Тема занятия «Понятие производной. Правила дифференцирования»
Цель занятия:Введение понятия производной функции с помощью операции предельного перехода, отработка навыков в вычислении производных.
Организационная форма занятия:практикум.
Компетенции, формируемые на занятии:
· способность и готовность анализировать социально-значимые проблемы и процессы, использовать социально-значимые проблемы и процессы, использовать на практике методы гуманитарных, естественнонаучных, медико-биологических и клинических наук в различных видах профессиональной и социальной деятельности (ОК-1).
При формировании названной компетенции в результате изучения дисциплины «Математика» специалист должен знать основные правила дифференцирования и интегрирования; уметь дифференцировать с помощью формул и простейших приемов; владеть методами нахождения производных функций. Формирование у будущих специалистов этой компетенций на занятии предполагает обучение студентов
- сформулировать основные цели выполняемой работы;
- анализировать ситуации и делать выводы;
- вести поиск альтернативных средств и способов решения;
- абстрагировать содержание и выделять существенное;
- осуществлять самоконтроль за работой, объективно оценивать ее результат.
Вопросы, выносимые на обсуждение
1. Определение производной, ее механический и геометрический смысл.
2. Правила вычисления производной. Таблица производных основных элементарных функций.
3. Производная сложной функций.
Методические рекомендации
Для подготовки к занятию дома
1. Прочитайте конспект лекции, соответствующий теме занятия. Запомните основные определения. Выучите основные правила дифференцирования и таблицу производных основных элементарных функций.
2. Изучите рекомендуемую литературу по вопросам, выносимым на обсуждение.
3. Найдите ответы на теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями. Подготовьтесь к ответам на эти вопросы на занятии.
4. Законспектируйте ответы на теоретические задания, которые не содержатся в Вашем конспекте лекции по указанной теме.
5. Выучите наизусть правила дифференцирования и таблицу основных производных.
6. Изучите разобранные примеры решения типовых задач и законспектируйте их решение в рабочую тетрадь.
7. Подготовьтесь к самостоятельной работе №2 по теме «Предел функции». Примерный вариант можете найти в программе дисциплины.
На занятии по указанию преподавателя
1. Дайте ответы на вопросы из теоретических заданий для развития и контроля владения компетенциями
2. В рабочей тетради и на доске решите практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий, решаемых в аудитории.
3. Решите самостоятельную работу №2 в соответствии с выданным Вам вариантом.
Дома закрепите полученные практические умения и навыки, решая практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий для самостоятельной работы дома.
Рекомендуемая литература
[1] глава 8 пп. 8.1. – 8.2.
[4] глава VII § 1.
[5] глава 6 § 24.
[6] ч II занятия 21 – 23.
[7] глава 2 § 2.1.
[8] глава 5 §§ 1 – 8.
[9] глава V §§ 1 – 8.
[10] глава 5 §§ 1 – 8.
Теоретические задания
Для развития и контроля владения компетенциями
1. Какие задачи, приводящие к понятию производной, Вам известны?
2. Дайте определение производной функции в точке.
3. Как найти производную функции y=f(x) по определению?
4. В чем состоит механический смысл производной?
5. Дайте определение непрерывной функции в точке и на отрезке. Сформулируйте свойства непрерывных функций.
6. Как связаны между собой дифференцируемость функции в некоторой точке с непрерывностью функции в этой точке?
7. Приведите пример непрерывной функции, не имеющей производной в некоторой точке.
8. Чему равна производная:
а) постоянной; б) алгебраической суммы дифференцируемых функций;
в) произведения двух дифференцируемых функций; г) дроби; д) сложной функции; е) обратной функции?
10. Запишите формулы для нахождения производных основных элементарных функций.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
1. Пользуясь определением производной найдите производные функций:
а) ; б)
.
Решение:
а) По определению производной .
Поэтому для нахождения производной по определению можно воспользоваться следующим общим правилом.
1) Придаем аргументу х произвольное приращение и находим приращенное значение функции:
.
2) Находим приращение функции:
3) Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:
.
4) Ищем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при .
.
Таким образом, .
б) Руководствуясь указанным общим правилом для нахождения производной по определению, для функции последовательно находим:
1) .
2) .
3) .
4)
2. Дана функция . Существует ли производная в точке х=0? Будет ли эта функция в точке х=0 непрерывной?
Решение:
Воспользуемся общим правилом для нахождения производной в точке х=0 по определению:
1) .
2) .
3) .
4) .
Этот предел не существует. Таким образом, функция в точке х=0 не имеет производной.
Исследуем данную функцию на непрерывность в точке х=0:
Так как бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то данная функция непрерывна в точке х=0.
Таким образом, данная функция непрерывна в точке х=0, но не имеет производной в этой точке.
3. Применяя правила дифференцирования и таблицу производных, найдите производные следующих функций:
а) ; б)
.
Решение:
а) Преобразуем данную функцию, переходя к дробным показателям, и воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:
.
б) I способ. Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: сначала находим производную логарифмической функции, затем корня и наконец производную дроби:
II способ. Чтобы упростить дифференцирование, сначала преобразуем функцию на основании свойств логарифмов:
.
Тогда .
Замечание.Вообще, если под знаком подлежащей дифференцированию логарифмической функции содержится выражение, поддающееся логарифмированию (произведение, частное, степень, корень), то полезно сначала выполнить логарифмирование.
Практические задания
для развития и контроля владения компетенциями
Задания, решаемые в аудитории
1. Пользуясь определением производной найдите производные от следующих функций:
а) ; б)
; в)
; г)
.
2. Дана функция: . Найдите производную этой функции в точке х = 0.
3. Найдите производные следующих функций:
а) ; б)
; в)
;
; д)
; е)
;
ж) ; з)
; и)
;
к) ; л)
; м)
.
4. Вычислите , если
.
5. Покажите, что ,
.
Задания для самостоятельной работы дома
1. Пользуясь определением производной найдите производные от следующих функций:
;
;
.
2. Найдите производные следующих функций:
а) ; б)
; в)
;
г) ; д)
; е)
;
ж) ; з)
; и)
;
к) ; л)
; м)
.
3. Вычислите , если
.
Лабораторное занятие №4