Общее решение и общий интеграл

Начальные условия , будучи набором из чисел, задают точку пространства . Множество всех рассматриваемых вариантов начальных условий образует некоторую область .

Для различных видов ограничений на функцию и на область имеет место существование и единственность решения задачи Коши для начальных условий из . Приведем примеры соответствующих теорем.

I. Пусть уравнение 1-го порядка является разрешённым относительно производной :

.

Теорема 1.Если функция и ее частная производная непрерывны в области плоскости , то решение задачи Коши для любых начальных условий существует и единственно в некоторой окрестности точки .

II. Пусть уравнение -го порядка является разрешённым относительно старшей производной :

.

Теорема 2.Если функция и ее частные производные непрерывны в области -мерного пространства , то решение задачи Коши для любых начальных условий существует и единственно в некоторой окрестности точки .

В дальнейшем будем предполагать, что дифференциальные уравнения рассматриваются в области существования и единственности решения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения -го порядка называется функция , зависящая от аргумента и от произвольных постоянных , которая удовлетворяет двум условиям:

1) при любых значениях произвольных постоянных эта функция является решением;

2) за счет выбора значений произвольных постоянных можно получить решение задачи Коши для любых начальных условий из области существования и единственности решения.

Заметим, что количество произвольных постоянных равно порядку уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется функция, которая получается из общего решения, если произвольным постоянным придать определенные значения.

Напомним определение неявной функции: функция в окрестности точки , задана неявно уравнением , если при всех из этой окрестности справедливо равенство .

Обычное, «явное» задание функции можно рассматривать как частный случай неявного: ; здесь .

Определение. Общим интегралом дифференциального уравнения -го порядка называется уравнение

, (3)

зависящее от произвольных постоянных , которое задает общее решение как неявную функцию.

Определение. Частным интегралом называется уравнение, которое получается из общего интеграла (3), если произвольным постоянным придать определенные значения.

Замечание. В тех случаях, когда удается найти решение дифференциального уравнения, оно имеет, как правило, вид общего интеграла (3). Если при этом можно явно выразить через («разрешить уравнение относительно »), то приходим к общему решению.

МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

Определение. Уравнением с разделенными переменными называетсядифференциальное уравнение первого порядка вида

, (4)

с непрерывными функциями и

Смысл этого термина заключается в том, что переменные и разделены по разным частям равенства (4).

Напомним, что, согласно определению, дифференциал функции есть произведение производной на дифференциал независимой переменной: . Если умножить обе части равенства (4) на , получим:

. (5)

Это другой, более традиционный способ записи уравнения с разделенными переменными.

Теорема. Если в уравнении (5) функции и имеют первообразные и , то общий интеграл уравнения имеет вид:

, (6)

где — произвольная постоянная.

Замечание. Если для обозначения первообразных использовать символ неопределенного интеграла, то общий интеграл записывается в виде:

. (7)

Доказательство. Опуская доказательство того, что уравнение (6) действительно задает неявную функцию , убедимся, что удовлетворяет уравнению (4). Для этого продифференцируем по равенство (6), применяя для левой части правило производной сложной функции с промежуточной переменной :

,

или, учитывая, что и первообразные для и :

.

Остается убедиться, что за счет выбора значения произвольной постоянной можно обеспечить выполнение любых начальных условий . Подставляя начальные условия в (6), получаем:

. ▄

Примеры. 1. Для уравнения найдем общий интеграл и частный интеграл для начальных условий . Имеем:

—

это общий интеграл.

Подставим теперь в общий интеграл начальные условия и найдем соответствующее значение константы :

.

Следовательно, частный интеграл, дающий решение задачи Коши, имеет вид:

.

2. Рассмотрим уравнение с начальными условиями . Умножая обе части уравнения на и затем интегрируя, получаем:

– это общий интеграл. Выражая отсюда явно через и , получаем общее решение: . Подстановка начальных условий в общее решение дает: , так что . Следовательно, функция является решением задачи Коши.

Определение. Уравнением с разделяющимися переменными называетсядифференциальное уравнение первого порядка вида

, (8)

с непрерывными функциями .

В этом уравнении каждая из частей является произведением двух множителей, один из которых зависит только от , а другой – только от .

От этого уравнения легко перейти к уравнению с разделенными переменными, деля обе части на произведение («разделяя переменные»):

.

Примеры. 1. . Обе части разделим на и умножим на : . Интегрируем:

—

общий интеграл.

2. ; начальные условия: . Записываем производную как отношение дифференциалов:

.

Обе части умножим на , разделим на и проинтегрируем:

—

общий интеграл. Найдем теперь частный интеграл, удовлетворяющий начальным условиям. Подставляя начальные условия в полученное уравнение, имеем:

; .

Следовательно, частный интеграл, дающий решение задачи Коши, имеет вид:

.