-5 лет бодро считает кружки, выставленные на фланелеграфе в ряд («красный», «синий», «желтый», «зеленый», «голубой»): «Один, два, три, четыре, пять». На вопрос: «Можно ли начать считать с голубого?» — отвечает отрицательно. Его мнение: «Надо начинать с красного. Или их надо переставить, чтобы голубой был первым».
Приведем последний пример: 6-7-летнему ребенку показывают запись:1.2.4.3.5.6, 7,9,8
9, 8, 7,6,5,4,3,2,11,2,3,4, 5,6, 7, 8,91.3.2.5.4.7, 6,9,8
Задание — «Выбери ряд чисел, которым можно пользоваться при счете предметов» — он не воспринимает, теряется, не понимает, чего от него хотят. Однако достаточно изменить формулировку (найди ряд, где числа записаны в правильном порядке), чтобы ребенок легко нашел правильный ответ. Но такая формулировка полностью меняет ориентацию задания на выявление понимания закономерности построения натурального ряда чисел.
Аналогичных примеров можно привести немало, в том числе из школьной практики. Они убедительно доказывают: символика довольно часто живет «самостоятельной» жизнью в представлениях ребенка и при этом порой весьма причудливо связана с реальным смыслом понятия или отношения. Доказательство тому — приведенные выше примеры: дети могут хорошо запоминать как сами символы, так и тот порядок, в котором педагог их предъявляет. Желаемого же осмысления и освоения связи понятий и отношений с кодирующей их символикой не происходит. Приведенные примеры также демонстрируют, с одной стороны, отсутствие у детей гибкости и глубины мышления, с другой — очевидность того, что главную отрицательную роль здесь играет хорошо воспринятая «на память» формализация (т. е. символика в жестко заданной форме).