Уравнения, неравенства и их системы
Линейные уравнения
Квадратные уравнения
Рациональные уравнения
Системы уравнений
Системы неравенств
Линейные уравнения
1.Найдите корни уравнения .
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: −4,5.
Ответ: -4,5
-4,5
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1305.
Задание 6 № 311469
2.Решите уравнение .
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: −1,6.
Ответ: -1,6
-1,6
Источник: Демоверсия--2012. Математика.
Задание 6 № 338480
3.Решите уравнение
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: −1.
Ответ: -1
-1
Задание 6 № 338488
4.Решите уравнение
Решение.
Решим уравнение:
Ответ: −3.
Ответ: -3
-3
Задание 6 № 338495
5.Решите уравнение
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 4.
Ответ: 4
Задание 6 № 338500
6.При каком значении значения выражений
и
равны?
Решение.
Для ответа на вопрос задачи нужно решить уравнение Решим его:
Ответ: 2.
Ответ: 2
Задание 6 № 338509
7.Решите уравнение
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 9,7.
Ответ: 9,7
9,7
Задание 6 № 338527
8.Решите уравнение
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 1.
Ответ: 1
Задание 6 № 338557
9.Решите уравнение
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 7.
Ответ: 7
Задание 6 № 338560
10.Решите уравнение
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 1,5.
Ответ: 1,5
1,5
Задание 6 № 338606
11.Решите уравнение
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: −2,5.
Ответ: -2,5
-2,5
Задание 6 № 338610
12.Решите уравнение
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: -6
-6
Задание 6 № 338658
13.Решите уравнение
Решение.
Решим уравнение:
Ответ: −1,75.
Ответ: -1,75
-1,75
Задание 6 № 338868
14.Решите уравнение
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
Решение.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
Ответ: 0,66.
Ответ: 0,66
0,66
Источник: Банк заданий ФИПИ
Задание 6 № 341216
15.Решите уравнение
Решение.
Домножим правую и левую часть уравнений на 12:
Ответ: 5.
Ответ: 5
Источник: Банк заданий ФИПИ
Задание 6 № 353480
16.Найдите корень уравнения
Квадратные уравнения
1.Найдите корни уравнения .
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
Решение.
По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна −7, а их произведение равно −18. Тем самым, это числа −9 и 2.
Ответ: −92.
------------------
Дублирует 314539.
Ответ: -92
-92
Источник: Демонстрационная версия ГИА—2013 по математике.
Задание 6 № 137381
2.Решите уравнение .
Решение.
По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение −6.
Тем самым, это числа −2 и 3.
Ответ: −23.
Ответ: -23
-23
Задание 6 № 137382
3.Решите уравнение .
Решение.
Запишем уравнение в виде По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна −3, а их произведение −4.
Тем самым это числа −4 и 1.
Ответ: −41.
Ответ: -41
-41
Задание 6 № 137383
4.Решите уравнение .
Решение.
Запишем уравнение в виде По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение −8.
Тем самым это числа −2 и 4.
Ответ: −24.
Ответ: -24
-24
Задание 6 № 311405
5.Найдите корни уравнения .
Решение.
Решим уравнение:
Ответ: −0,20,2.
Ответ: -0,20,2
-0,20,2
Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 1 (1 вар.)
Задание 6 № 311446
6.Найдите корни уравнения .
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 05.
Ответ: 05
Источник: ГИА-2013. Математика. Экзамен. Вариант 9
Задание 6 № 311689
7.Найдите корни уравнения
Решение.
По теореме, обратной теореме Виета — сумма корней равна −7, а их произведение равно −18
Тем самым, это числа −9 и 2.
Ответ: −92.
Ответ: -92
-92
Источник: Демонстрационная версия ГИА—2014 по математике.
Задание 6 № 314495
8.Найдите корни уравнения
Решение.
Запишем уравнение в виде:
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Тем самым, это числа 4 и 1.
Ответ: 14.
Ответ: 14
Источник: Банк заданий ФИПИ
Задание 6 № 320540
9. Две прямые пересекаются в точке C (см. рис.). Найдите абсциссу точки C.
Решение.
Уравнения прямых:
Найдём абсциссу точки пересечения прямых, для этого, приравняем ординаты:
Ответ: −2.
Ответ: -2
-2
Задание 6 № 320541
10. На рисунке изображены графики функций
и
Вычислите координаты точки B.
Запишите координаты в ответ без пробелов.
Решение.
Точки A и B — точки пересечения графиков функций и
Найдём их абсциссы:
Абсцисса точки B больше нуля, следовательно, это Найдём ординату точки B:
Ответ: 3−6.
Ответ: 3-6
3-6
Задание 6 № 338180
11.Уравнение имеет корни −6; 4. Найдите
Решение.
По теореме Виета
Ответ: −24.
Ответ: -24
-24
Задание 6 № 338202
12.Квадратный трёхчлен разложен на множители: Найдите
Решение.
Корни уравнения — суть числа −9 и 3. В силу формулы
где
и
— корни уравнения
получаем
Следовательно,
Ответ: 3
Задание 6 № 338494
13.Решите уравнение
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: −9,7.
Ответ: -9,7
-9,7
Задание 6 № 338518
14.Решите уравнение
Решение.
Раскроем скобки и преобразуем выражение:
Ответ: 2,25.
Ответ: 2,25
2,25
Задание 6 № 338526
15.Решите уравнение
Решение.
Квадраты чисел равны, если числа равны или противоположны:
Ответ: −2,5.
Приведем другое решение.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
Приведем другое решение.
Воспользуемся формулой разности квадратов:
Ответ: -2,5
-2,5
Задание 6 № 338915
16.Решите уравнение
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 06.
Ответ: 06
Задание 6 № 353508
17.Уравнение имеет корни −5; 7. Найдите
Рациональные уравнения
1.Решите уравнение: .
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
Решение.
Используем свойство пропорции.
Ответ: 22.
Ответ: 22
Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(1 вар)
Задание 6 № 311755
2.Решите уравнение
Решение.
Умножим левую и правую часть уравнения на 4, получаем:
Ответ: −20.
Ответ: -20
-20
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90101.
Задание 6 № 316225
3.Решите уравнение:
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 6,3.
Ответ: 6,3
6,3
Источник: Диагностическая работа 01.10.2013 Вариант МА90105
Задание 6 № 316341
4.Решите уравнение:
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 36.
Ответ: 36
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.02.2014 вариант МА90501.
Задание 6 № 338483
5.Решите уравнение
Решение.
Используем свойство пропорции:
Ответ: 4.
Ответ: 4
Задание 6 № 338503
6.Решите уравнение
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
Решение.
Умножим обе части уравнения на
Ответ: −32.
Ответ: -32
-32
Задание 6 № 338583
7.Решите уравнение
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 16.
Ответ: 16
Задание 6 № 338723
8.Решите уравнение
Решение.
Умножим обе части уравнения на 24:
Ответ: −4.
Ответ: -4
-4
Задание 6 № 338805
9.Решите уравнение
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: −1,25.
Ответ: -1,25
-1,25
Задание 6 № 338937
10.Решите уравнение
Решение.
Умножим обе части уравнения на 7:
Ответ: 14.
Ответ: 14
Задание 6 № 341402
11.Решите уравнение
Системы уравнений
1.Решите систему уравнений
В ответе запишите сумму решений системы.
Решение.
Разделим обе части первого уравнения на 2 и решим систему методом подстановки:
Ответ: 3,5.
Примечание.
Систему можно было бы решить методом алгебраического сложения:
Ответ: 3,5
3,5
Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 1)
Задание 6 № 311327
2.Решите систему уравнений
В ответе запишите сумму решений системы.
Решение.
Решим систему методом подстановки:
Ответ: 5.
Ответ: 5
Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 2)
Задание 6 № 311338
3.Решите систему уравнений
В ответе запишите сумму решений системы.
Решение.
Решим систему методом подстановки:
Ответ: 3.
Ответ: 3
Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 3)
Задание 6 № 311350
4.Решите систему уравнений
В ответе запишите сумму решений системы.
Решение.
Решим систему методом подстановки:
Ответ: −1.
Ответ: -1
-1
Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 4)
Задание 6 № 311360
5.Решите систему уравнений
В ответе запишите сумму решений системы.
Решение.
Решим систему методом подстановки:
Ответ: 5.
Ответ: 5
Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар.5)
Задание 6 № 311370
6.Решите систему уравнений
В ответе запишите сумму решений системы.
Системы неравенств
1.Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств
Решение.
Решим систему:
Искомое наибольшее решение равно −3.
Ответ: −3.
Ответ: -3
-3
Источник: Банк заданий ФИПИ
Задание 6 № 314543
2.Найдите наибольшее значение , удовлетворяющее системе неравенств
Графики функции
Чтение графиков
Растяжение и сдвиги
Чтение графиков
1.Найдите значение по графику функции
, изображенному на рисунке.
1) 2)
3)
4)
Решение.
Абсцисса вершины параболы равна −1, поэтому откуда
Парабола пересекает ось ординат в точке с ординатой 3, поэтому
Тем самым, уравнение параболы принимает вид
Поскольку парабола проходит через точку (−1; 2), имеем:
Верный ответ указан под номером 2.
Ответ: 2.
Ответ: 2
Задание 10 № 193090
2.Найдите значение по графику функции
, изображенному на рисунке.
1) 2)
3)
4)
Решение.
Абсцисса вершины параболы равна −1, поэтому откуда
Парабола пересекает ось ординат в точке с ординатой 3, поэтому
Тем самым, уравнение параболы принимает вид
Поскольку парабола проходит через точку (−1; 2), имеем:
Таким образом,
Верный ответ указан под номером 3.
Ответ: 3.
Ответ: 3
Задание 10 № 193091
3.Найдите значение по графику функции
изображенному на рисунке.
1) 2)
3)
4)
Решение.
Значение — это значение графика при ордината графика при
Значит,
Такой ответ указан под номером 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
Задание 10 № 193102
4.Найдите значение по графику функции
изображенному на рисунке.
Решение.
Поскольку гипербола проходит через точку (−1; 1), имеем:
Ответ: −1.
Ответ: -1
-1
Задание 10 № 311406
5.На рисунке изображён график функции . Какие из утверждений относительно этой функции неверны? Укажите их номера.
1) функция возрастает на промежутке
2) 3)
4) прямая пересекает график в точках
и
Решение.
Проверим каждое из утверждений.
1) Функция возрастает на промежутке — неверно, функция убывает на промежутке
и затем возрастает на
.
2) — неверно,
3) — верно, видно из графика.
4) Прямая пересекает график в точках
и
— верно, видно из графика.
Таким образом, неверные утверждения находятся под номерами 1 и 2.
Ответ: 12.
Ответ: 12|21
12|21
Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 1 (1 вар.)
Задание 10 № 314676
6.
На рисунке изображён график квадратичной функции y = f(x).
Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера в порядке возрастания.
1) Функция возрастает на промежутке (−∞; −1].
2) Наибольшее значение функции равно 8.
3) f(−4) ≠ f(2).
Решение.
Проверим каждое утверждение.
1) На луче (−∞; −1] большему значению аргумента сответствует большее значение функции. Следовательно, функция возрастает на этом луче; первое утверждение верно.
2) Наибольшее значение функции равно 9. Второе утверждение неверно.
3) Значения фунцкии в точках −4 и 2 равны нулю, поэтому f(−4) = f(2). Третье утверждение неверно.
Ответ: 23.
Ответ: 23
Источник: Банк заданий ФИПИ
Задание 10 № 314703
7.
На рисунке изображён график квадратичной функции y = f(x).
Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера.
1) f(−1) = f(3).
2) Наибольшее значение функции равно 3.
3) f(x)>0 при −1<x<3.
Решение.
Проверим каждое утверждение.
1) f(−1) = f(3). Первое утверждение верно.
2) Наибольшее значение функции равно 4. Второе утверждение неверно.
3) f(x)>0 при −1<x<3. Третье утверждение верно.
Ответ: 2.
Ответ: 2
Источник: Банк заданий ФИПИ
Задание 10 № 314704
8.
На рисунке изображён график квадратичной функции y = f(x).
Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера.
1) Наибольшее значение функции равно 9.
2) f(0)>f(1).
3) f( x )>0 при x<0.
Решение.
Проверим каждое утверждение.
1) Наибольшее значение функции равно 9. Первое утверждение верно.
2) Значения фунцкии в точке 0 равно 8, а в точке 1 — 5 поэтому f(0) > f(1). Второе утверждение верно.
3) На луче (−∞; 0) функция принимает как положительные так и отрицательные значения. Третье утверждение неверно.
Ответ: 3.
Ответ: 3
Источник: Банк заданий ФИПИ
Задание 10 № 333008
9.На рисунке изображён график функции y = ax2 + bx + c . Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения выполняются. Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.
УТВЕРЖДЕНИЯ | ПРОМЕЖУТКИ |
А) функция возрастает на промежутке Б) функция убывает на промежутке | 1) [1;2] 2) [0;2] 3) [-1;0] 4) [-2;3] |
Ответ:
Решение.
Функция, изображённая на графике возрастает на промежутке и убывает на промежутке
Следовательно, на данных промежутках функция возрастает на третьем промежутке и убывает на первом.
Ответ: 31.
Ответ: 31
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 17.04.2014 вариант МА90601
Задание 10 № 333087
10.На рисунке изображён график функции вида . Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения выполняются. Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.
УТВЕРЖДЕНИЯ | ПРОМЕЖУТКИ |
А) функция возрастает на промежутке Б) функция убывает на промежутке | 1) [0; 3] 2) [−1; 1] 3) [2; 4] 4) [1; 4] |
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
А | Б |
Решение.
Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Данная функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке
Таким образом, из приведённых промежутков функция только возрастает на промежутке
убывает на промежутке
Ответ: 23.
Ответ: 23
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 17.04.2014 вариант МА90602
Задание 10 № 339184
11.На рисунке изображены графики функций вида y = ax2 + bx + c. Для каждого графика укажите соответствующее ему значения коэффициента a и дискриминанта D.
А) ![]() ![]() | Б) ![]() ![]() | В) ![]() ![]() | Г) ![]() ![]() |
1) a > 0, D > 0 | 2) a > 0, D < 0 | 3) a < 0, D > 0 | 4) a < 0, D < 0 |
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
А | Б | В | Г |
Растяжение и сдвиги
1.Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
1) 2)
3)
4)
А | Б | В |
Решение.
Определим вид графика каждой из функций.
1) — уравнение параболы, ветви которой направленны вверх.
2) — уравнение прямой.
3) — уравнение верхней ветви параболы, направленной вправо.
4) — уравнение гиперболы.
Тем самым найдено соответствие: A — 1, Б — 4, В — 2.
Ответ: 142.
Ответ: 142
Источник: Демонстрационная версия ГИА—2013 по математике.
Задание 10 № 193087
2.График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?
1) ![]() | 2) ![]() | 3) ![]() | 4) ![]() |
Решение.
Ветви изображённой на рисунке параболы направленны вверх, а абсцисса вершины отрицательна. Следовательно, данному графику могут соответсвовать функции или
Выделим полный квадрат в обоих выражениях:
Графику соответствует вариант под номером 3.
Ответ: 3
Задание 10 № 193093
3.На одном из рисунков изображен график функции . Укажите номер этого рисунка.
1) | ![]() | 2) | ![]() |
3) | ![]() | 4) | ![]() |
Решение.
Коэффициент , поэтому ветви параболы направлены вверх. Абсцисса вершины параболы равна:
Правильный вариант ответа указан под номером 1.
Ответ: 1
Задание 10 № 193097
4.На одном из рисунков изображена парабола. Укажите номер этого рисунка.
1) | ![]() | 2) | ![]() |
3) | ![]() | 4) | ![]() |
Решение.
Парабола изображена на рисунке 1.
Правильный ответ указан под номером 1.
Ответ: 1
Задание 10 № 198175
5.График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?
1) ![]() | 2) ![]() | 3) ![]() | 4) ![]() |
Решение.
Изображённая на рисунке гипербола расположена в первой и третьей четвертях, следовательно, данному графику могут соответсвовать функции или
При
ордината функции на графике равна 5, следовательно, это график функции
Ответ: 3.
Ответ: 3
Задание 10 № 200515
6.На одном из рисунков изображен график функции . Укажите номер этого рисунка.
1) | ![]() | 2) | ![]() |
3) | ![]() | 4) | ![]() |
Решение.
График функции — парабола. Определим тип каждого графика функции.
1) На первом рисунке изображена линейная функция.
2) На втором рисунке изображена логарифмическая функция.
3) На третьем р<