Основные аффинные и метрические задачи
Задача называется метрической, если в ней фигурируют метрические свойства фигур, т.е. свойства, которые можно выявить непосредственным измерением (длина отрезка, расстояние между точками, расстояние от точки до прямой или плоскости, величина угла, перпендикулярность, площадь, объем). В аффинных задачах метрические свойства не рассматриваются. Аффинные задачи решаются в аффинной системе координат, а, следовательно, и в прямоугольной декартовой. Метрические задачи удобно решать в прямоугольной системе координат.
Основные аффинные и метрические задачи, решаемые с помощью координат, сформулируем в виде теорем.
Основные аффинные задачи
1. Координаты вектора, заданного двумя точками.
Теорема 1. Если в аффинной системе координат 
и 
, то 
.
Представим вектор 
в виде разности векторов 
и 
:
.
Так как , то по определению координат точки 
. Аналогично 
. Применяя свойство координат векторов (координаты разности двух векторов равны разности их соответствующих координат), получаем, что вектор 
имеет координаты 
Þ .
2. Деление отрезка в данном отношении.
Говорят, что точка М делит направленный отрезок 
в отношении
, если выполняется векторное равенство:
. (1)
Число при этом называется простым отношением трех точек М1, М2 и М. Простое отношение трех точек М1, М2 и М обозначается так: 
.
Почему в определении деления отрезка в данном отношении ?
Пусть М1 
М2 и точка М делит направленный отрезок в отношении l=-1. Тогда по определению деления отрезка в данном отношении
,
т.е. 
Þ 
Þ 
. А так как начало у векторов 
и 
общее и они равны, то М1=М2. Получили противоречие с условием, следовательно, .
Из векторного равенства (1) следует, что если 
, то 
, т.е. точка М совпадает с точкой М1; если l>0, то точка М лежит внутри отрезка 
(рис. 37), т.е. 
; если l<0, то точка М лежит на прямой 
вне отрезка (рис. 38), т.е. 
или 
.
| М1 |
| М |
| М2 |
| Рис. 37 |
| М |
| М1 |
| М2 |
| М2 |
| М1 |
| М |
| Рис. 38 |
Теорема 2. Пусть в аффинной системе координат 
, 
. Тогда координаты точки 
, делящей направленный отрезок 
в отношении 
, находятся по формулам:
; 
; 
. (2)
По определению деления отрезка в данном отношении .
| О |
 |
 |
 |
| М1 |
| М |
| М2 |
| Рис. 39 |
, 
. Тогда 
. Так как два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, то 
; 
; 
, откуда получаем: ; ; .
Формулы (2) называются формулами деления отрезка в данном отношении в координатах.
Из теоремы 2 получаем
Следствие. Если М(х;у;z) – середина отрезка М1М2 с концами и , то 
, 
, 
.
Так как М – середина М1М2, то 
Þl=1. Применяя формулы деления отрезка в данном отношении в координатах, получаем:
, , .
Основная метрическая задача
Теорема 3(расстояние между двумя точками в координатах). Если в прямоугольной декартовой системе координат 
, , то расстояние АВ между точками А и В находится по формуле:
.
Учитывая, что 
, и используя формулы для нахождения длины вектора в координатах, получаем:
.
Формулы, доказанные в теоремах 1 и 2, можно использовать и в аффинной, и в прямоугольной декартовой системе координат, а формулу из теоремы 3 – только в прямоугольной декартовой системе координат.
Формулы преобразования координат
§12. Преобразование аффинной системы координат
| О |
| О' |
| М |
 |
 |
 |
 |
| Рис. 40 |
и 
. Первую назовем старой, вторую - новой. Пусть М – произвольная точка плоскости, которая в старой системе имеет координаты х,у, а в новой системе - координаты 
(рис. 40). Задача преобразования координат состоит в следующем: зная координаты нового начала и новых координатных векторов в старой системе:
, 
, 
,(3)
выразить координаты х,у точки М в старой системе координат, через координаты этой точки в новой системе.
Из формул (3) следует, что
; 
; 
. (4)
(по правилу треугольника).
Так как 
, 
, то по определению координат точки 
, 
, т.е. 
; 
.
Тогда, используя формулы (4), получим:
,
т.е. 
,
откуда находим:
 ;
|
. Так выражаются координаты х,у произвольной точки М в старой системе через ее координаты 
в новой системе .
Формулы (5) называются формулами преобразования аффинной системы координат.
Коэффициенты 
, 
при 
- координаты нового вектора 
в старой системе ; коэффициенты 
, 
при 
- координаты нового вектора 
в старой системе, свободные члены 
, 
- координаты нового начала 
в старой системе:
Координаты точки М
в новой системе
| х |
| у |
| = |
| = |
| |
 |
 |
| |
| + |
| + |
| |
 |
 |
| |
| + |
| + |
 |
 |
| Координаты точки М в старой системе |
| Координаты нового вектора в старой системе |
Координаты нового вектора  в старой системе |
| Координаты нового начала в старой системе |
Таблица 
называется матрицей перехода от базиса 
, 
к базису 
, 
.
Частные случаи преобразования аффинной
Системы координат
1. Перенос начала.
При этом преобразовании 
, 
, а 
(рис. 41).
Найдем координаты векторов и в старой системе, т.е. , 
, 
и 
:
Þ 
Þ 
, 
;
Þ 
Þ 
, 
.
Тогда формулы (5) примут вид:
 |
| (6) |
Формулы (6) называются формулами переноса начала.
| О |
| О' |
| |
| |
 |
 |
| Рис. 41 |
| |
| |
 |
 |
| О'=О |
| Рис. 42 |
2. Замена координатных векторов.
При этом преобразовании системы координат имеют общее начало и отличаются координатными векторами (рис. 42).
Так как 
, то 
, 
. Тогда формулы (5) примут вид:
 ;  . |
| (7) |
Формулы (7) называются формулами замены координатных векторов.