Термомеханические системы. (Это из термодинамики)

Механическая линейная упругая система, в которой энергетические процессы сводятся только к изменению потенциальной энергии – это абстрактная математическая модель. Возможности ее использования для описания реальных физико-механических процессов в твердых телах, материалах, в элементах конструкций требуют изучения.

Систему называют термомеханической, если в ней механические процессы сопровождаются тепловыми. Простейшей термомеханической системой является однородный упругий стержень, который растягивается вдоль своей оси напряжениями s и теплом с окружающей средой.

Рассмотрим процессы, происходящие в единице (начального) объема такого стержня. Пять переменных характеризуют состояние этой термомеханической системы:

T, s, e, U, S - абсолютная температура T, напряжение s, относительная деформация e, (внутренняя) энергия U и энтропия S.

Три первых переменных параметра (T,s и e) связаны между собой уравнением состояния материала, которое примем в виде:

e = e_s + e_t = (16-а)

или, решив (16-а) относительно s :

s = Ee - Ea(T-T₀), (16-в)

где e_s = – деформация, вызванная напряжением,

E – изотермический модуль упругости,

e_t = a(T-T₀) – температурная деформация,

a – температурный коэффициент линейного расширения,

T₀ – начальная температура.

E и a будем считать постоянными величинами, не зависящими от температуры и деформации.

Таким образом, из трех параметров состояния, два независимых, а третий определяется соотношением (16).

Примем за независимые параметры температуру T и деформацию e.

Энергия , содержащаяся в термомеханической системе, меняется на величину работы, совершаемой напряжениями dA = s de и на величину приращения тепловой энергии dQ, получаемой системой от внешней среды:

dU = s de + dQ (17)

Будем полагать, что процессы, происходящие внутри термомеханической системы обратимы и, следовательно, не порождают энтропию. Тогда изменение энтропии системы происходит только в результате обмена системы с внешней средой тепловой энергией:

dS = . (18)

Выразим из (18) приращение тепла и подставим его в (17). Получится:

dU = s de + T dS (19)

Введем наряду с (внутренней) энергией U свободную энергию U^*, определив ее, как принято в термодинамике, выражением:

U^* = U – T S (20)

Дифференцируя (20) с учетом (19), получим:

dU^* = dU – d(T S) = s de + T dS –T dS –S dT,

dU^* = s de –S dT (21)

Рассматривая свободную энергию как функцию независимых параметров U^*=U^* (T, e), представим ее полный дифференциал как сумму частных дифференциалов:

(22)

Сопоставляя (22) с (21), получим:

= s, = - S. (23)

из условия Эйлера и уравнения состояния 16-в следует:

, (24)

следовательно, S= Eae + f(T) (25)

Подставляя в (21) напряжения из(16-в), получим:

dU^* =(E e - Ea(T-T₀)) de - S dT (26)

Интегрируя (26) с учетом(25), получим:

U^* = ,

где или наоборот

Внутренняя энергия из (20) определится выражением

U = U^* + T S = (28)

Для определения функции j(T), которая не зависит от e, поступим следующим образом, при e = 0, то есть при запрещенной деформации подведем к системе тепловую энергию dQ. Температура повысится на , где С_e - теплоемкость единицы объема материала при постоянной деформации. Внутренняя энергия получит приращение

dU = dQ = С_e dT (29)

С другой стороны, из (28) при имеем:

dU = .

Следовательно

(30)

Интегрируя, получим

(31)

Подставляя в (25) , получим

S = E a e+ С_e lnT + D_S. (31-*)

Отсюда изменение энтропии от начального состояния (e₀=0, T₀) до конечного (e, T) определяется выражением:

DS = E a e + С_e (32)

Изменение внутренней энергии из (28)

DU = , (33)

где F(T) = .