Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка со специальной правой частью (ЛНДУ)
Метод вариации постоянных
Рассмотрим теперь метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Как было ранее, вначале необходимо найти
для соответствующего однородного уравнения, а затем определить
. Будем его искать в той же форме, что и
, но
и
будем считать функциями, то есть будем искать частное решение в виде
.
Попытаемся определить эти функции. Для этого подставим в исходное уравнение. Найдем вначале его первую производную:
.
Так как и
никак не определены, будем считать их такими, что
. Тогда
. Вычислим теперь вторую производную:
. Подставим предполагаемое частное решение и его производные в уравнение:
В полученном выражении сумма во второй и третьей скобках равна нулю, так как вместо неизвестной функции подставлены частные решения соответствующего однородного уравнения. Поэтому уравнение приобретет вид: .
В результате получена система из двух уравнений для определения и
:
Чтобы получить решение данной системы составим ее определитель , который не равен нулю, так как
и
фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения. Таким образом,
и
вычисляются однозначно. Находя затем их первообразные, определяем
и
. При интегрировании константы к первообразным не добавляют, так как в ответе уже есть две константы
и
.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка со специальной правой частью (ЛНДУ)
, где
.
Общее решение ЛНДУ , где
№ | Вид правой части | Корни характеристического уравнения | Вид частного решения ![]() |
1. | а) ![]() ![]() | Число 0 не является корнем характеристического уравнения | ![]() |
Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности ![]() | ![]() | ||
2. | а) ![]() ![]() | Число α не является корнем характеристического уравнения | ![]() |
Число α является корнем характеристического уравнения кратности ![]() | ![]() | ||
3. | а) ![]() ![]() | Числа ![]() | ![]() |
Числа ![]() ![]() | ![]() | ||
4. | а) ![]() ![]() | Числа ![]() | ![]() |
Числа ![]() ![]() | ![]() |
Метод вариации постоянных
Рассмотрим теперь метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Как было ранее, вначале необходимо найти
для соответствующего однородного уравнения, а затем определить
. Будем его искать в той же форме, что и
, но
и
будем считать функциями, то есть будем искать частное решение в виде
.
Попытаемся определить эти функции. Для этого подставим в исходное уравнение. Найдем вначале его первую производную:
.
Так как и
никак не определены, будем считать их такими, что
. Тогда
. Вычислим теперь вторую производную:
. Подставим предполагаемое частное решение и его производные в уравнение:
В полученном выражении сумма во второй и третьей скобках равна нулю, так как вместо неизвестной функции подставлены частные решения соответствующего однородного уравнения. Поэтому уравнение приобретет вид: .
В результате получена система из двух уравнений для определения и
:
Чтобы получить решение данной системы составим ее определитель , который не равен нулю, так как
и
фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения. Таким образом,
и
вычисляются однозначно. Находя затем их первообразные, определяем
и
. При интегрировании константы к первообразным не добавляют, так как в ответе уже есть две константы
и
.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка со специальной правой частью (ЛНДУ)
, где
.
Общее решение ЛНДУ , где
№ | Вид правой части | Корни характеристического уравнения | Вид частного решения ![]() |
1. | а) ![]() ![]() | Число 0 не является корнем характеристического уравнения | ![]() |
Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности ![]() | ![]() | ||
2. | а) ![]() ![]() | Число α не является корнем характеристического уравнения | ![]() |
Число α является корнем характеристического уравнения кратности ![]() | ![]() | ||
3. | а) ![]() ![]() | Числа ![]() | ![]() |
Числа ![]() ![]() | ![]() | ||
4. | а) ![]() ![]() | Числа ![]() | ![]() |
Числа ![]() ![]() | ![]() |