Билет1 (ФНП:предел и непрерывность)

Билет1 (ФНП:предел и непрерывность)

U=f(x,y) ( ) δ-окр

Зафиксируем у и придадим х приащение ∆х х- U-приращение

U=f( + , )- f( )

x-фикс, у-∆у=>∆yU=f( +∆y)- f( )

если же х и у получат приращение, тогда мы получим полное приращение

U=f( + , +∆у)- f( )

Опр:Число А наз-ся пределом ф-и U(x;y) в (.) при стремлении точки х,у в (.) х0,у0 прооизвольным образом, если для всех Е>0 существует ∆>0: <∆ => f(x,y)=f( )<E

Опр:ф-я U=f(x,y) называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке, и ее окрестности и = f( )

Опр:ф-я U непрерывна на множество Д, если она непрерывна в каждой точке этого множества

Св-ва непрерывной ф-и одного переменного без изменений переносится в данном случае

Билет2(ЧП фнп 1-го и высших порядков)

Опр:производная f( ) ф-и по переменной х в точке наз-ся ЧП по х от ф-и f(x,y) в точке

=

=

Опр:ЧП от прозводных , наз-сячп второго порядка

( )= ( )=

Смешанные ЧП: Теорема:если ф-я z=f(x,y) и определены и непрерывны, то = , т.е результат дифференцирования не зависит от пордка дифференцирования

ЧП порядка n это ЧП от порядка (n-1)

Билет3 (дифференциал фнп 1-го и высших порядков)

Опр:ф-я z=f(x,y) в точке наз-ся дифференцируемой в М(х,у), если ее приращение в данной точке можно представить в виде ∆z=A∆x+B∆y+ (∆x,∆y)∆x+ (∆x,∆y)∆y, где АиВ то числа независящие от ∆x,∆y соответственно -это БМВ

Дифференциалом ф-ии I-го порядка наз-ся гл.линейная часть е приращения. Это выражение так же наз-ся полным дифференциалом ф-ии z.

∆z=A∆x+B∆y-полный дифференциал

Т:если ф-я z=f(x,y) дифференциуема в точке (х,у), то z имеет ЧП и А= (x,y)

B= (x,y)

dz= dx+ dy

Т2:если ф-я z дифференцируема в точке (х,у), то она непрерывна в данной точке

Опр:полным дифференциалом 2-го порядка ф-и z наз-ся дифференциал ее дифференциала 1-го порядка т.е =d(dz)

z= +2 + ∂

z= (z)

Билет4(дифференцирование сложных фнп(с док-вом), дифференциал сложной фнп)

Теорема:Если ф-ии x(t), y(t) – диф-мы в точке t, а ф-я U – диф-ма вв точке (х,у), то ф-я U=(x(t);у(t)) диф-ма в точке t и = * + * = * + *

Док-во:

Пусть z=z(x,y), где x=x(u,v), y=y(u,v)

= +

= +

Правило: производная от сложной ф-ии по каждой независимой переменной, есть сумма произведений. ЧП по всем ее промежуточным переменным на производные последних по независимой переменной

Теорема(инвариантность формы полного дифференциала сложной фнп)

Пусть ф-я z=z(u,v), где u=u(x,y) v=v(x,y) => dz= du+ dv

Док-во т.к z=z(u(x,y);v(x,y))=z(x,y) тогда dz= dz= dx+ dy

= +

= +

dz= + )dx+( = + )dy= + dy)+ ( dx+ dy)=

Билет5 (производная неявной фнп)

Теорема если ур-ие F( обращается в тождество в точке ( и если в некоторой окрестности этой точки ф-я F непрерывна и имеет непрерывные ЧП при этом то данное ур-ие имеет в окрестности этой точки единственное решение u=f( . При этом ф-я F( непрерывна и имеет непрерывные ЧП

Док-во: пусть условие этой теоремы выполнены =) подставляя вместо переменной U ф-ию f получаем тождество F( =)полный дифференциал ф-ии F будет равен 0. dF( т.е dx+ d +…+ du=0 =) dU=( /(- )dx+( )d +…+( )d

dz= d + d d

=- … =

1)F(x,y)=0; т.е y=y(x) =-

2)F(x,y.z)=0 т.е z=z(x,y,z) =- =-

Билет7(двойные интегралы:опр, их св-ва и вычисления)

Свойства двойных интегралов

1. Линейное свойство

.

2. Если функции f (x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то их алгебраическая сумма также интегрируема в этой области и

3. Аддитивное свойство по области интегрирования

.

4. Теорема о среднем. Если функция f (x, y) непрерывна в области D, то в этой области найдется такая точка ( ξ; μ), что

,

где s — площадь фигуры D.

В двойных интегралах.

Ф-ии х; у однозначные и непрерывные на S.

Пусть x=x(u;v) y=y(u;v)

При замене «х» и «у» на «u» и «v» область S переходит в S’, тогда

Где

Для двойных интегралов часто используется переход от декартовых к полярным координатам

тогда

Переход от декартовых координат к полярным целесообразен, если область интегрирования-часть круга.

В тройных интегралах

Пусть x=x(u;v;w) y=y(u;v;w) z=z(u;v;w) -однозначны и непрерывны, вместе с ЧП на области S

Наиболее распр. заменами в тройном интеграле являются:

1) Переход к цилиндрическим координатам:

Переход к цилиндрическим координатам целесообразен, если область интегрирования-часть циллинра, или сечения плоскостями, параллельными одной из координатных плоскостей есть часть круга, или круг

2) Переход к сферическим координатам

Свойства рядов Тейлора.

1. Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.

2. Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации ( приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.

Ряд Маклорена (=Макларена) это ряд Тейлора в окрестности точки а=0.

Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=0:

При использовании рядов, называемых рядами Маклорена (=Макларена), смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

Теорема Маклорена (ряд Маклорена (=Макларена)) имеет вид:

1) , где f(x) - функция, имеющая при а=0 производные всех порядков. R_n - остаточный член в ряде Маклорена (=Макларена) (Тейлора при а=0)определяется выражением

2)

k-тый коэффициент (при х_k) ряда определяется формулой

Билет1 (ФНП:предел и непрерывность)

U=f(x,y) ( ) δ-окр

Зафиксируем у и придадим х приащение ∆х х- U-приращение

U=f( + , )- f( )

x-фикс, у-∆у=>∆yU=f( +∆y)- f( )

если же х и у получат приращение, тогда мы получим полное приращение

U=f( + , +∆у)- f( )

Опр:Число А наз-ся пределом ф-и U(x;y) в (.) при стремлении точки х,у в (.) х0,у0 прооизвольным образом, если для всех Е>0 существует ∆>0: <∆ => f(x,y)=f( )<E

Опр:ф-я U=f(x,y) называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке, и ее окрестности и = f( )

Опр:ф-я U непрерывна на множество Д, если она непрерывна в каждой точке этого множества

Св-ва непрерывной ф-и одного переменного без изменений переносится в данном случае

Билет2(ЧП фнп 1-го и высших порядков)

Опр:производная f( ) ф-и по переменной х в точке наз-ся ЧП по х от ф-и f(x,y) в точке

=

=

Опр:ЧП от прозводных , наз-сячп второго порядка

( )= ( )=

Смешанные ЧП: Теорема:если ф-я z=f(x,y) и определены и непрерывны, то = , т.е результат дифференцирования не зависит от пордка дифференцирования

ЧП порядка n это ЧП от порядка (n-1)

Билет3 (дифференциал фнп 1-го и высших порядков)

Опр:ф-я z=f(x,y) в точке наз-ся дифференцируемой в М(х,у), если ее приращение в данной точке можно представить в виде ∆z=A∆x+B∆y+ (∆x,∆y)∆x+ (∆x,∆y)∆y, где АиВ то числа независящие от ∆x,∆y соответственно -это БМВ

Дифференциалом ф-ии I-го порядка наз-ся гл.линейная часть е приращения. Это выражение так же наз-ся полным дифференциалом ф-ии z.

∆z=A∆x+B∆y-полный дифференциал

Т:если ф-я z=f(x,y) дифференциуема в точке (х,у), то z имеет ЧП и А= (x,y)

B= (x,y)

dz= dx+ dy

Т2:если ф-я z дифференцируема в точке (х,у), то она непрерывна в данной точке

Опр:полным дифференциалом 2-го порядка ф-и z наз-ся дифференциал ее дифференциала 1-го порядка т.е =d(dz)

z= +2 + ∂

z= (z)