Билет1 (ФНП:предел и непрерывность)
Билет1 (ФНП:предел и непрерывность)
U=f(x,y) (
) δ-окр
Зафиксируем у и придадим х приащение ∆х х- U-приращение
U=f(
+
,
)- f(
)
x-фикс, у-∆у=>∆yU=f( +∆y)- f(
)
если же х и у получат приращение, тогда мы получим полное приращение
U=f(
+
,
+∆у)- f(
)
Опр:Число А наз-ся пределом ф-и U(x;y) в (.) при стремлении точки х,у в (.) х0,у0 прооизвольным образом, если для всех Е>0 существует ∆>0:
<∆ => f(x,y)=f(
)<E
Опр:ф-я U=f(x,y) называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке, и ее окрестности и
= f(
)
Опр:ф-я U непрерывна на множество Д, если она непрерывна в каждой точке этого множества
Св-ва непрерывной ф-и одного переменного без изменений переносится в данном случае
Билет2(ЧП фнп 1-го и высших порядков)
Опр:производная f( ) ф-и по переменной х в точке
наз-ся ЧП по х от ф-и f(x,y) в точке
=
=
Опр:ЧП от прозводных ,
наз-сячп второго порядка
(
)=
(
)=
Смешанные ЧП: Теорема:если ф-я z=f(x,y) и
определены и непрерывны, то
=
, т.е результат дифференцирования не зависит от пордка дифференцирования
ЧП порядка n это ЧП от порядка (n-1)
Билет3 (дифференциал фнп 1-го и высших порядков)
Опр:ф-я z=f(x,y) в точке наз-ся дифференцируемой в М(х,у), если ее приращение в данной точке можно представить в виде ∆z=A∆x+B∆y+ (∆x,∆y)∆x+
(∆x,∆y)∆y, где АиВ то числа независящие от ∆x,∆y соответственно
-это БМВ
Дифференциалом ф-ии I-го порядка наз-ся гл.линейная часть е приращения. Это выражение так же наз-ся полным дифференциалом ф-ии z.
∆z=A∆x+B∆y-полный дифференциал
Т:если ф-я z=f(x,y) дифференциуема в точке (х,у), то z имеет ЧП и А= (x,y)
B= (x,y)
dz= dx+
dy
Т2:если ф-я z дифференцируема в точке (х,у), то она непрерывна в данной точке
Опр:полным дифференциалом 2-го порядка ф-и z наз-ся дифференциал ее дифференциала 1-го порядка т.е =d(dz)
z=
+2
+
∂
z=
(z)
Билет4(дифференцирование сложных фнп(с док-вом), дифференциал сложной фнп)
Теорема:Если ф-ии x(t), y(t) – диф-мы в точке t, а ф-я U – диф-ма вв точке (х,у), то ф-я U=(x(t);у(t)) диф-ма в точке t и =
*
+
*
=
*
+
*
Док-во:
Пусть z=z(x,y), где x=x(u,v), y=y(u,v)
=
+
=
+
Правило: производная от сложной ф-ии по каждой независимой переменной, есть сумма произведений. ЧП по всем ее промежуточным переменным на производные последних по независимой переменной
Теорема(инвариантность формы полного дифференциала сложной фнп)
Пусть ф-я z=z(u,v), где u=u(x,y) v=v(x,y) => dz= du+
dv
Док-во т.к z=z(u(x,y);v(x,y))=z(x,y) тогда dz= dz= dx+
dy
=
+
=
+
dz= +
)dx+(
=
+
)dy=
+
dy)+
(
dx+
dy)=
Билет5 (производная неявной фнп)
Теорема если ур-ие F( обращается в тождество в точке (
и если в некоторой окрестности этой точки ф-я F непрерывна и имеет непрерывные ЧП при этом
то данное ур-ие имеет в окрестности этой точки единственное решение u=f(
. При этом ф-я F(
непрерывна и имеет непрерывные ЧП
Док-во: пусть условие этой теоремы выполнены =) подставляя вместо переменной U ф-ию f получаем тождество F( =)полный дифференциал ф-ии F будет равен 0. dF(
т.е
dx+
d
+…+
du=0 =) dU=(
/(-
)dx+(
)d
+…+(
)d
dz= d
+
d
d
=-
…
=
1)F(x,y)=0; т.е y=y(x) =-
2)F(x,y.z)=0 т.е z=z(x,y,z) =-
=-
Билет7(двойные интегралы:опр, их св-ва и вычисления)
Свойства двойных интегралов
1. Линейное свойство
.
2. Если функции f (x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то их алгебраическая сумма также интегрируема в этой области и
3. Аддитивное свойство по области интегрирования
.
4. Теорема о среднем. Если функция f (x, y) непрерывна в области D, то в этой области найдется такая точка ( ξ; μ), что
,
где s — площадь фигуры D.
В двойных интегралах.
Ф-ии х; у однозначные и непрерывные на S.
Пусть x=x(u;v) y=y(u;v)
При замене «х» и «у» на «u» и «v» область S переходит в S’, тогда
Где
Для двойных интегралов часто используется переход от декартовых к полярным координатам
тогда
Переход от декартовых координат к полярным целесообразен, если область интегрирования-часть круга.
В тройных интегралах
Пусть x=x(u;v;w) y=y(u;v;w) z=z(u;v;w) -однозначны и непрерывны, вместе с ЧП на области S
Наиболее распр. заменами в тройном интеграле являются:
1) Переход к цилиндрическим координатам:
Переход к цилиндрическим координатам целесообразен, если область интегрирования-часть циллинра, или сечения плоскостями, параллельными одной из координатных плоскостей есть часть круга, или круг
2) Переход к сферическим координатам
Свойства рядов Тейлора.
1. Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.
2. Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации ( приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.
Ряд Маклорена (=Макларена) это ряд Тейлора в окрестности точки а=0.
Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=0:
При использовании рядов, называемых рядами Маклорена (=Макларена), смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.
Теорема Маклорена (ряд Маклорена (=Макларена)) имеет вид:
1) , где f(x) - функция, имеющая при а=0 производные всех порядков. Rn - остаточный член в ряде Маклорена (=Макларена) (Тейлора при а=0)определяется выражением
2)
k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой
Билет1 (ФНП:предел и непрерывность)
U=f(x,y) (
) δ-окр
Зафиксируем у и придадим х приащение ∆х х- U-приращение
U=f(
+
,
)- f(
)
x-фикс, у-∆у=>∆yU=f( +∆y)- f(
)
если же х и у получат приращение, тогда мы получим полное приращение
U=f(
+
,
+∆у)- f(
)
Опр:Число А наз-ся пределом ф-и U(x;y) в (.) при стремлении точки х,у в (.) х0,у0 прооизвольным образом, если для всех Е>0 существует ∆>0:
<∆ => f(x,y)=f(
)<E
Опр:ф-я U=f(x,y) называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке, и ее окрестности и
= f(
)
Опр:ф-я U непрерывна на множество Д, если она непрерывна в каждой точке этого множества
Св-ва непрерывной ф-и одного переменного без изменений переносится в данном случае
Билет2(ЧП фнп 1-го и высших порядков)
Опр:производная f( ) ф-и по переменной х в точке
наз-ся ЧП по х от ф-и f(x,y) в точке
=
=
Опр:ЧП от прозводных ,
наз-сячп второго порядка
(
)=
(
)=
Смешанные ЧП: Теорема:если ф-я z=f(x,y) и
определены и непрерывны, то
=
, т.е результат дифференцирования не зависит от пордка дифференцирования
ЧП порядка n это ЧП от порядка (n-1)
Билет3 (дифференциал фнп 1-го и высших порядков)
Опр:ф-я z=f(x,y) в точке наз-ся дифференцируемой в М(х,у), если ее приращение в данной точке можно представить в виде ∆z=A∆x+B∆y+ (∆x,∆y)∆x+
(∆x,∆y)∆y, где АиВ то числа независящие от ∆x,∆y соответственно
-это БМВ
Дифференциалом ф-ии I-го порядка наз-ся гл.линейная часть е приращения. Это выражение так же наз-ся полным дифференциалом ф-ии z.
∆z=A∆x+B∆y-полный дифференциал
Т:если ф-я z=f(x,y) дифференциуема в точке (х,у), то z имеет ЧП и А= (x,y)
B= (x,y)
dz= dx+
dy
Т2:если ф-я z дифференцируема в точке (х,у), то она непрерывна в данной точке
Опр:полным дифференциалом 2-го порядка ф-и z наз-ся дифференциал ее дифференциала 1-го порядка т.е =d(dz)
z=
+2
+
∂
z=
(z)