Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка со специальной правой частью (ЛНДУ)

Метод вариации постоянных

Рассмотрим теперь метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Как было ранее, вначале необходимо найти для соответствующего однородного уравнения, а затем определить . Будем его искать в той же форме, что и , но и будем считать функциями, то есть будем искать частное решение в виде .

Попытаемся определить эти функции. Для этого подставим в исходное уравнение. Найдем вначале его первую производную:

.

Так как и никак не определены, будем считать их такими, что . Тогда . Вычислим теперь вторую производную: . Подставим предполагаемое частное решение и его производные в уравнение:

В полученном выражении сумма во второй и третьей скобках равна нулю, так как вместо неизвестной функции подставлены частные решения соответствующего однородного уравнения. Поэтому уравнение приобретет вид: .

В результате получена система из двух уравнений для определения и :

Чтобы получить решение данной системы составим ее определитель , который не равен нулю, так как и фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения. Таким образом, и вычисляются однозначно. Находя затем их первообразные, определяем и . При интегрировании константы к первообразным не добавляют, так как в ответе уже есть две константы и .

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка со специальной правой частью (ЛНДУ)

, где .

Общее решение ЛНДУ , где

№	Вид правой части	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
1.	а) б)	Число 0 не является корнем характеристического уравнения
Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности
2.	а) , (α − действительное) б) , (α − действительное)	Число α не является корнем характеристического уравнения
Число α является корнем характеристического уравнения кратности
3.	а) б)	Числа не являются корнями характеристического уравнения
Числа являются корнями характеристического уравнения кратности
4.	а) б)	Числа не являются корнями характеристического уравнения
Числа являются корнями характеристического уравнения кратности

Метод вариации постоянных

Рассмотрим теперь метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Как было ранее, вначале необходимо найти для соответствующего однородного уравнения, а затем определить . Будем его искать в той же форме, что и , но и будем считать функциями, то есть будем искать частное решение в виде .

Попытаемся определить эти функции. Для этого подставим в исходное уравнение. Найдем вначале его первую производную:

.

Так как и никак не определены, будем считать их такими, что . Тогда . Вычислим теперь вторую производную: . Подставим предполагаемое частное решение и его производные в уравнение:

В полученном выражении сумма во второй и третьей скобках равна нулю, так как вместо неизвестной функции подставлены частные решения соответствующего однородного уравнения. Поэтому уравнение приобретет вид: .

В результате получена система из двух уравнений для определения и :

Чтобы получить решение данной системы составим ее определитель , который не равен нулю, так как и фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения. Таким образом, и вычисляются однозначно. Находя затем их первообразные, определяем и . При интегрировании константы к первообразным не добавляют, так как в ответе уже есть две константы и .

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка со специальной правой частью (ЛНДУ)

, где .

Общее решение ЛНДУ , где

№	Вид правой части	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
1.	а) б)	Число 0 не является корнем характеристического уравнения
Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности
2.	а) , (α − действительное) б) , (α − действительное)	Число α не является корнем характеристического уравнения
Число α является корнем характеристического уравнения кратности
3.	а) б)	Числа не являются корнями характеристического уравнения
Числа являются корнями характеристического уравнения кратности
4.	а) б)	Числа не являются корнями характеристического уравнения
Числа являются корнями характеристического уравнения кратности