Находящейся под действием постоянных сил
Варианты 1 — 5 (рис. 117, схема 1). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом, в течение т с. Его начальная скорость vA. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f
В точке В тело покидает плоскость со скоростью vB и попадает со скоростью в точку С плоскости BD, наклоненной под углом β к горизонту, находясь в воздухе Т с.
При решении задачи тело принять за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Вариант 1. Дано: α= 30°; vA = 0; / = 0,2; /=10 м; β= 60°. Определить х и h.
Вариант 2. Дано: α = 15°; vA = 2 м/с; f=0,2; h = 4 м; β = 45°. Определить l и уравнение траектории точки на участке ВС.
Вариант 3. Дано: α = 30°; vA = 2,5 м/с; ; l = 8 м; d = 10 м; β = 60°. Определить
и τ.
Вариант 4. Дано: vA = 0; τ = 2 с; l= 9,8 м; β= 60°; f= 0. Определить α и Т.
Вариант 5. Дано: α = 30°; vA = 0; l = 9,8 м; τ = 3 с, β= 45°. Определить f и
Варианты 6—10 (рис. 117,схема 2). Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклоненного под углом а к горизонту и имеющего длину l, со скоростью vA. Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен/. Лыжник от Л до В движется х с; в точке В со скоростью vB он покидает трамплин. Через Т с лыжник приземляется со скоростью vc вточке С горы, составляющей угол β с горизонтом.
При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.
Вариант 6. Дано: α=200; f=0.1; τ=0.2 c; h=40м; β=300. Определить l и
Вариант 7. Дано: α=150; f=0.1; =16 м/c; l=5м; β=450. Определить
и Т.
В а р и а и т 8. Дано: vA = 21 м/с; f= 0; τ= 0,3 с; vB = 20 м/с; β=600 Определить α и d.
Вариант 9. Дано: α = 15°; τ = 0,3 f=0,1; h=30 м; β=45°. Определить vB и
Вариант 10. Дано: α =15°;f=0; = 12 м/с; d= 50 м; β = 60°. Определить т и уравнение траектории лыжника на участке ВС.
Варианты 11—15 (ряс. 117, схема 3). Имея в точке А скорость vA, мотоцикл поднимается т с по участку АВ длиной l, составляющему с горизонтом угол а. При постоянной на всем участке АВ движущей силе Р мотоцикл в точке В приобретает скорость vB и перелетает через ров шириной d, находясь в воздухе Тс и приземляясь в точке С со скоростью Vc Масса мотоцикла с мотоциклистом равна m.
При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать силы сопротивления движению.
Вариант 11. Дано: α= 30°; ; l = 40 м; vA = 0$ vB = 4,5 м/с; d= 3 м. Определить τ и h;.
В а р и а и т 12. Дано: α = 30°; Р = 0; l = 40 м; vB = 4,5 м/с; h = 1,5 м. Определить vA и d.
Вариант 13. Дано: α = 30°; т = 400 кг, vA = 0; τ= 20 с; d = 3 м; h = 1,5 м. Определить Р и l.
Вариант 14. Дано: α = 30°; т = 400 кг; Р = 2,2 кН; vA = 0; l = 40 м; d=5м. Определить vB и
Вариант 15. Дано: α = 30°; vA = 0; Р = 2 кН, l= 50 м; h= 2 м; d=4м. Определить Т и m.
Варианты 16—20 (рис. 117, схема 4). Камень скользит в течение τ с по участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l. Его начальная скорость vA. Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен f. Имея в точке В скорость vB, камень через Т с ударяется в точке С о вертикальную защитную стену. При решении задачи принять камень за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Вариант 16. Дано: α = 30°; vA = 1 м/с; 1 = 3 м; f= 0,2; d = 2,5 м. Определить h и Т.
Вариант 17. Дано: α =45°; l = 6 м; vB = 2 vA; τ= 1с; h =6 м. Определить d и f.
Вариант 18. Дано: α = 30°; l = 2 м; vA = 0; f= 0,1; d=3 м. Определить
d и τ.
Вари а н т 19. Дано: α = 15°; l = 3 м; vB = 3 м/с; ; τ=1,5 с; d= 2 м. Определить vA и h.
Вариант 20. Дано: а. = 45°, vA = 0; f= 0,3; d = 2 м; h = 4 м. Определить
l и τ.
Варианты 21 — 25 (рис. 117, схема 5). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Его начальная скорость vA. Коэффициент трения скольжения равен f. Через τ с тело в точке В со скоростью vB покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью vc; при этом оно находится в воздухе Т с.
При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.
Вариант 21. Дано: α= 30°; f= 0,1; vA = 1 м/с; τ= 1,5 с; h = 10м Определить α и d
Вариант 22. Дано: vA = 0 α = 45°; l=10 м; τ= 2 с. Определить f и уравнение траектории на участке ВС.
Вариант 23. Дано: f=0; vA = 0; l = 9,81 м, τ= 2 с; h = 20 м. Определить α и Т.
Вариант 24. Дано: vA = 0; α = 30°; f=0,2; l = 10 м; d = 12 м. Определить τ и h.
В а р и а н т 25. Дано: vA = 0; α = 30°; f = 0,2; l = 6 м, h = 4,5 м. Определить τ и vC.
Варианты 26—30 (рис. 117, схема 6).Имея в точке А скорость vA, тело движется по горизонтальному участку АВ длиной l в течение τ с. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. Со скоростью vB тело в точке В покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью vc, находясь в воздухе Т с. При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Вариант 26. Дано: vA = 7 м/с; f= 0,2; l = 8 м; h = 20 м. Определить d и vC
Вариант 27. Дано: vA = 4 м/с; f = 0,1; τ= 2 с; d = 2 м. Определить vB и h.
Вариант 28. Дано: vB = 3 м/с; f = 0,3; l = 3 м; h = 5 м. Определить vA и Т.
В а р и а н т 29. Дано: vA = 3 м/с; vB = 1 м/с; l = 2,5 м; h = 20 м. Определить f и d.
Вариант 30. Дано: f=0,25; l=4м; d = 3 м; h = 5 м. Определить vA и τ.
Пример выполнения задания (рис 118). В железнодорожных скальных выемках для защиты от кюветов от попадания в них с откосов каменных осыпей устраивается «полка» DC . Учитывая возможность движения камня из наивысшей точки А откоса и пологая при этом его начальную скорость , определить наименьшую ширину полки b и скорость
, с которой камень падает на нее. По участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l, камень движется τ, с.
При решении задачи считать коэффициент трения скольжения f камня на участке АВ постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.
Дано: : vA = 0 м/с; α = 600; l = 4 м; h = 5 м; ; τ=1 с; β=750. Определить b и vC
Решение. Рассмотрим движение камня на участке АВ. Принимая камень за материальную точку, покажем (рис 118) действующие на него силы: вес , нормальную реакцию
и силу трения скольжения
. Составим дифференциальное уравнение движения камня на участке АВ:
Сила трения
где
Таким образом:
или
Интегрируя дифференциальное уравнения дважды, получаем
Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями задачи: при t=0;
и
Составим уравнения, полученные при интегрировании, для t=0:
;
Найдем постоянные:
С1=0; С2=0
Тогда
Для момента τ, когда камень покидает участок,
т.е
откуда
т.е.
Рассмотрим движение камня от точки В до точки С.
Показав силу тяжести , действующую на камень, составим дифференциальное уравнение его движения:
Начальное ускорение задачи при t=0
Интегрируем дифференциальные уравнения дважды:
Напишем полученные уравнения для t=0;
;
Отсюда найдем, что
Получим следующее уравнение скоростей камея:
И уравнение его движения:
Уравнение траектории камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения. Определив t из первого уравнения и подставив его значение во второе, получаем уравнение параболы:
В момент падения
Определяя d из уравнения траектории, найдем:
Так как траекторией движения камня является ветвь параболы с положительными абсциссами ее точек, то d=2,11 м.
Минимальная ширина полки
Используя уравнение движения камня , найдем время Т движение камня от точки В до точки С:
Скорость камня при падении найдем через проекции скорости на оси координат
по формуле
Для момента падения t=T=0.53 c,
м/с
Задание Д.4. Исследование относительного движения материальной точки
Шарик М,рассматриваемый как материальная точка, перемещается по цилиндрическому каналу движущегося тела А (рис. 129—І31). Найти уравнение относительного движения этого шарика х =f (t), приняв за начало отсчета точку О.
Тело А равномерно вращается вокруг неподвижной оси (в вариантах 2, 3, 4, 7, 10, 11, 14, 20, 23, 26 и30 ось вращения z1 вертикальна, в вариантах 1, 12, 15 и 25 ось вращения x1горизонтальна). В вариантах 5, : 6, 8, 9, 13, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 24, 27, 28 и 29 тело А движется поступательно, параллельно вертикальной плоскости y1O1z1.
Найти также координату х и давление шарика на стенку канала при заданном значении t = t1. Данные, необходимые для выполнения задания, приведены в табл. 40.
Таблица 40
№ вар | α град | m кг | ω рад/с | Начальные данные | t1 c | c н/см | l0 м | Уравнение движения тела А | rh м | f | |
x0 м | v м/с | ||||||||||
- | 0,02 | π | 0,4 | 0,5 | - | - | - | - | |||
- | 0,02 | π | 0,2 | 0,4 | - | - | - | 0,15 | |||
0,03 | 2π | 0,5 | 0,2 | - | - | - | - | ||||
- | 0,09 | 4 π | 0,2 | -0,8 | 0,1 | 0,36 | 0,15 | - | - | ||
0,02 | - | 0,6 | 0,2 | - | - | y1=0.6-2t3 (м) | - | ||||
- | 0,01 | 10 π | 0,5 | 0,2 | - | - | - | 0,10 | |||
- | 0,03 | 2 π | 0,3 | 0,2 | - | - | - | 0,20 | |||
0,03 | - | 0,8 | 0,1 | - | - | z1=0.1cos2πt (м) | - | ||||
0,02 | - | 0,4 | 0,1 | 0,20 | 0,20 | y1=4t3 (м) | - | ||||
0,05 | 6 π | 0,4 | 0,1 | - | - | - | - | ||||
0,05 | π | 0,4 | - | - | - | - | |||||
- | 0,08 | 6 π | 0,05 | 0,1 | 0,20 | 0,10 | - | - | |||
- | 0,01 | - | 0,5 | 0,2 | - | - | z1=5-10t2 (м) | - | 0,1 | ||
- | 0,05 | 4 π | 0,5 | 0,1 | - | - | - | 0,20 | 0,2 | ||
- | 0,01 | π | 0,5 | 1,0 | - | - | - | - | |||
0,02 | - | 1,0 | 2,0 | 0,1 | - | - | y1=0.06t3 (м) | - | |||
- | 0,02 | 6 π | 4,0 | 0,2 | - | - | - | 0,20 | |||
0,02 | - | 0,6 | 0,1 | - | - | y1=0.1sinπt (м) | - | ||||
- | 0,08 | - | 0,4 | -0,8 | 0,1 | 0,40 | 0,20 | y1=8t-t3 (м) | - | ||
- | 0,01 | 10 π | 0,1 | 0,2 | 0,20 | 0,10 | - | - | |||
0,05 | - | 0,5 | 0,1 | 0,1 | - | - | y1=2+t2 (м) | - | 0,2 | ||
- | 0,03 | 4 π | 0,1 | 3,0 | 0,1 | - | - | - | 0,10 | ||
- | 0,01 | 2 π | -0,5 | -0,1 | 0,2 | - | - | - | - | ||
0,01 | - | 0,2 | 0,2 | - | - | y1=0.1cos1.5πt (м) | - | ||||
- | 0,05 | 2 π | 0,1 | -0,4 | 0,1 | 0,20 | 0,20 | - | - | ||
- | 0,09 | π | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,20 | 0,1 | - | - | ||
0,02 | - | 1,0 | 0,6 | 0,3 | - | - | z1=0.1sin0.5πt( м) | - | |||
- | 0,03 | - | 0,8 | 0,3 | - | - | y1=8-5t3 (м) | - | 0,1 | ||
0,10 | - | 0,4 | 1,0 | 0,1 | 0,20 | 0,20 | y1=8+t3 (м) | - | |||
0,02 | π/2 | 0,5 | 0,2 | - | - | - | 0,50 |
В задании приняты следующие обозначения: т — масса шарика М; со — постоянная угловая скорость тела А (в вариантах 1—4, 7, 10—12, 14, 15, 20, 23, 25, 26, 30) или кривошипов ОВ и 02С (в вариантах 6, 17, 22); с — коэффициент жесткости пружины, к которой прикреплен шарик М; /0 — длина недеформированной пружины;/— коэффициент трения скольжения шарика по стенке канала; х0, х0 — начальная координата и проекция начальной скорости на ось х.
Пример выполнения задания (рис. 132). Дано: α= 30°, ω= я рад/с; т = 0,01 кг; τ= 0,2 с; х0= 0,3 м; х0 = 2 м/с; с = 1 Н/м; l0 = 0,2 м; r= 0,2 м.
Найти уравнение х = х (г) относительного движения шарика М, а также координату х1 и давление шарика на стенку канала при заданном t = t1.
Р е ш е и и е. Свяжем подвижную систему отсчета Oxyz с вращающимся каналом (трубкой), совместив ось х с траекторией относительного движения шарика М.
Вращение этой системы вокруг оси z1 является переносным движением для шарика М. Относительным движением шарика М является его движение вдоль трубки. В том случае, когда переносное движение является
равномерным вращением, относительное движение точки определяется уравнением
К шарику М приложены силы: вес G, реакция пружины Р и нормальная реакция стенки трубки: эту реакцию можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие N} и N2.
Присоединяем к силам, действующим на шарик М, переносную центробежную силу инерции и кори-олисову силу инерции
, направленные противоположно ускорениям ft" и ас. Направление ускорения ас найдем по известному правилу. Предположим, что направление относительной скорости vr точки М совпадает с положительным направлением оси х. В этом случае кориолисова сила инерции Фс перпендикулярна плоскости xOz и направлена, как показано на рис. Т32. Модули сил инерции определяются по формулам
где
ωе = ω, vr = | х |.
Основное уравнение относительного движения точки М в данном случае имеет вид
(1)
Составим дифференциальное уравнение относительного движения шарика М вдоль оси х:
(реакция пружины Р равна произведению коэффициента жесткости на деформацию пружины).
Последнее уравнение представим в виде
(2)
Общее решение полученного дифференциального уравнения (2) имеет вид
X = X* + X**,
где х* — общее решение соответствующего однородного уравнения: х** — частное решение уравнения (2).
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
= -9.876J.
Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид
х* = С1 cos 9,876t + C2 sin 9,876t.
Частное решение уравнения (2) находим в форме
х** = В.
Из дифференциального уравнения (2) находим
В результате вычислений получаем
В = 0,128 м.
Решение дифференциального уравнения (2) относительного движения 1
шарика М получает вид
х = С1 cos 9,876t + С2 sin 9,876t + 0,128. (3)
Скорость этого движения
(4)
Постоянные Ct и С2 определяем, используя начальные условия:
при t = 0 х0 = 0,3 м, х0 = 2,0 м/с.
Составим уравнения (3) и (4) для г = 0:
х0 = С1 + 0,128; = 9,876С2,
откуда
C1 = 0,172; С2 = 0,202.
Уравнение относительного движения шарика М принимает вид х = 0,172 cos 9,876t + 0,202 sin 9,876t + 0,128.
Скорость относительного движения
Для определения составляющих реакции стенки трубки N1 и N2 при
t = t1 = 0,2 с выразим векторное уравнение (1) в проекциях на оси у и z. Учитывая, что вектор ,перпендикулярен этим осям, получаем
0 = N2-Фс,
Из этих уравнений находим
Для получения числовых значений N1 и N2 необходимо определить координату x1 проекцию относительной скорости точки соответствующие значению t1= 0,2 с:
Следовательно, составляющие реакции Nx = 0,077 H; N2 = 0,080 H. Реакция стенки трубки
Искомое давление шарика М на стенки трубки по числовому значению равно найденной реакции N и направлено в противоположную сторону.
Задание Д.6. Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки
Шарик, принимаемый за материальную точку, движется из положения А внутри трубки, ось которой расположена в вертикальной плоскости (рис. 135-137). Найти скорость шарика в положениях В и С и давление шарика на стенку трубки в положении С. Трением на криволинейных участках траектории пренебречь. В вариантах 3, 6, 7, 10, 13, 15, 17, 19, 25, 28, 29 шарик, пройдя путь h0, отделяется от пружины.
Необходимые для решения данные приведены в табл. 42.
Таблица 42
№ вар | m. кг | vA м/с | τ с | R м | f | α град | β град | h0 см | c Н/см | определить |
0.5 | 2.0 | 2.0 | 0.20 | - | - | - | ||||
0.6 | 0.2 | 4.0 | 0.10 | - | - | H | ||||
0.4 | 2.0 | 0.2 | 0.15 | - | vD | |||||
0.2 | 0.5 | 1.0 | 0.10 | - | - | - | vD | |||
0.1 | 1.5 | 2.0 | 0.20 | - | - | - | - | |||
0.3 | 2.0 | 4.0 | 0.10 | vD | ||||||
0.4 | 1.0 | 1.0 | 0.10 | - | vD | |||||
0.2 | 0.5 | 1.5 | 0.15 | h | ||||||
0.5 | 1.5 | 4.0 | 0.25 | - | - | vD | ||||
0.4 | 0.1 | 0.5 | 0.10 | 0.2 | 0.2 | vD | ||||
0.2 | 1.0 | 1.0 | 0.30 | - | - | vD,h | ||||
0.4 | 0.4 | 2.0 | 0.20 | - | - | vD | ||||
0.3 | 0.1 | 1.0 | 0.10 | vD | ||||||
0.6 | 2.0 | 3.0 | 0.20 | - | - | s | ||||
0.1 | 0.1 | 1.0 | 0.15 | 0.2 | vD | |||||
0.4 | 0.2 | 2.0 | 0.40 | - | - | - | vD | |||
0.2 | 0.1 | 1.0 | 0.20 | - | 1.0 | vD | ||||
0.3 | 0.4 | 1.5 | 0.10 | - | - | - | - | |||
0.1 | 0.1 | 0.4 | 0.30 | 0.5 | vD | |||||
0.2 | 1.0 | 0.5 | 0.10 | - | 1.2 | h | ||||
0.7 | 0.3 | 0.3 | 0.20 | - | - | - | - | |||
0.4 | 0.2 | 0.2 | 0.40 | - | 1.1 | vD,h | ||||
0.6 | 0.4 | 0.2 | 0.20 | - | - | - | - | |||
0.5 | 0.5 | 0.6 | 0.30 | - | - | H | ||||
0.1 | 0.2 | 0.5 | 0.25 | - | 0.4 | vD | ||||
0.2 | 0.1 | 0.2 | 0.20 | - | - | - | vD | |||
0.8 | 0.2 | 0.4 | 0.15 | - | - | - | vD | |||
0.3 | 0.1 | 0.6 | 0.35 | 0.1 | vD | |||||
0.5 | 0.2 | 0.5 | 0.20 | 0.8 | vD | |||||
0.8 | 0.3 | 0.6 | 0.15 | - | - | - | tDE |
В задании приняты следующие обозначения: т — масса шарика; изначальная скорость шарика; τ — время движения шарика на участке АВ (в вариантах 1, 2, 5, 8, 14, 18, 20, 21, 23, 24, 27, 30) или на участке BD (в вариантах 3, 4, 6, 7, 9-13, 15-17, 19, 22, 25, 26, 28, 29); f- коэффициент
трения скольжения шарика по стенке трубки; h0 — начальная де
формация пружины;
h — наибольшее сжатие
пружины; с — коэффициент жесткости пружины; Н — наибольшая высота подъема
шарика; s — путь,
пройденный шариком до остановки.
Пример выполнения задания (рис. 138).Дано: т = 0,5 кг; vA = = 0,8 м/с;τ= 0,1 с(время движения на
участке BD); R = 0,2 м; f = 0,1; α = 60°; β = 30°; h0 =0; с = 10 Н/см =1000 Н/м.
Определить vB, vC, NC, vD,,h.
Решение. Для определения vB и vc применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки. Движение шарика на участках АС и АВ траектории происходит под действием силы тяжести G (силы трения на криволинейных участках не учитываем):
vB = 4,59 м/с;
или
vc = 4,26 м/с.
Определяем давление шарика на стенку канала в положении С.
В соответствии с принципом Даламбера для материальной точки геометрическая сумма сил, приложенных к точке, и силы инерции этой точки равна нулю:
Силу инерции материальной точки можно разложить на нормальную и касательную составляющие:
Сумма проекций сил на ось х должна быть равна нулю
Отсюда
или
N'c = 25,2 H.
Реакцию можно также определить с помощью естественного уравнения движения:
Отсюда
Искомое давление шарика на стенку трубки по числовому значению равно найденной реакции
и направлено в противоположную сторону.
Скорость шарика в положении D найдем, применив на участке BD теорему об изменении количества движения материальной точки (рис. 139):
К точке приложены сила тяжести G, реакция стенки трубки и силатрения F:
F=fN'=fG cosβ.
Так как
то
откуда
![]() |
= 4,01 м/с.
Для определения максимального сжатия h пружины воспользуемся на участке DE теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки:
Учитывая, что vE = 0 и H3 =
= h sinβ, получаем
или
h2 + 2Gh (sinβ+fcos β)/c -
Решая полученное квадратное уравнение относительно h, получим
h = (-0,003 ±0,090) м.
Принимаем в качестве искомой величины положительный корень квадратного уравнения:
h = -0,003 + 0,090 = 0,087 м.
Задание Д.9. Применениетеоремы об изменении