Обработка информации по схеме однофакторного дисперсионного анализа

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

ПРИ НАЛИЧИИ КАЧЕСТВЕННЫХ ФАКТОРОВ

При наличии качественных факторов задача планирования ставится следующим образом: необходимо спланировать эксперимент так, чтобы выяснить влияние качественных факторов на выход объекта, т.е. определить, есть ли это влияние вообще и если это влияние существенно, то построить регрессионные модели, соответствующие различным " значениям " качественных факторов.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПЛАНИРОВАНИЯ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СОВМЕЩЕННЫХ ПЛАНОВ

Решение задачи планирования при наличии количественных и качественных факторов производится с использованием совмещенных планов. Основу их составляют латинские, греко-латинские и гипер-греко-латинские квадраты.

Латинский квадрат.

Латинским квадратом называется квадратная матрица размерности ( ), элементами которой являются латинские буквы. При этом каждая из n букв в каждом столбце и в каждой строке встречается один раз.

Если по диагонали квадрата идет одна и та же буква, то латинский квадрат называется каноническим.

Латинские квадраты используются для кодирования уровней качественного фактора.

При планировании латинский квадрат используется в рандомизированном виде, т.е. его строки и столбцы расположены случайным образом.

Греко-латинский квадрат.

Греко-латинский квадрат используется в случае, если число качественных факторов равно двум. Это тоже квадратная матрица, элементами которой являются две буквы - одна латинская, другая греческая. В греко-латинском квадрате комбинация греческой и латинской буквы встречается всего один раз.

Объединив данные латинский и греческий квадраты, мы не получим греко-латинского квадрата:

Поменяв местами вторую и третью строки греческого квадрата и объединив полученные латинский и греческий квадраты, получим греко-латинский квадрат:

Гипер-греко-латинский квадрат.

Гипер-греко-латинский квадрат используется, когда число качественных факторов равно трем. Это тоже квадратная матрица, каждый элемент которой состоит из греческой буквы, латинской буквы и цифры. Основным признаком является то, что каждая комбинация во всей матрице встречается один раз.

ПРИМЕРЫ СОВМЕЩЕННЫХ ПЛАНОВ

Простейшим совмещенным планом является план, основанный на латинском квадрате размерности n и варьировании количественных факторов на n-уровнях при этом число количественных факторов равно двум.

Рассмотрим пример.

Пусть необходимо исследовать влияние трех факторов А, В, С. При этом А и В - количественные факторы, а С - качественный фактор. Предположим, что n=3, т.е. качественный фактор может быть трехуровневый. Обозначим уровни качественного фактора как , а уровни количественных факторов - и . В этом случае совмещенный план имеет вид:

A	B

Перед реализацией данный план должен быть рандомизирован:

A	B

Данный план предполагает проведение девяти опытов:

1 опыт:

2 опыт:

3 опыт:

4 опыт:

5 опыт:

6 опыт:

7 опыт:

8 опыт:

9 опыт:

В результате проведения опытов получаем вектор результатов проведения опытов.

После реализации плана на объекте необходимо проверить гипотезы о наличии связей между всеми факторами (качественными и количественными ) и выводом объекта. Проверка этих гипотез происходит по схеме дисперсионного анализа с использованием критерия Фишера (F). При этом если число качественных факторов равно 1, то используется однофакторный дисперсионный анализ, если 2 - двухфакторный и т.д. В нашем примере используется схема однофакторного дисперсионного анализа.

ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ
ПО СХЕМЕ ОДНОФАКТОРНОГО ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА

В основе дисперсионного однофакторного анализа лежит модель:

Эта модель записана относительно дисперсий, т.е. она предполагает, что дисперсия изменения выхода переменной y обусловлено изменением количественных факторов а и в, качественного фактора с и наличием шума.

При этом - эффект строки (при переходе от одной строки к другой меняется значение выхода); - эффект столбца (влияние изменения уровня второго количественного фактора ); - эффект латинской буквы (влияние качественного фактора на выход); - неучтенный шум; - постоянная составляющая.

Критерий Фишера предполагает, что дисперсия одного выхода равна дисперсии какого-либо фактора. Т.е. дисперсия выхода представляется как сумма четырех дисперсий:

1) дисперсия, обусловленная изменением фактора а;

2) дисперсия, обусловленная изменением фактора в;

3) дисперсия, обусловленная изменением качественного фактора с;

4) дисперсия внешнего шума.

При этом, если справедлива гипотеза о равенстве дисперсии внешнего шума к дисперсии, обусловленной влиянием того или иного фактора, то соответствующий эффект принимается как нулевой.

Схема вычислений:

1) Вычисляем итоги по строкам, по столбцам и по латинским буквам:

2) Находим

3) Находим

4) Находим

5) Находим

6) Находим

7) Находим

8) Находим

9) Находим

10) Находим общую сумму квадратов:

11) Находим остаточную сумму квадратов (характеризует дисперсию шума):

Число степеней свободы для дисперсий, обусловленных изменениями факторов, равно N-1, т.е.:

Число степеней свободы для дисперсии внешнего шума (n-1)(n-2).

Отсюда:

Для проверки гипотезы о равенстве нужно найти отношение , а затем сравним его с квантилем распределения Фишера:

Аналогично необходимо проверить гипотезы для факторов в и с. В результате дисперсионного анализа определяются количественные и качественные факторы, существенно влияющие на выход объекта. Если в данном случае качественный фактор существенно влияет на выход, то необходимо построить n регрессионных моделей, связывающих выход объекта с существующими количественными факторами, каждый из которых соответствует одному из возможных уровней качественного фактора.

Библиографический список

1. Советов Б.Я. Моделирование систем: Учебник для вузов / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. – М.: Высш.шк., 2001. – 343 с.

2. Шапкин А.С. Математические методы и модели исследования операций: учебник для вузов / А.С. Шапкин, А.В. Шапкин. – М.: Дашков и К, 2005, 2011. – 400 с.

3. Фатуев В.А., Каргин А.В., Понятский В.М. Структурно-параметрическая идентификация динамических систем: Учеб. пособие.– Тула: Изд-во ТулГУ, 2003.– 156 с. Фатуев В.А., Маркова Т.Н. Математические модели объектов управления: Учеб. пособие.– Тула: Тул.гос.ун-т, 2002.– 119 с.

4. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. Изд.2./ Самарский А.А. и др. – М.: Физматлит, 2002. – 320 с.

5. Пасько Н.И. Статистическое моделирование процессов и систем: учеб. пособие для вузов / Н.И. Пасько, А.Н. Иноземцев, С.Г. Зайков. – Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. 112 с.

6. Бордовский Г.А. Физические основы математического моделирования: учебное пособие для вузов / Г.А. Бордовский, А.С. Кондратьев, А.Д.Р. Чоудери. – М.: Академия, 2005. – 320 с.

7. Дьяконов В.П. MATLAB: Анализ, идентификация и моделирование систем: спец. справочник / В.П. Дьяконов, В. Круглов. – СПб. и др.: Питер, 2002. – 448 с.

8. Казиев В.М. Введение в анализ, синтез и моделирование систем: учеб. пособие / В.М. Казиев. – М.: Интернет – ун-т информ.технологий: Бином. Лаборатория знаний, 2006. – 244 с.

9. Грешилов А.А. Математические методы принятия решений: учеб. пособие для вузов / А.А. Грешилов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 584 с.

10. Журнал "Математическое моделирование" (библиотека ТулГУ)

11. Журнал "Информационные технологии моделирования и управления" (библиотека ТулГУ)

12. Журнал "Известия РАН. Теория и системы управления" (библиотека ТулГУ)