Теория погрешностей и машинная арифметика
Теоретическая часть
Пусть х – некоторое число, число а называется его приближенным значением, если а в определенном смысле мало отличается от х и заменяет х в вычислениях, .
Погрешностью приближенного значения а числа х называется разность
, а модуль этой погрешностью называется абсолютной погрешностью.
Если , то а взято с недостатком. Если
, то а взято с избытком.
Границей погрешности приближенного значения а числа х называется всякое неотрицательное число , которое не меньше модуля погрешности:
.
Говорят, что приближение а приближает число х с точностью до , если
,
,
.
Пример.Пусть а=0,273 – приближенное значение х с точность до 0,001. Указать границы, в которых заключается х.
При округлении чисел считают, что границы погрешности округления равна половине единицы округляемого разряда:
, α – порядок округления разряда.
Относительной погрешностью приближенного значения а числа х называется отношение
.
Пример.Округлить до десятых число 27,52 и найти погрешность и относительную погрешность округления:
,
,
.
Также как и абсолютная погрешность, относительная погрешность не всегда может быть вычислена и приходится оценивать ее модуль. Модуль относительной погрешности выражается в процентах. Чем меньше модуль относительной погрешности, тем выше качество приближения.
Пусть .
Цифра приближенного значения а называется верной, если модуль его погрешности не превосходит половины единицы этого разряда.
.
Очевидно, что все цифры, стоящие слева от верной цифры – верные.
Пример. Пусть х=27,421, а=27,381, .
Выясним, какие цифры верные в приближении а?
4 – , следовательно, 4 – неверная;
8 – , следовательно, 8 – неверная;
3 – , следовательно, 3 – верная.
3,2,7 – верные цифры.
Пример. Если известно, что относительная погрешность приближения , то это приближение имеет ровно 3 верные значащие цифры.
, следовательно, приближение имеет не менее 3-х верных значащих цифр.
Практическая часть
Задание 1.Дана функция . Значения переменных указаны в варианте со всеми верными цифрами. Оценить погрешность результата, используя: a) оценки погрешностей для арифметических операций; b) общую формулу погрешностей.
Результат представить в двух формах записи: с явным указанием погрешностей и с учетом верных цифр.
№ | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | № | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | 0.0125 | 0.283 | 0.0187 | ![]() | 4.41 | 18.5 | |||
![]() | 14.29 | 13.81 | 10.98 | ![]() | 16.5 | 4.2 | |||
![]() | 12.28 | 13.21 | 12.19 | ![]() | 52.31 | 48.95 | 47.81 | ||
![]() | 0.328 | 0.781 | 0.0129 | ![]() | 4.81 | 4.52 | 9.28 | ||
![]() | 14.85 | 15.49 | ![]() | 16.21 | 16.18 | 21.23 | |||
![]() | 12.31 | 0.0352 | 10.82 | ![]() | 0.324 | 1.25 | |||
![]() | 12.45 | 11.98 | ![]() | 25.18 | 24.98 | ||||
![]() | 3.456 | 0.642 | 7.12 | ![]() | 3.1415 | 3.1411 | 10.91 | ||
![]() | 1.245 | 0.121 | 2.34 | ![]() | 3.14 | 1.57 | 0.0921 | ||
![]() | 13.12 | 0.145 | 15.18 | ![]() | 14.85 | 15.49 | |||
![]() | 0.643 | 2.17 | 5.843 | ![]() | 5.325 | 5.152 | 5.481 | ||
![]() | 0.3575 | 2.63 | 0.854 | ![]() | 71.4 | 4.82 | 49.5 | ||
![]() | 14.91 | 0.485 | 14.18 | ![]() | 4.356 | 4.32 | 0.246 | ||
![]() | 16.5 | 4.12 | 0.198 | ![]() | 3.42 | 5.124 | 0.221 | ||
![]() | 5.21 | 14.9 | 0.295 | ![]() | 0.5761 | 3.622 | 0.0685 |
Задание 2.Вычислить значение и оценить абсолютную и относительную погрешности результата, считая, что значения исходных данных получены в результате округления.
Записать результат с учетом погрешности.
№ | ![]() | № | ![]() |
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() |
Вопросы к защите лабораторной работы №1
«Теория погрешностей и машинная арифметика»
1. Источники и классификация погрешностей. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности. Верные и значащие цифры. Способы округления.
2. Погрешности арифметических операций над приближенными числами.
3. Погрешность вычисления функций одной и нескольких переменных.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2