Свойства векторного произведения.
1. (антикоммутативность).
Доказательство: Из определения следует, что векторы и
имеют одинаковую длину и противоположные направления:
.
2. (ассоциативность).
Докажем это свойство для : вектор
имеет то же направление, что и вектор
. Вектор
при
имеет то же направление. Длины этих векторов также совпадают:
,
. Аналогично проводится доказательство для случая
.
3. (дистрибутивность).
Без доказательства.
.6. Геометрический смысл векторного произведения: Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.
10. Смешанное произведение трех векторов и его геометрический смысл. Условие компланарности векторов.
Определение 4.3. Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными. Очевидно, что два вектора всегда компланарны.
Теорема. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.
Определение 4.2. Смешанным произведением трех векторов ,
и
называется число, равное
, т.е. скалярному произведению векторного произведения первых двух на третий вектор.
Свойства смешанного произведения.
1. .
Доказательство этих соотношений проводится аналогично выводу формулы (4). Чтобы их запомнить заметим, что при «циклической перестановке» векторов (вектор передвигается на следующее место, а последний – на первое) знак не меняется, а при перестановке двух соседних векторов знак смешанного произведения меняется.
2. Геометрический смысл смешанного произведения.Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах.
Параметрическое и каноническое уравнения прямой на плоскости.
Так как координаты вектора и известны координаты вектора
, то можно записать векторное уравнение прямой (1) в координатах:
Полученную систему называют параметрическим уравнением прямой.
Выражая параметр из каждого уравнения параметрической системы (2), получим
Û
Опуская , получим каноническое уравнение прямой:
, (3)
где - координаты точки, через которую проходит прямая, а
- координаты направляющего вектора.
Приведенное и общее уравнения прямой. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Критерий перпендикулярности.
общее уравнение прямой
.
приведенное уравнение прямой , где
,
.
Таким образом, угол между прямыми находится по формуле:
. (9)
В частности, если угол составляет , то
. Это возможно, если
. Получаем критерий перпендикулярности прямых
или
(10)
Критерием параллельности двух невертикальных прямых на плоскости и
является равенство:
, (11)
т.к. .
Уравнения прямой в пространстве.
Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей, т.е. системой:
Уравнения плоскости в пространстве.
, где
.
Уравнение (5) называется общим уравнением плоскости.