Находящейся под действием постоянных сил

Варианты 1 — 5 (рис. 117, схема 1). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол а с гори­зонтом, в течение т с. Его начальная скорость vA. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f

В точке В тело покидает плоскость со скоростью vB и попадает со скоростью Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru в точку С плоскости BD, наклоненной под углом β к гори­зонту, находясь в воздухе Т с.

При решении задачи тело принять за материальную точку; сопро­тивление воздуха не учитывать.

Вариант 1. Дано: α= 30°; vA = 0; / = 0,2; /=10 м; β= 60°. Определить х и h.

Вариант 2. Дано: α = 15°; vA = 2 м/с; f=0,2; h = 4 м; β = 45°. Опре­делить l и уравнение траектории точки на участке ВС.

Вариант 3. Дано: α = 30°; vA = 2,5 м/с; Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru ; l = 8 м; d = 10 м; β = 60°. Определить Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru и τ.

Вариант 4. Дано: vA = 0; τ = 2 с; l= 9,8 м; β= 60°; f= 0. Определить α и Т.

Вариант 5. Дано: α = 30°; vA = 0; l = 9,8 м; τ = 3 с, β= 45°. Определить f и Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Варианты 6—10 (рис. 117,схема 2). Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклоненного под углом а к горизонту и имеющего длину l, со скоростью vA. Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен/. Лыжник от Л до В движется х с; в точке В со скоростью vB он покидает трамплин. Через Т с лыжник приземляется со скоростью vc вточке С горы, составляющей угол β с горизонтом.

При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 6. Дано: α=200; f=0.1; τ=0.2 c; h=40м; β=300. Определить l и Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Вариант 7. Дано: α=150; f=0.1; Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru =16 м/c; l=5м; β=450. Определить Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru и Т.

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru


В а р и а и т 8. Дано: vA = 21 м/с; f= 0; τ= 0,3 с; vB = 20 м/с; β=600 Определить α и d.

Вариант 9. Дано: α = 15°; τ = 0,3 f=0,1; h=30 Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru м; β=45°. Определить vB и Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Вариант 10. Дано: α =15°;f=0; Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru = 12 м/с; d= 50 м; β = 60°. Определить т и уравнение траектории лыжника на участке ВС.

Варианты 11—15 (ряс. 117, схема 3). Имея в точке А скорость vA, мотоцикл поднимается т с по участку АВ длиной l, составляющему с горизонтом угол а. При постоянной на всем участке АВ движущей силе Р мотоцикл в точке В приобретает скорость vB и перелетает через ров шириной d, находясь в воздухе Тс и приземляясь в точке С со скоростью Vc Масса мотоцикла с мотоциклистом равна m.

При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать силы сопротивления движению.

Вариант 11. Дано: α= 30°; Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru ; l = 40 м; vA = 0$ vB = 4,5 м/с; d= 3 м. Определить τ и h;.

В а р и а и т 12. Дано: α = 30°; Р = 0; l = 40 м; vB = 4,5 м/с; h = 1,5 м. Определить vA и d.

Вариант 13. Дано: α = 30°; т = 400 кг, vA = 0; τ= 20 с; d = 3 м; h = 1,5 м. Определить Р и l.

Вариант 14. Дано: α = 30°; т = 400 кг; Р = 2,2 кН; vA = 0; l = 40 м; d=5м. Определить vB и Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Вариант 15. Дано: α = 30°; vA = 0; Р = 2 кН, l= 50 м; h= 2 м; d=4м. Определить Т и m.

Варианты 16—20 (рис. 117, схема 4). Камень скользит в течение τ с по участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l. Его начальная скорость vA. Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен f. Имея в точке В скорость vB, камень через Т с ударяется в точке С о вертикальную защитную стену. При решении задачи при­нять камень за материальную точку; сопротивление воздуха не учиты­вать.

Вариант 16. Дано: α = 30°; vA = 1 м/с; 1 = 3 м; f= 0,2; d = 2,5 м. Определить h и Т.

Вариант 17. Дано: α =45°; l = 6 м; vB = 2 vA; τ= 1с; h =6 м. Определить d и f.

Вариант 18. Дано: α = 30°; l = 2 м; vA = 0; f= 0,1; d=3 м. Определить

d и τ.

Вари а н т 19. Дано: α = 15°; l = 3 м; vB = 3 м/с; Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru ; τ=1,5 с; d= 2 м. Определить vA и h.

Вариант 20. Дано: а. = 45°, vA = 0; f= 0,3; d = 2 м; h = 4 м. Опре­делить

l и τ.

Варианты 21 — 25 (рис. 117, схема 5). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Его начальная скорость vA. Коэффициент трения скольжения равен f. Через τ с тело в точке В со скоростью vB покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью vc; при этом оно находится в воздухе Т с.

При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 21. Дано: α= 30°; f= 0,1; vA = 1 м/с; τ= 1,5 с; h = 10м Определить α и d

Вариант 22. Дано: vA = 0 α = 45°; l=10 м; τ= 2 с. Определить f и уравнение траектории на участке ВС.

Вариант 23. Дано: f=0; vA = 0; l = 9,81 м, τ= 2 с; h = 20 м. Опре­делить α и Т.

Вариант 24. Дано: vA = 0; α = 30°; f=0,2; l = 10 м; d = 12 м. Опре­делить τ и h.

В а р и а н т 25. Дано: vA = 0; α = 30°; f = 0,2; l = 6 м, h = 4,5 м. Опре­делить τ и vC.

Варианты 26—30 (рис. 117, схема 6).Имея в точке А скорость vA, тело движется по горизонтальному участку АВ длиной l в течение τ с. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. Со скоростью vB тело в точке В покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью vc, находясь в воздухе Т с. При решении задачи принять тело за мате­риальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 26. Дано: vA = 7 м/с; f= 0,2; l = 8 м; h = 20 м. Опреде­лить d и vC

Вариант 27. Дано: vA = 4 м/с; f = 0,1; τ= 2 с; d = 2 м. Определить vB и h.

Вариант 28. Дано: vB = 3 м/с; f = 0,3; l = 3 м; h = 5 м. Определить vA и Т.

В а р и а н т 29. Дано: vA = 3 м/с; vB = 1 м/с; l = 2,5 м; h = 20 м. Опре­делить f и d.

Вариант 30. Дано: f=0,25; l=4м; d = 3 м; h = 5 м. Определить vA и τ.

Пример выполнения задания (рис 118). В железнодорожных скальных выемках для защиты от кюветов от попадания в них с откосов каменных осыпей устраивается «полка» DC . Учитывая возможность движения камня из наивысшей точки А откоса и пологая при этом его начальную скорость Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru , определить наименьшую ширину полки b и скорость Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru , с которой камень падает на нее. По участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l, камень движется τ, с.

При решении задачи считать коэффициент трения скольжения f камня на участке АВ постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано: : vA = 0 м/с; α = 600; l = 4 м; h = 5 м; Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru ; τ=1 с; β=750. Определить b и vC

Решение. Рассмотрим движение камня на участке АВ. Принимая камень за материальную точку, покажем (рис 118) действующие на него силы: вес Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru , нормальную реакцию Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru и силу трения скольжения Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru . Составим дифференциальное уравнение движения камня на участке АВ:

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Сила трения

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

где

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Таким образом:

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

или

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Интегрируя дифференциальное уравнения дважды, получаем

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями задачи: при t=0; Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru и Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Составим уравнения, полученные при интегрировании, для t=0:

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru ; Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Найдем постоянные:

С1=0; С2=0

Тогда

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Для момента τ, когда камень покидает участок,

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

т.е

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

откуда

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

т.е.

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Рассмотрим движение камня от точки В до точки С.

Показав силу тяжести Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru , действующую на камень, составим дифференциальное уравнение его движения:

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Начальное ускорение задачи при t=0

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Интегрируем дифференциальные уравнения дважды:

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Напишем полученные уравнения для t=0;

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru ; Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Отсюда найдем, что

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Получим следующее уравнение скоростей камея:

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

И уравнение его движения:

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Уравнение траектории камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения. Определив t из первого уравнения и подставив его значение во второе, получаем уравнение параболы:

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

В момент падения Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Определяя d из уравнения траектории, найдем:

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Так как траекторией движения камня является ветвь параболы с положительными абсциссами ее точек, то d=2,11 м.

Минимальная ширина полки

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Используя уравнение движения камня Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru , найдем время Т движение камня от точки В до точки С:

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Скорость камня при падении найдем через проекции скорости на оси координат

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

по формуле

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Для момента падения t=T=0.53 c,

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru м/с

Задание Д.4. Исследование относительного движения материальной точки

Шарик М,рассматриваемый как материальная точка, перемещается по цилиндрическому каналу движущегося тела А (рис. 129—І31). Найти уравнение относительного движения этого шарика х =f (t), приняв за начало отсчета точку О.

Тело А равномерно вращается вокруг неподвижной оси (в вариантах 2, 3, 4, 7, 10, 11, 14, 20, 23, 26 и30 ось вращения z1 вертикальна, в ва­риантах 1, 12, 15 и 25 ось вращения x1горизонтальна). В вариантах 5, : 6, 8, 9, 13, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 24, 27, 28 и 29 тело А движется поступа­тельно, параллельно вертикальной плоскости y1O1z1.

Найти также координату х и давление шарика на стенку канала при заданном значении t = t1. Данные, необходимые для выполнения задания, приведены в табл. 40.

Таблица 40

№ вар α град m кг ω рад/с Начальные данные t1 c c н/см l0 м Уравнение движения тела А rh м f
x0 м v м/с
- 0,02 π 0,4 0,5 - - - -
- 0,02 π 0,2 0,4 - - - 0,15
0,03 0,5 0,2 - - - -
- 0,09 4 π 0,2 -0,8 0,1 0,36 0,15 - -
0,02 - 0,6 0,2 - - y1=0.6-2t3 (м) -
- 0,01 10 π 0,5 0,2 - - - 0,10
- 0,03 2 π 0,3 0,2 - - - 0,20
0,03 - 0,8 0,1 - - z1=0.1cos2πt (м) -
0,02 - 0,4 0,1 0,20 0,20 y1=4t3 (м) -
0,05 6 π 0,4 0,1 - - - -
0,05 π 0,4 - - - -
- 0,08 6 π 0,05 0,1 0,20 0,10 - -
- 0,01 - 0,5 0,2 - - z1=5-10t2 (м) - 0,1
- 0,05 4 π 0,5 0,1 - - - 0,20 0,2
- 0,01 π 0,5 1,0 - - - -
0,02 - 1,0 2,0 0,1 - - y1=0.06t3 (м) -
- 0,02 6 π 4,0 0,2 - - - 0,20
0,02 - 0,6 0,1 - - y1=0.1sinπt (м) -
- 0,08 - 0,4 -0,8 0,1 0,40 0,20 y1=8t-t3 (м) -
- 0,01 10 π 0,1 0,2 0,20 0,10 - -
0,05 - 0,5 0,1 0,1 - - y1=2+t2 (м) - 0,2
- 0,03 4 π 0,1 3,0 0,1 - - - 0,10
- 0,01 2 π -0,5 -0,1 0,2 - - - -
0,01 - 0,2 0,2 - - y1=0.1cos1.5πt (м) -
- 0,05 2 π 0,1 -0,4 0,1 0,20 0,20 - -
- 0,09 π 0,2 0,3 0,1 0,20 0,1 - -
0,02 - 1,0 0,6 0,3 - - z1=0.1sin0.5πt( м) -
- 0,03 - 0,8 0,3 - - y1=8-5t3 (м) - 0,1
0,10 - 0,4 1,0 0,1 0,20 0,20 y1=8+t3 (м) -
0,02 π/2 0,5 0,2 - - - 0,50

В задании приняты следующие обозначения: т — масса шарика М; со — постоянная угловая скорость тела А (в вариантах 1—4, 7, 10—12, 14, 15, 20, 23, 25, 26, 30) или кривошипов ОВ и 02С (в вариантах 6, 17, 22); с — коэффициент жесткости пружины, к которой прикреплен шарик М; /0 — длина недеформированной пружины;/— коэффициент трения скольже­ния шарика по стенке канала; х0, х0 — начальная координата и проекция начальной скорости на ось х.

Пример выполнения задания (рис. 132). Дано: α= 30°, ω= я рад/с; т = 0,01 кг; τ= 0,2 с; х0= 0,3 м; х0 = 2 м/с; с = 1 Н/м; l0 = 0,2 м; r= 0,2 м.

Найти уравнение х = х (г) относительного движения шарика М, а также координату х1 и давление шарика на стенку канала при заданном t = t1.

Р е ш е и и е. Свяжем подвижную систему отсчета Oxyz с вращающимся каналом (трубкой), совместив ось х с траекторией относительного дви­жения шарика М.

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Вращение этой системы вокруг оси z1 является переносным движением для шарика М. Относительным движением шарика М является его дви­жение вдоль трубки. В том случае, когда переносное движение является

равномерным вращением, относи­тельное движение точки определяется уравнением

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

К шарику М приложены силы: вес G, реакция пружины Р и нор­мальная реакция стенки трубки: эту реакцию можно разложить на две взаимно перпендикулярные составля­ющие N} и N2.

Присоединяем к силам, действую­щим на шарик М, переносную цент­робежную силу инерции Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru и кори-олисову силу инерции Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru , направ­ленные противоположно ускорениям ft" и ас. Направление ускорения ас найдем по известному правилу. Предположим, что направление от­носительной скорости vr точки М совпадает с положительным направлением оси х. В этом случае кориолисова сила инерции Фс перпендику­лярна плоскости xOz и направлена, как показано на рис. Т32. Модули сил инерции определяются по формулам

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

где

ωе = ω, vr = | х |.

Основное уравнение относительного движения точки М в данном случае имеет вид

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru (1)

Составим дифференциальное уравнение относительного движения ша­рика М вдоль оси х:

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

(реакция пружины Р равна произведению коэффициента жесткости на деформацию пружины).

Последнее уравнение представим в виде

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru (2)

Общее решение полученного дифференциального уравнения (2) имеет вид

X = X* + X**,

где х* — общее решение соответствующего однородного уравнения: х** — частное решение уравнения (2).

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru = -9.876J.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид

х* = С1 cos 9,876t + C2 sin 9,876t.

Частное решение уравнения (2) находим в форме

х** = В.

Из дифференциального уравнения (2) находим

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

В результате вычислений получаем

В = 0,128 м.

Решение дифференциального уравнения (2) относительного движения 1
шарика М получает вид

х = С1 cos 9,876t + С2 sin 9,876t + 0,128. (3)

Скорость этого движения

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru (4)

Постоянные Ct и С2 определяем, используя начальные условия:

при t = 0 х0 = 0,3 м, х0 = 2,0 м/с.

Составим уравнения (3) и (4) для г = 0:

х0 = С1 + 0,128; Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru = 9,876С2,

откуда

C1 = 0,172; С2 = 0,202.

Уравнение относительного движения шарика М принимает вид х = 0,172 cos 9,876t + 0,202 sin 9,876t + 0,128.

Скорость относительного движения Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Для определения составляющих реакции стенки трубки N1 и N2 при

t = t1 = 0,2 с выразим векторное уравнение (1) в проекциях на оси у и z. Учитывая, что вектор Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru ,перпендикулярен этим осям, получаем

0 = N2с, Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Из этих уравнений находим

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Для получения числовых значений N1 и N2 необходимо определить координату x1 проекцию относительной скорости точки Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru соответ­ствующие значению t1= 0,2 с:

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Следовательно, составляющие реакции Nx = 0,077 H; N2 = 0,080 H. Реакция стенки трубки

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Искомое давление шарика М на стенки трубки по числовому значе­нию равно найденной реакции N и направлено в противоположную сто­рону.

Задание Д.6. Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки

Шарик, принимаемый за материальную точку, движется из положения А внутри трубки, ось которой расположена в вертикальной плоскости (рис. 135-137). Найти скорость шарика в положениях В и С и давление шарика на стенку трубки в положении С. Трением на криволинейных участках траектории пренебречь. В вариантах 3, 6, 7, 10, 13, 15, 17, 19, 25, 28, 29 шарик, пройдя путь h0, отделяется от пружины.

Необходимые для решения данные приведены в табл. 42.

Таблица 42

№ вар m. кг vA м/с τ с R м f α град β град h0 см c Н/см определить
0.5 2.0 2.0 0.20 - - -
0.6 0.2 4.0 0.10 - - H
0.4 2.0 0.2 0.15 - vD
0.2 0.5 1.0 0.10 - - - vD
0.1 1.5 2.0 0.20 - - - -
0.3 2.0 4.0 0.10 vD
0.4 1.0 1.0 0.10 - vD
0.2 0.5 1.5 0.15 h
0.5 1.5 4.0 0.25 - - vD
0.4 0.1 0.5 0.10 0.2 0.2 vD
0.2 1.0 1.0 0.30 - - vD,h
0.4 0.4 2.0 0.20 - - vD
0.3 0.1 1.0 0.10 vD
0.6 2.0 3.0 0.20 - - s
0.1 0.1 1.0 0.15 0.2 vD
0.4 0.2 2.0 0.40 - - - vD
0.2 0.1 1.0 0.20 - 1.0 vD
0.3 0.4 1.5 0.10 - - - -
0.1 0.1 0.4 0.30 0.5 vD
0.2 1.0 0.5 0.10 - 1.2 h
0.7 0.3 0.3 0.20 - - - -
0.4 0.2 0.2 0.40 - 1.1 vD,h
0.6 0.4 0.2 0.20 - - - -
0.5 0.5 0.6 0.30 - - H
0.1 0.2 0.5 0.25 - 0.4 vD
0.2 0.1 0.2 0.20 - - - vD
0.8 0.2 0.4 0.15 - - - vD
0.3 0.1 0.6 0.35 0.1 vD
0.5 0.2 0.5 0.20 0.8 vD
0.8 0.3 0.6 0.15 - - - tDE

В задании приняты следующие обозначения: т — масса шарика; изначальная скорость шарика; τ — время движения шарика на участке АВ (в вариантах 1, 2, 5, 8, 14, 18, 20, 21, 23, 24, 27, 30) или на участке BD (в вариантах 3, 4, 6, 7, 9-13, 15-17, 19, 22, 25, 26, 28, Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru 29); f- коэффициент

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru


Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru трения скольжения ша­рика по стенке труб­ки; h0 — начальная де­
формация пружины;
h — наибольшее сжатие
пружины; с — коэффи­циент жесткости пру­жины; Н — наиболь­шая высота подъема
шарика; s — путь,

пройденный шариком до остановки.

Пример выполнения задания (рис. 138).Да­но: т = 0,5 кг; vA = = 0,8 м/с;τ= 0,1 с(время движения на

участке BD); R = 0,2 м; f = 0,1; α = 60°; β = 30°; h0 =0; с = 10 Н/см =1000 Н/м.

Определить vB, vC, NC, vD,,h.

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Решение. Для определения vB и vc применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки. Движение шарика на участках АС и АВ траектории происходит под действием силы тяжести G (силы трения на криволинейных участках не учитываем):

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

vB = 4,59 м/с;

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

или

vc = 4,26 м/с.

Определяем давление шарика на стенку канала в положении С.

В соответствии с принципом Даламбера для материальной точки геометрическая сумма сил, приложенных к точке, и силы инерции этой точки равна нулю:

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Силу инерции материальной точки можно разложить на нормальную и касательную составляющие:

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Сумма проекций сил Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru на ось х должна быть равна нулю

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Отсюда

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

или

N'c = 25,2 H.

Реакцию Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru можно также определить с помощью естественного уравнения движения:

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Отсюда

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Искомое давление Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru шарика на стенку трубки по числовому значе­нию равно найденной реакции Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru и направлено в противоположную сторону.

Скорость шарика в положении D найдем, применив на участке BD теорему об изменении количества движения материальной точки (рис. 139):

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

К точке приложены сила тяжести G, реакция стенки трубки Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru и силатрения F:

F=fN'=fG cosβ.

Так как

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

то

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

откуда

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru = 4,01 м/с.

Для определения максималь­ного сжатия h пружины вос­пользуемся на участке DE тео­ремой об изменении кинетиче­ской энергии материальной точ­ки:

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Учитывая, что vE = 0 и H3 =

= h sinβ, получаем

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru

Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru Находящейся под действием постоянных сил - student2.ru или

h2 + 2Gh (sinβ+fcos β)/c -

Решая полученное квадратное уравнение относительно h, получим

h = (-0,003 ±0,090) м.

Принимаем в качестве искомой величины положительный корень квадратного уравнения:

h = -0,003 + 0,090 = 0,087 м.

Задание Д.9. Применениетеоремы об изменении

Наши рекомендации