Основные аффинные и метрические задачи
Задача называется метрической, если в ней фигурируют метрические свойства фигур, т.е. свойства, которые можно выявить непосредственным измерением (длина отрезка, расстояние между точками, расстояние от точки до прямой или плоскости, величина угла, перпендикулярность, площадь, объем). В аффинных задачах метрические свойства не рассматриваются. Аффинные задачи решаются в аффинной системе координат, а, следовательно, и в прямоугольной декартовой. Метрические задачи удобно решать в прямоугольной системе координат.
Основные аффинные и метрические задачи, решаемые с помощью координат, сформулируем в виде теорем.
Основные аффинные задачи
1. Координаты вектора, заданного двумя точками.
Теорема 1. Если в аффинной системе координат
и
, то
.
Представим вектор в виде разности векторов
и
:
.
Так как , то по определению координат точки
. Аналогично
. Применяя свойство координат векторов (координаты разности двух векторов равны разности их соответствующих координат), получаем, что вектор
имеет координаты
Þ
.
2. Деление отрезка в данном отношении.
Говорят, что точка М делит направленный отрезок в отношении
, если выполняется векторное равенство:
. (1)
Число при этом называется простым отношением трех точек М1, М2 и М. Простое отношение трех точек М1, М2 и М обозначается так:
.
Почему в определении деления отрезка в данном отношении ?
Пусть М1 М2 и точка М делит направленный отрезок
в отношении l=-1. Тогда по определению деления отрезка в данном отношении
,
т.е. Þ
Þ
. А так как начало у векторов
и
общее и они равны, то М1=М2. Получили противоречие с условием, следовательно,
.
Из векторного равенства (1) следует, что если , то
, т.е. точка М совпадает с точкой М1; если l>0, то точка М лежит внутри отрезка
(рис. 37), т.е.
; если l<0, то точка М лежит на прямой
вне отрезка
(рис. 38), т.е.
или
.
М1 |
М |
М2 |
Рис. 37 |
М |
М1 |
М2 |
М2 |
М1 |
М |
Рис. 38 |
Теорема 2. Пусть в аффинной системе координат
,
. Тогда координаты точки
, делящей направленный отрезок
в отношении
, находятся по формулам:
;
;
. (2)
По определению деления отрезка в данном отношении .
О |
![]() |
![]() |
![]() |
М1 |
М |
М2 |
Рис. 39 |
![Основные аффинные и метрические задачи Основные аффинные и метрические задачи - student2.ru](/images/matematika/osnovnye-affinnye-i-metricheskie-zadachi-564319-51.png)
![Основные аффинные и метрические задачи Основные аффинные и метрические задачи - student2.ru](/images/matematika/osnovnye-affinnye-i-metricheskie-zadachi-564319-52.png)
![Основные аффинные и метрические задачи Основные аффинные и метрические задачи - student2.ru](/images/matematika/osnovnye-affinnye-i-metricheskie-zadachi-564319-53.png)
![Основные аффинные и метрические задачи Основные аффинные и метрические задачи - student2.ru](/images/matematika/osnovnye-affinnye-i-metricheskie-zadachi-564319-54.png)
![Основные аффинные и метрические задачи Основные аффинные и метрические задачи - student2.ru](/images/matematika/osnovnye-affinnye-i-metricheskie-zadachi-564319-55.png)
![Основные аффинные и метрические задачи Основные аффинные и метрические задачи - student2.ru](/images/matematika/osnovnye-affinnye-i-metricheskie-zadachi-564319-56.png)
, откуда получаем:
;
;
.
Формулы (2) называются формулами деления отрезка в данном отношении в координатах.
Из теоремы 2 получаем
Следствие. Если М(х;у;z) – середина отрезка М1М2 с концами и
, то
,
,
.
Так как М – середина М1М2, то Þl=1. Применяя формулы деления отрезка в данном отношении в координатах, получаем:
,
,
.
Основная метрическая задача
Теорема 3(расстояние между двумя точками в координатах). Если в прямоугольной декартовой системе координат
,
, то расстояние АВ между точками А и В находится по формуле:
.
Учитывая, что ,
и используя формулы для нахождения длины вектора в координатах, получаем:
.
Формулы, доказанные в теоремах 1 и 2, можно использовать и в аффинной, и в прямоугольной декартовой системе координат, а формулу из теоремы 3 – только в прямоугольной декартовой системе координат.
Формулы преобразования координат
§12. Преобразование аффинной системы координат
О |
О' |
М |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Рис. 40 |
![Основные аффинные и метрические задачи Основные аффинные и метрические задачи - student2.ru](/images/matematika/osnovnye-affinnye-i-metricheskie-zadachi-564319-81.png)
![Основные аффинные и метрические задачи Основные аффинные и метрические задачи - student2.ru](/images/matematika/osnovnye-affinnye-i-metricheskie-zadachi-564319-82.png)
![Основные аффинные и метрические задачи Основные аффинные и метрические задачи - student2.ru](/images/matematika/osnovnye-affinnye-i-metricheskie-zadachi-564319-81.png)
![Основные аффинные и метрические задачи Основные аффинные и метрические задачи - student2.ru](/images/matematika/osnovnye-affinnye-i-metricheskie-zadachi-564319-82.png)
![Основные аффинные и метрические задачи Основные аффинные и метрические задачи - student2.ru](/images/matematika/osnovnye-affinnye-i-metricheskie-zadachi-564319-85.png)
Задача преобразования координат состоит в следующем: зная координаты нового начала и новых координатных векторов в старой системе:
,
,
,(3)
выразить координаты х,у точки М в старой системе координат, через координаты этой точки в новой системе.
Из формул (3) следует, что
;
;
. (4)
(по правилу треугольника).
Так как ,
, то по определению координат точки
,
, т.е.
;
.
Тогда, используя формулы (4), получим:
,
т.е. ,
откуда находим:
![]() |
. Так выражаются координаты х,у произвольной точки М в старой системе через ее координаты
в новой системе
.
Формулы (5) называются формулами преобразования аффинной системы координат.
Коэффициенты ,
при
- координаты нового вектора
в старой системе
; коэффициенты
,
при
- координаты нового вектора
в старой системе, свободные члены
,
- координаты нового начала
в старой системе:
Координаты точки М
в новой системе
х |
у |
= |
= |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
+ |
+ |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
+ |
+ |
![]() |
![]() |
Координаты точки М в старой системе ![]() |
Координаты нового вектора ![]() ![]() |
Координаты нового вектора ![]() ![]() |
Координаты нового начала ![]() ![]() |
Таблица называется матрицей перехода от базиса
,
к базису
,
.
Частные случаи преобразования аффинной
Системы координат
1. Перенос начала.
При этом преобразовании ,
, а
(рис. 41).
Найдем координаты векторов и
в старой системе, т.е.
,
,
и
:
Þ
Þ
,
;
Þ
Þ
,
.
Тогда формулы (5) примут вид:
![]() |
(6) |
Формулы (6) называются формулами переноса начала.
О |
О' |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Рис. 41 |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
О'=О |
Рис. 42 |
2. Замена координатных векторов.
При этом преобразовании системы координат имеют общее начало и отличаются координатными векторами (рис. 42).
Так как , то
,
. Тогда формулы (5) примут вид:
![]() ![]() |
(7) |
Формулы (7) называются формулами замены координатных векторов.