Задачи и упражнения по алгебре и геометрии

(Контрольная работа № 1 «Элементы алгебры и геометрии»)

В задачах 1-20 решить систему трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

В задачах 21-25 дана невырожденная (неособая) матрица А. Требуется: 1) найти обратную матрицу А^-1; 2) пользуясь правилом умножения матриц, показать, что А^.А^-1=Е, где Е – единичная матрица.

21. 22.

23. 24.

25.

В задачах 26-35 данную систему уравнений записать в матричной форме и затем решить с помощью обратной матрицы.

26. 27.

28. 29.

30. 31.

32. 33.

34. 35.

В задачах 36-40 исследовать данную систему уравнений на совместимость и решать ее, если она совместна.

36. 37.

38. 39.

40.

В задачах 41-45 составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от данной точки А (х₁,у₁) и данной прямой у=b. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.

41. А (2,5), у=1. 42. А (3,-4), у=2.

43. А (-4,3), у=-1. 44. А (-2,-3), у=-1.

45. А (1,-1), у=3.

В задачах 46-50 составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А (х₁,у₁) и данной прямой у=а. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.

46. А (6,0), х=1,5, e=2.

47. А (3,0), х= , e=1,5.

48. А (10,0), х=2,5, e=2.

49. А (2,0), х=4,5, e=2/3.

50. А (3,0), х=12, e=0,5.

В задачах 51-55 даны координаты точек А (х₁;у₁) и В (х₂;у₂) и радиус окружности R, центр которой находится в начале координат. Требуется: 1) составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через данные точки А и В; 2) найти полуоси, фокусы и эксцентриситет этого эллипса; 3) найти все точки пересечения эллипса с данной окружностью; 4) построить эллипс и окружность.

51. А (4;-1), В (2; ), R= .

52. А (-8;4), В ( ;-2), R= .

53. А ( ;-2), В (-3; ), R=3.

54. А (-6; ), В ( ;6), R=8.

55. А ( ;-4), В (6; ), R= .

В задачах 56-60 даны координаты точек А (х₁;у₁) и В (х₂;у₂). Требуется: 1) составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные точки А и В, если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс; 2) найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы; 3) найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы; 4) построить гиперболу, ее асимптоты и окружность.

56.А (-3;4), В (-5; ).

57.А (4;-6), В (6; ).

58.А (-4;-3), В (8;9).

59.А (8;12), В (-6; ).

60.А (8;6), В (10; ).

В задачах 61-80 даны координаты вершин пирамиды АВСD. Требуется: 1) записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами ; 3) найти проекцию вектора на вектор ; 4) найти площадь грани АВС; 5) найти объем пирамиды АВСD.

61. А (2;-3;1), В (6;1;-1), С (4;8;-9), D (2;-1;2).

62. А (5;-1;-4), В (9;3;-6), С (7;10;-14), D (5;1;-3).

63. А (1;-4;0), В (5;0;-2), С (3;7;-10), D (1;-2;1).

64. А (-3;-6;2), В (1;-2;0), С (-1;5;-8), D (-3;-4;3).

65. А (-1;1;-5), В (3;5;-7), С (1;12;-15), D (-1;3;-4).

66. А (-4;2;-1), В (0;6;-3), С (-2;13;-11), D (-4;4;0).

67. А (0;4;3), В (4;8;1), С (2;15;-7), D (0;6;4).

68. А (-2;0;-2), В (2;4;-4), С (0;11;-12), D (-2;2;-1).

69. А (3;3;-3), В (7;7;-5), С (5;14;-13), D (3;5;-2).

70. А (4;-2;5), В (8;2;3), С (6;9;-5), D (4;0;6).

71. А (-5;0;1), В (-4;-2;3), С (6;2;11), D (3;4;9).

72. А (1;-4;0), В (2;-6;2), С (12;-2;10), D (9;0;8).

73. А (-1;-2;-8), В (0;-4;-6), С (10;0;2), D (7;2;0).

74. А (0;2;-10), В (1;0;-8), С (11;4;0), D (8;6;-2).

75. А (3;1;-2), В (4;-1;0), С (14;3;8), D (11;5;6).

76. А (-8;3;-1), В (-7;1;1), С (3;5;9), D (0;7;7).

77. А (2;-1;-4), В (2;-3;-2), С (13;1;6), D (10;3;4).

78. А (-4;5;-5), В (-3;3;-3), С (7;7;5), D (4;9;3).

79. А (-2;-3;2), В (-1;-5;4), С (9;-1;12), D (6;1;10).

80. А (-3;4;-3), В (-2;2;-1), С (8;6;7), D (5;8;5).

В задачах 81-90 даны координаты точек А, В и С. Требуется: 1) составить каноническое уравнение прямой АВ; 2) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ и точку пересечения этой плоскости с прямой АВ; 3) найти расстояние от точки С до прямой АВ.

81. А (3;-1;5), В (7;1;1), С (4;-2;1).

82. А (-1;2;3), В (3;4;-1), С (0;1;-1).

83. А (2;-4;7), В (6;-1;3), С (3;-4;3).

84. А (0;-2;6), В (4;0;2), С (1;-8;2).

85. А (-3;1;2), В (1;3;-2), С (-2;0;-2).

86. А (-2;3;1), В (2;5;-3), С (-1;2;-3).

87. А (-4;0;8), В (0;2;4), С (-3;-1;4).

88. А (1;4;0), В (5;6;-4), С (2;3;-4).

89. А (4;-4;9), В (8;-2;5), С (5;-5;5).

90. А (5;5;4), В (9;7;0), С (6;4;0).

В задачах 91-100 даны координаты точек А, В, С и М.

Найти: 1) уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В и С; 2) канонические уравнения прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q; 3) точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями хОу, хОz, уОz; 4) расстояние от точки М плоскости Q.

91. А (-3;-2;-4), В (-4;2;-7), С (5;0;3), М (-1;3;0).

92. А (2;-2;1), В (-3;0;-5), С (0;-2;-1), М (-3;4;2).

93. А (5;4;1), В (-1;-2;-2), С (3;-2;2), М (-5;5;4).

94. А (3;6;-2), В (0;2;-3), С (1;-2;0), М (-7;6;6).

95. А (1;-4;1), В (4;4;0), С (-1;2;-4), М (-9;7;8).

96. А (4;6;-1), В (7;2;4), С (-2;0;-4), М (3;1;-4).

97. А (0;6;-5), В (8;2;5), С (2;6;-3), М (5;0;-6).

98. А (-2;4;-6), В (0;-6;1), С (4;2;1), М (7;-1;-8).

99. А (-4;-2;-5), В (1;8;-5), С (0;4;-4), М (9;-2;-10).

100. А (3;4;-1), В (2;-4;2), С (5;6;0), М (11;-3;-12).