Понятие о расчете на устойчивость круговых арок постоянного сечения

1. Вывод дифференциального уравнения кругового бруса

dS dS - длина элемента mn до деформации,

n R - радиус кривизны

m W+dW m₁n₂ положение элемента mn после

W деформации.

V+dV

V

R dQ

O

Обозначим проекции перемещения точек m и n через: V - проекцию перемещения на касательную и W - проекцию перемещения на радиус.

Определим относительную деформацию элемента dS. Для этого воспользуемся принципом наложения и будем определять отдельно деформацию элемента от перемещений W и V.

1) W = 0

V+dV

V

m m₁ n n₁

dQ

O

Абсолютная деформация элемента dS равна dV, а относительная деформация

(8)

2) V = 0. Бесконечно малой величиной dW пренебрегаем

dS до деформации

n dS = Rdq

m W после деформации

n₁

m₁

R dQ

O

Абсолютная деформация элемента dS

Относительная деформация:

, (9)

т.к. dS = RdJ.

Полная относительная деформация элемента:

(10)

Кривизна элемента до деформации

dS = Rdq Þ

Определим изменение элемента за счет его деформации. Углы поворота касательных, проведенных к точке m:

1) W = 0

a

m m₁ n n₁

V V+dV

R

a

O

2) V = 0

в этом случае пренебречь величиной dW нельзя

n

m

W b W+dW

m₁ n₁ Заштрихованный треугольник ввиду

малых величин можно считать

прямолинейным, тогда:

R

O

Суммарный угол поворота касательной

(11)

Изменения кривизны деформированного элемента:

Продифференцируем выражение (11):

(12)

Пренебрегая удлинением элемента dS, т.е. e = 0, из уравнения (10) имеем:

подставляя это значение в (5) и .

(13)

Из сопротивления материалов известно дифференциальное уравнение изогнутой оси бруса:

(14)

подставив (7) в (6) получим дифференциальное уравнение кривого бруса:

или

(15)

2. Устойчивость кругового кольца при радиальной нагрузке

y q - интенсивность равномерно

K распределенной радиальной

нагрузки.

W K₁

q

x

R

При q < q_кр кольцо сохраняет первоначальную форму равновесия и в нем возникают только продольные усилия сжатия.

При q ³ q_кр кольцо теряет устойчивую форму равновесия, приобретая овальную форму и в нем, наряду с продольными усилиями появляются изгибающие моменты.

Рассмотрим элемент dS до потери устойчивости:

y

q dS

N N

ввиду малости угла q

dQ

О

тогда

, dS = Rdq

;

(а)

После потери устойчивости точка К переместится в точку К₁, прогиб стенки кольца составляет W. В деформированном состоянии продольная сила вызывает в кольце изгибающий момент:

Подставим это значение момента в дифференциальное уравнение бруса (15):

,

или

(б)

Обозначим

(с)

(d)

Решение этого однородного дифференциального уравнения запишется:

(е)

Значение коэффициентов С₁ и С₂ найдем из граничных условий:

учитывая, что на осях симметрии W’=0

1) при q= 0

0 = С₁К; С₁ = 0

2) при

С₂ = 0; К = 0

Следовательно , а это возможно при :

1) К = 0 - противоречит условию задачи (см. выше)

2) К=2, sin p = 0.

Из выражения (с) получаем

,

отсюда (f)

3. Устойчивость двухшарнирной круговой арки

Рассмотрим круговую арку загруженную равномерно распределенной радиальной нагрузкой q.

q

A B

Q

a R

O

Дифференциальное уравнение кривого бруса по аналогии с кольцом

, где

Решение его:

,

где q - угол изменяющийся от 0 до a.

Граничные условия задачи:

1) при q = 0 W = 0;

0 = С₂

2) при q = a W = 0;

0 = C₁ sin Ka; C₁ ¹ 0

Следовательно sin Ka =0

; ; ;

;