Моделирование сезонных и циклических колебаний.

Общий вид модели (аддитивной) следующий:

Y= T + S + E,

где Т – трендовая, S – сезонная и Е – случайная компонента.

S может моделироваться с помощью тригонометрических функций, однако можно обойтись и более простым способом, суть которого разберем на простом примере.

Пример6.2. Пусть известны объемы потребления электроэнергии жителями района за четыре года (табл.6.3).

Таблица 6.3

№ квартала	Потребление электроэнергии	Итого за 4 квартала	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
	6,0	-	-	-	-
	4,4	24,4	6,1	-	-
	5,0	25,6	6,4	6,25	–1,25
	9,0	26,0	6,5	6,45	2,55
	7,2	27,0	6,75	6,625	0,575
	4,8	28,0	7,0	6,875	–2,075
	6,0	28,8	7,2	7,1	–1,1
	10,0	29,6	7,4	7,3	2,7
	8,0	30,0	7,5	7,45	0,55
	5,6	31,0	7,75	7,625	–2,025
	6,4	32,0	8,0	7,875	–1,475
	11,0	33,0	8,25	8,125	2,875
	9,0	33,6	8,4	8,325	0,675
	6,6	33,4	8,35	8,375	–1,775
	7,0	-	-	-	-
	10,8	-	-	-	-

Данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4 (объемы потребления электроэнергии в осенне-зимний период выше, чем весной и летом).

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных данных методом скользящей средней. Для этого:

а) просуммируем у_t последовательно за каждые 4 квартала со сдвигом на один (гр.3 табл. 6.3);

б) разделив эти суммы на 4, найдем скользящие средние (гр.4 табл. 6.3);

в) приведем эти значения к соответствующим кварталам, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл.6.3).

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты (гр.6 табл. 6.3). Найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты

Š₁=(0,575+0,55+0,675)/3=0,6;

Š₂=(–2,075 – 2,025 – 1,775)/3= –1,958;

Š₃=(–1,25 – 1,1 – 1,475)/3= –1,275;

Š₄=(2,55+2,7+2,875)/3=2,708.

Сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю, а у нас получилось 0,6 – 1,958 – 1,275 + 2,7=0,075, поэтому определяем корректирующий коэффициент k=0,075/4=0,01875. Окончательно определяем сезонную компоненту S_i = Š_i– k.

Таким образом, получаем

S₁ =0,581; S₂ = –1,979; S₃ = –1,294; S₄ =2,69.

Занесем полученные значения в табл.6.4 для соответствующих кварталов (гр.3).

Таблица 6.4

t	yt	St	T+E= yt –St	T	T+S	E=yt –(T+S)	E2
	6,0	0.581	5.419	5.902	6.483	–0.483	0.2333
	4,4	–1.977	6.337	6.088	4.111	0.289	0.0835
	5,0	–1.294	6.294	6.275	4.981	0.019	0.0004
	9,0	2.69	6.31	6.461	9.151	–0.151	0.0228
	7,2	0.581	6.619	6.648	7.229	–0.029	0.0008
	4,8	–1.977	6.777	6.834	4.857	–0.057	0.0032
	6,0	–1.294	7.294	7.02	5.727	0.273	0.0745
	10,0	2.69	7.31	7.207	9.896	0.104	0.0108
	8,0	0.581	7.419	7.393	7.974	0.026	0.0007
	5,6	–1.977	7.577	7.58	5.603	–0.03	0.0009
	6,4	–1.294	7.694	7.766	6.472	–0.072	0.0052
	11,0	2.69	8.31	7.952	10.642	0.358	0.1282
	9,0	0.581	8.419	8.139	8.72	0.28	0.0784
	6,6	–1.977	8.577	8.325	6.348	0.252	0.0635
	7,0	–1.294	8.294	8.519	7.218	–0.218	0.0475
	10,8	2.69	8.11	8.698	11.388	–0.588	0.3457

Шаг 3. Вычисляем T+E= y_t – S_t (гр.4 табл.6.4).

Шаг 4. По данным графы 4 строим линейный трендТ=5,715 + 0,186t. Подставляя в это уравнение t=1,2,…16, находим Т (гр. 5 табл.6.4).

Шаг 5. Находим теоретические значения T+S (гр. 6 табл. 6.4).

Шаг 6. Вычисляются ошибки модели и их квадраты (гр. 7 и 8 табл.6.4).

Статистика Дарбина-Уотсона.

При моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки e_t содержат тенденцию (возрастают или убывают со временем) или циклические колебания. В этом случае имеет место автокорреляция остатков (см. 2.6.). Существует два наиболее распространенных способа определения автокорреляции остатков. Первый метод – построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод – использование критерия Дарбина – Уотсона и расчет величины

(6.3)

Между критерием Дарбина – Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков действует соотношение

d»2(1 – r_e).

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция (r_e=1), то d=0. Если в остатках полная отрицательная корреляция (r_e= –1), то d=4. Если автокорреляция остатков отсутствует (r_e=0), то d=2.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина – Уотсона следующий. Задается уровень значимости a. По таблицам значений критерия Дарбина – Уотсона (приложение 3) определяются для числа наблюдений n и числа независимых переменных (факторов) k критические значения d_l и d_u. Получаем пять интервалов для значения d.

- если 0 £d£d_l, то имеется положительная автокорреляция остатков;

- если d_l£d£d_u, то это зона неопределенности (на практике предполагаем положительную автокорреляцию остатков);

- если d_u£d£ 4 – d_u, то автокорреляция остатков отсутствует;

- если 4 – d_u£d£ 4 – d_l , то это зона неопределенности (на практике предполагаем отрицательную автокорреляцию остатков);

- если 4 – d_l£d£4, то имеется отрицательная автокорреляция остатков.

Пример6.3. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках для модели зависимости расходов на конечное потребление от совокупного дохода. Исходные данные и результаты промежуточных расчетов для критерия Дарбина-Уотсона приведены в табл.6.5.

Таблица 6.5

Год
Расходы, у
доход, х

у= –2.05+0,92х+e_t.

Год
ŷ	7,15	8,99	8,07	8,99	10,83	11,75	13,59	16,35
et	–0,15	–0,99	–0,07	1,01	0,17	0,25	0,41	–0,35
et – et-1	-	–0,84	0,92	1,08	–0,84	0,08	0,16	–0,76
∑(et)2=2,4095	,0225	,9801	,0049	1,020	,0289	,0625	,1681	,1225
∑(et – et-1)2=4,0336	-	,7056	0,846	1,166	,7056	,0064	,0256	,5776

Имеем d=4,0336/2,4095=1,674.

Пусть a=0,05, по таблицам (приложение 3) для n=8 и k=1 (однофакторная модель) находим критические значения d_l =0,76, d_u =1,33. Так как в нашем случае 1,33 £ 1,674 £ 4 – 1,39=2,61, то автокорреляция остатков отсутствует.