С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности
Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия, хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению . На практике
устанавливается на основании предшествующего опыта, или теоретически.
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема п и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия с
степенями свободы. Требуется по исправленной дисперсии, при заданном уровне значимости, проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению
.
Учитывая, что является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, нулевую гипотезу можно записать так:
.
Замечание 1. Требуется проверить, что математическое ожидание исправленной дисперсии равно гипотетическому значению генеральной дисперсии. Другими словами, требуется установить значимо, или незначимо, различаются исправленная выборочная и гипотетическая генеральная дисперсии.
Замечание 2.На практике рассматриваемая гипотеза проверяется, если нужно проверить точность приборов, инструментов, станков, методов исследования и устойчивость технологических процессов. Например, если известна допустимая характеристика рассеяния контролируемого размера деталей, изготавливаемых станком-автоматом, равная ,а найденная по выборке исправленная дисперсия окажется значимо больше
, то станок требует подналадки.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину . Эта величина случайная, потому что в разных опытах
будет принимать различные, наперед неизвестные значения. Поскольку можно доказать, что она имеет распределение
с
степенями свободы, обозначим ее через
, Итак, критерием проверки нулевой гипотезы является
.
Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.
Первый случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза
.
В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область, в предположении справедливости нулевой гипотезы, была равна принятому уровню значимости: .
Критическую точку находят по таблице критических точек распределения
(приложение 5) и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством
, а область принятия нулевой гипотезы неравенством
Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.
Правило 1.Для того чтобы, при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу
о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению, при конкурирующей гипотезе
, надо:
1) вычислить наблюдаемое значение критерия ,
2)по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости
и числу степеней свободы
, найти критическую точку
.
3)Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если – нулевую гипотезу отвергают.
Второй случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза
.
В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область, в предположении справедливости нулевой гипотезы, была равна принятому уровню значимости .
Критические точки – левую и правую границы критической области – находят, требуя, чтобы вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области была равна
Замечание.В таблице критических точек распределения указаны лишь «правые» критические точки, поэтому возникает кажущееся затруднение в отыскании «левой» критической точки. Это затруднение легко преодолеть, если принять во внимание, что события
и
противоположны и, следовательно, сумма их вероятностей:
. Отсюда
. Т.е. левую критическую точку можно искать как правую (и значит, ее можно найти по таблице), исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна
.
Правило 2.Для того чтобы, при заданном уровне значимости , проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии
нормальной совокупности гипотетическому значению
:
, при конкурирующей гипотезе
, надо:
1) вычислить наблюдаемое значение критерия ,
2)по таблице критических точек распределения найти левостороннюю критическую точку
и правостороннюю критическую точку
.
3)Если , нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если или
, нулевую гипотезу отвергают.
Третий случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза
.
Правило 3.При конкурирующей гипотезе :
1)вычислить наблюдаемое значение критерия ,
2) находят критическую точку .
3)Если , нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если , нулевую гипотезу отвергают.
Замечание.В случае, если найдена выборочная дисперсия Dв, вкачестве критерия принимают случайную величину , которая имеет распределение
с
степенями свободы, либо переходят к
.
Пример 3.1 (продолжение).
Случай 1.
Вывод.
Случай 2.
Вывод.
Случай 3.
Вывод.