Вынужденные колебания систем с произвольным числом
Степеней свободы при действии вибрационной нагрузки
Рассматриваем установившиеся вынужденные колебания системы (рис.14.4) без учета внешнего или внутреннего сопротивления. Будем считать, что внешнюю нагрузку можно разложить по направлениям перемещений сосредоточенных масс, а составляющие ее обозначим , (i = 1,2,3,...,n).
Рис.14.4
Таким образом, роль внешних сил здесь будут играть величины:
. (14.22)
Канонические уравнения метода сил в данном случае записываются в виде:
(r = 1,2,3,...,n). (14.23)
Подставляя (14.22) в (14.23) и после ряда преобразований, получим:
(i = 1,2,3,...,n). (14.24)
Здесь - амплитудное значение перемещения i-ой массы, вызванное действием системы внешних сил
.
Частное решение системы уравнений (14.24) записывается в виде:
, (14.25)
где - амплитуда перемещения i-ой массы;
- частота вынужденных колебаний системы.
Выражение для определения инерционных сил принимает вид:
Zi (t) = , (14.26)
где - амплитудные величины инерционных сил.
Принимая обозначение
(14.27)
и с учетом (14.26) систему уравнений можно преобразовать к следующему виду:
(14.28)
решение которого записывается в виде:
. (14.29)
Здесь D и Di - соответственно, определитель системы (14.28) и определитель, полученный из D заменой элементов (k = 1,2,..., n) соответствующими свободными членами
(i = 1,2,..., n), т.е.
;
. (14.30)
Нетрудно заметить, что определитель D совпадает по форме с выражением (14.19), и поэтому при , т.е. при стремлении значения частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний заданной системы, получим
, следовательно
и соответственно, и согласно (14.26)
, т.е. будет иметь место резонанс.
График зависимости от частоты
имеет вид, приведенный на рис.14.5.
Рис.14.5
Однако увеличение амплитуды колебаний при резонансе до бесконечности является абстракцией. В действительности всегда имеются контуры, ограничивающие величину амплитуды
, в частности внутреннее трение материала конструкции или внешнее сопротивление. Поэтому в действительности при
происходит значительное увеличение
, при этом оставаясь конечной величиной.
После определения из (14.29) с учетом (14.22) следует определить амплитудное значение внешних сил:
,(i = 1, 2,..., n), (14.31)
и по значениям (i = 1, 2,..., n) определить амплитудное значение внутренних усилий.
Например, общее выражение для определения амплитудных значений изгибающих моментов от динамических сил Ri (t) для статически неопределимых систем можно записать в виде:
,
где Mik (k,i = 1,2,..., n) - значение момента в i-ом сечении при действии единичной силы в точке k.
НАЗАД НА ОГЛАВЛЕНИЕ ДАЛЕЕ
Главная/Лекции/Расчетно-графические работы/Расчеты строительных конструкций на ЭВМ/Зачетные вопросы/Справочные данные/Литература
Пример динамического расчета рамы
На раме с размерами, указанными на рис.14.6, в точках 1 и 2 установлены два одинаковых вибратора весом G = 20 кН каждый и весом неуравновешенных частей Р0 =1,2 кН, размещенные на оси вращения с эксцентриситетом е = 0,015 м. Вибраторы вращаются синфазно с частотой n = 600 об/мин.
Рама выполнена из двух двутавров № 50 (ГОСТ 8239-72), т.е. Jx = 3,29×10-4 м4; Wx =0,157×10-2 м3. Рама изготовлена из стали с характеристиками Е = 2,1×105 МПа, R = 190 МПа.
Пренебрегая собственным весом рамы и внутренним трением материала, требуется:
1. Составить канонические уравнения по методу сил, определяющие свободные колебания рамы, и получить значения частот и периодов собственных колебаний рамы;
2. Вычислить отношения амплитуд и графически изобразить возможные формы собственных колебаний рамы;
3. Проверить ортогональность собственных форм колебаний системы;
4. Определить круговую частоту вынужденных колебаний и изобразить примерный вид графика коэффициента динамичности;
5. Составить канонические уравнения по методу сил, определяющие вынужденные колебания системы, и определить амплитудные значения инерционных сил;
6. Построить статическую эпюру изгибающих моментов от всех вибраторов и эпюру амплитудных значений изгибающих моментов при вынужденном режиме колебания рамы;
7. Построить эпюру моментов при одновременном действии статических и динамических сил и определить положение опасного сечения конструкции;
8. Вычислить максимальное значение напряжения в опасном сечении и проверить условия прочности для принятого поперечного сечения рамы.
Решение:
Расчетная схема рассматриваемой системы показана на рис.14.6. Под действием периодической возмущающей нагрузки рама совершает колебательное движение.
Рис.14.6
Пренебрегая внутренним трением материала рамы и ее собственным весом, упругие перемещения сечений 1 и 2 по принципу независимости действия сил записываются в виде:
(14.32)
где - перемещение i-ого сечения от статической единичной силы, приложенной в k-ом сечении (i = 1,2; k = 1,2) по направлению соответствующей инерционной силы;
,
- перемещения сечений 1 и 2 от всех динамических нагрузок. При этом:
(14.33)
где
(14.34)
С учетом выражений (14.33) и (14.34) и m1 = m2 = m уравнение (14.32) в стационарном режиме колебаний можно переписать в виде:
(14.35)
где .
Решая систему уравнений (14.35) определяют амплитудные значения инерционных нагрузок (способом Крамера):
, (i = 1,2), (14.36)
где приняты следующие обозначения:
.
Учитывая, что в данном случае P1 = P2, амплитуды динамического прогиба и изгибающего момента в произвольном i-ом (i = 1,2,...) сечении могут быть определены по формулам:
(14.37)
Уравнения движения (14.32) при свободных колебаниях рамы, т.е. при P1 = P2 = 0, принимают вид
(14.38)
Относительно амплитуды перемещения последняя система уравнений преобразуется в виде:
(14.39)
где
.
Здесь - частота собственных колебаний рамы.
Система алгебраических уравнений (14.39) относительно амплитуды перемещения сосредоточенных масс имеет различные решения. Очевидное решение свидетельствует об отсутствии движения системы и не подходит по смыслу поставленной задачи.
Система (14.39) может иметь решения, отличные от нулевого, лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю, т.е. когда выполняется условие:
. (14.40)
Раскрыв определитель (14.40), получим квадратное уравнение относительно . После определения
с учетом (14.39) вычисляются собственные частоты
.
Первая частота называется частотой основного тона собственных колебаний. Каждой частоте соответствует определенная форма колебаний системы. Форму колебания можно изобразить графически. Для этого в уравнения (14.39) следует подставить значение
(i = 1, 2), причем:
. (14.41)
При этом одно из двух уравнений (14.39) становится лишним. Пренебрегая первым уравнением (14.39), из второго получим:
, (i = 1,2). (14.42)
После чего, задавая значение yii (i = 1,2), можно вычислить в долях
, а
- в долях
и изобразить графический характер возможной формы колебаний первого и второго тона колебаний.
Формы колебаний должны быть ортогональны. Условие ортогональности собственных форм записывается в виде:
, (r,k = 1,2; r ¹ k). (14.43)
Определив собственные частоты и
и вычислив частоту вынужденных колебаний
, необходимо сопоставить
с ближайшей из
или
. Во избежание наступления резонансных колебаний рекомендуется, чтобы
отличалась от любой из частот
,
не менее чем на 30%. Если при решении задачи окажется, что это требование не выполняется, то следует изменить значение
или
. Этого можно достичь путем:
- изменения геометрических или физико-механических характеристик материалов элементов рамы;
- уменьшения или увеличения частоты вращения вибратора.
При этом во всех случаях напряжения в опасных сечениях рамы должны удовлетворять условиям прочности.
Переходим к численной реализации решения в соответствии с постановкой задачи.
1. Определение частот и периодов собственных колебаний рассматриваемой системы
Предварительно определим изгибную жесткость элементов заданной системы:
кН×м2.
Заданная система один раз статически неопределима. Основная система метода сил представлена на рис.14.7, а. Эпюра моментов в основной системе от действия силы Х1 = 1 показана на рис.14.7, б, а от единичных внешних сил - на рис.14.8, а, б.
Сначала рассчитываем раму на действие силы . Каноническое уравнение метода сил в данном случае записывается в виде:
. (14.44)
Рис.14.7
Рис.14.8
Коэффициенты и
находим перемножением эпюр
и
по формуле Мора.
Здесь определяется как результат перемножения эпюры
(рис.14.7, б) самой на себя,
как результат перемножения эпюры
(рис.14.7, б) с
(рис.14.8, а).
(14.45)
С учетом (14.45) из решения (14.44) получим:
.
Эпюра изгибающих моментов в заданной системе от действия сил Р1 =1 и Х1 = 5/16 изображена на рис.14.9, a.
Рис.14.9
Рассчитываем раму на действие силы Р2 = 1. Каноническое уравнение метода сил в данном случае принимает вид:
. (14.46)
Здесь определяется как результат перемножения эпюры моментов, изображенных на рис.14.7, б и 14.8, б, в соответствии с формулой Мора:
. (14.47)
С учетом значения из (14.45) и значения
из (14.47) и из (14.46) получим:
.
Эпюра изгибающих моментов от действия сил Р2 = 1 и Х1 = = 7/4 в заданной системе изображена на рис.14.9, б.
Единичное перемещение определяется по формуле Мора в результате перемножения эпюры
самой на себя, применяя формулы умножения двух эпюр моментов в виде двух трапеций на произвольном участке. Получим:
м/кН.
Единичное перемещение определяется по формуле Мора перемножением эпюры
самой на себя (рис.14.9, б):
м/кН.
Единичное перемещение определяется по формуле Мора в результате перемножения эпюр
и
, изображенных соответственно на рис.14.9, а, б:
м/кН.
Решив уравнение (14.40), получим:
,
откуда
.
Окончательно =166,75×10-6 м/кН;
=10,.35×10-6 м/кН.
По формуле (14.41) определяется значение собственной частоты рассматриваемой рамы:
c-1;
c-1.
Периоды собственных колебаний рассматриваемой системы принимают значения: c;
c.
2. Определение амплитуды собственных колебаний и графическое изображение собственных форм
Для вычисления значения отношений амплитуды собственных колебаний из (14.42), предварительно определив кН∙с2/м, имеем при
= 1 и при
= 1, соответственно:
Формы собственных колебаний рассматриваемой системы изображены на рис.14.10 (а - первая форма; б - вторая форма).
3. Проверка ортогональности собственных форм колебаний
Из условия ортогональности (14.43) имеем:
.
Рис.14.10
4. Определение круговой частоты вынужденных колебаний и изображение примерного вида графика коэффициента динамичности в зависимости от отношения частот вынужденных и собственных колебаний
В стационарном режиме круговая частота вынужденных колебаний системы имеет значение:
c-1.
Сопоставим величину с величиной ближайшей собственной частоты рамы
:
.
Во избежание резонансных колебаний надо изменить величину или
. В данном случае, принимая n = 900 об/мин, получим:
c-1;
,
Рис.14.11
Следовательно, при с-1 принятое условие во избежание резонансных колебаний выполняется.
Примерный вид графика коэффициента динамичности в зависимости от изображен на рис. 14.11.
5. Определение амплитудных значений инерционных сил
В соответствии с принятым обозначением по формулам (14.34) и (14.35) последовательно определяем:
м/кН;
м/кН;
кН;
м/кН;
м/кН;
м2/кН;
м2/кН;
м2/кН.
По (14.33) определяем амплитудные значения инерционных сил:
= |D1/D |= |3,72/0.5| = 7,44 кН;
= |D2/D |= |9,64/0.5 |= 19,28 кН.
6. Определение эпюры изгибающих моментов от действия собственного веса вибраторов и амплитудных значений изгибающих моментов при вынужденном стационарном режиме колебания рамы
Значение изгибающих моментов, возникающих от действия собственного веса вибраторов, в произвольном сечении определяется по формуле:
.
Определяем значение в характерных сечениях (0; 1; 2; 3) рамы (см. рис.14.9):
сечение 0: = 20×(9/8 - 3/2) = -7,5 кН×м;
сечение 1: = 20×(-15/16 + 3/4) = -3,75 кН×м;
сечение 2: = 0;
сечение 3: = 20×(0 + 3) = 60 кН×м.
Эпюра изгибающих моментов приведена на рис.14.12.
Амплитудные значения изгибающих моментов от действия внешних динамических и инерционных нагрузок в соответствии с (14.37) определяются:
=
.
Рис. 14.12
Согласно последней формуле в характерных сечениях имеет
следующие значения:
сечение 0: кН×м;
сечение 1: кН×м;
сечение 2: = 0;
сечение 3: кН×м.
Эпюра изображена на рис.14.12 (пунктиром).
7. Построить эпюру моментов при одновременном действии статических и динамических сил и определить положение опасного сечения конструкции
Результирующее значение изгибающих моментов, действующих в характерных сечениях при одновременном действии статических и динамических нагрузок, определяется по формуле:
.
Эпюра Mk, как и эпюры и
, изображены на рис.14.12.
Из рис.14.12 согласно эпюре М следует, что наиболее опасным является сечение 3.
8. Определение максимального напряжения и проверка условий прочности в наиболее опасном сечении
кН/м2 = 53,2МПа <R = 190 МПа.
Следовательно, условие прочности рассматриваемой рамы обеспечено.
НАЗАД НА ОГЛАВЛЕНИЕ ДАЛЕЕ
Главная/Лекции/Расчетно-графические работы/Расчеты строительных конструкций на ЭВМ/Зачетные вопросы/Справочные данные/Литература