Глава 2. система сходящихся сил

Классификация систем сил

В статике системы сил, действующие на рассматриваемые объекты, классифицируют по расположению в пространстве и по степени сложности.

По расположению в пространстве различают два вида систем сил:

1) плоские системы сил (линии действия всех сил системы лежат в одной плоскости),

2) пространственные системы сил (линии действия всех сил системы не лежат в одной плоскости).

По степени сложности системы сил делят на три категории:

1) сходящиеся системы сил (линии действия всех сил системы пересекаются в одной точке),

2) параллельные системы сил (линии действия всех сил системы параллельны),

3) произвольные системы сил (системы сил наиболее общего вида, не являющиеся сходящимися или параллельными).

В соответствии с этой классификацией различают 6 видов систем сил. В данной главе рассмотрим системы сил простейшего вида – сходящиеся системы сил.

Приведение сходящейся системы сил к равнодействующей

Пусть к абсолютно твердому телу приложена сходящаяся система сил. Докажем теорему, позволяющую эквивалентным образом упростить такую систему сил.

Теорема

Всякая сходящаяся система сил имеет равнодействующую, равную главному вектору системы сил и приложенную в точке пересечения линий действия сил системы.

Доказательство

Пусть к телу приложена система сил , линии действия которых пересекаются в точке О ( см. рис. 62 ). Силу из точки можно перенести

По линии действия в точку О, то же самое можно проделать со всеми остальными силами. В результате этого получим систему сил, приложенных в одной точке О ( см. рис. 63 ) . По третьей аксиоме , силы

Рис. 62 Рис. 63

приложенные в точке О, можно заменить одной равнодействующей силой

, равной геометрической сумме этих сил:

где

Полученную силу можно аналогично сложить с силой :

где

Продолжая этот процесс последовательного сложения сил, окончательно получим, что вся исходная сходящаяся система сил эквивалентна одной равнодействующей силе:

где

(56)

Теорема доказана.

Уравнения равновесия

Если сходящаяся система сил является уравновешенной, то и из (56) вытекает уравнение равновесия в векторной форме

(57)

Отсюда легко получить уравнения равновесия в скалярной форме, записав векторное равенство (57) в проекциях на оси координат:

(58)

Таким образом, для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил этой системы на каждую из осей координат равнялась нулю. Если сходящаяся система сил является пространственной, то скалярных уравнений равновесия будет три. Очевидно, что для изучения плоской сходящейся системы сил достаточно в плоскости действия сил выбрать две оси декартовой системы координат и в этом случае будем иметь два скалярных уравнения равновесия:

(59)

Теорема о трех силах

Если твердое тело находится в равновесии под действием трех сил и линии действия двух из этих сил пересекаются, то линии действия всех трех сил лежат в одной плоскости и пересекаются в одной точке.

Доказательство

Пусть тело находится в равновесии под действием трех сил и линии действия сил и пересекаются в точке О (см. рис. 64).

Рис. 64

Перенесем силы и в точку О и сложим по правилу параллелограмма, заменив равнодействующей силой Тогда имеем соотношение эквивалентности

Отсюда, согласно первой аксиоме, следует, что силы и направлены вдоль одной прямой. Следовательно, линия действия силы проходит через точку О и лежит в плоскости действия сил и . Теорема доказана.

Пример 8

Однородный стержень АВ прикреплен к вертикальной стене с помощью шарнира А и удерживается под углом к вертикали с помощью нити ВС (см. рис. 65). Определить натяжение нити и реакцию шарнира, если задан вес стержня Р=100 н и АС=АВ.

Решение

Рассмотрим равновесие стержня АВ. Он находится в равновесии под действием трех сил: силы тяжести , приложенной в центре тяжести стержня К и направленной вертикально вниз, силы натяжения нити , направленной вдоль нити, и реакции шарнира А, направление которой заранее неизвестно. Линии действия сил и пересекаются в точке О, тогда по теореме о трех силах линия действия реакции шарнира тоже проходит через точку О.

Рис. 65

Треугольник АВС равнобедренный с углом при вершине , то есть равносторонний. Отрезок КО – средняя линия этого треугольника. Поэтому АО является медианой, биссектрисой и высотой треугольника. Следовательно, . Проведем оси x и y и запишем для полученной плоской сходящейся системы сил уравнения равновесия (59):

Решая эту систему уравнений, получим Т=50 н, .