Ядро и образ линейного оператора.

Ядро и образ линейного оператора.

Определение. Множество называется ядром линейного оператора и обозначается kerA

Определение. Множество векторов , являющихся значениями этого оператора называется образом линейного оператора и обозначается imA

Размерность образа линейного оператора называется рангом , а размерность ядра- дефектом линейного оператора .

Теорема. Ядро линейного оператора A переводимого L→ является подпространством в L, а его образ подпространством .

Теорема: «О размерности ядра и образа».

Если L – конечномерное пространство, то dim ker A+ dim im A= dimLZ

Матрица линейного оператора.

Рассмотрим линейный оператор A из пространства , где – линейные векторные пространства размерности n и m над общим полем P.

Фиксируем какой-нибудь базис, в пространстве и базис

В силу линейности оператора A:

, поэтому A полностью определяется своим действием над базисными векторами .

Разложим образы базисных векторов по базису пространства образа, т.е. базисные векторы пространства по базису

где j=1, (от 1 до n)

⇒ равенство в матричной форме:

Матрица возникшая справа, называется матрицей линейного оператора А в паре базисов и

Матрица, составленная из координатных столбцов векторов ,называется матрицей линейного оператора.

Пример: Пусть A: L→ – оператор дифференцирования на пространстве многочленов степени < или =2.

Рассмотрим 2 базиса:

,
,

Очевидно: A(1+t) = 1

A(t-1) = -1

A( =2t

Поэтому в паре базисов и матрица линейного оператора имеет вид:

Какой будет матрица того же оператора, если L’=L и выбрать базис

Теорема. Пусть - линейный оператор. Тогда столбец y координат вектора в данном базисе линейного пространства L равен произведению матрицы Аэтого оператора на столбец x координат вектораxв том же базисе.

Переход к другим базисам.

Пусть - матрица оператора A. Найдем матрицу , того же оператора к другой паре базисов. Рассмотрим равенства:

Согласно определению матрицы и находим:

Найдем матрицы перехода:

⇒x=Sz

y=Tu (2)

⇒

⇒

(

⇒

Напомним определение эквивалентных матриц (A и B называются эквивалентными, если B=P*A*Q, для P и Q – какие-то невырожденные матрицы.

Утверждение: - матрицы эквиваленты в том, и только в том случае, когда они являются матрицами одного и того же линейного оператора в каких то парах базиса.

Для того, чтобы матрицы одинаковых размеров были матрицами одного и того же линейного оператора, необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковый ранг.

Обратный оператор.

Оператор A из L→ называется обратным, если существует оператор B: →L, такой что A(B(y))=y, ∀y ∈ ; B(A(x))=x, ∀x∈L, при этом B называется обратным оператором для A.

Если линейный оператор обратим, то обратный оператор так же линейный.

Теорема. Пусть A:L→ , линейный оператор, а L и – конечномерные пространства одинаковой размерности, то А является обратимым оператором, тогда и только тогда, когда ядро оператора А состоит из нулевого вектора: kerA ={0}

Замечание. Если линейный оператор A: L→ , обратим, то обязательно множество является образом оператора А = imA

Замечание. В тоже время условие , равное образу А ( = imA) не всегда говорят о том, что оператор А обратим.

Если не вырожденный линейный оператор А пространства L в некотором базисе задается матрицей А (так же не вырождена), то обратный оператор задается в этом же базисе матрицей .

Ортогональные матрицы.

Пусть имеется евклидово n-мерное пространство .

Определение. Матрица ортонормированной системы векторов называется ортогональной. Для таких ортонормированных векторов имеем

Единичные матрицы ортогональны. Например, ортогональными являются следующие единичные матрицы:

.

Теорема. Для того чтобы матрица А была ортогональной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство .

□ Если обозначить , то элементы этой матрицы будут равны

элементы транспонированной матрицы. Но это означает, что или . И обратно, если , имеем равенство

Что означает ортогональность матрицы А. ■

Следствия.

1. Модуль определителя ортогональной матрицы равен1.

2. Ортогональная матрица – невырожденная.

3. Произведение двух ортогональных матриц – ортогональная матрица.

4. Необходимым и достаточным условием ортогональности матрицы А является .

5. При транспонировании ортогональной матрицы получается ортогональная матрица.

6. Матрица, обратная ортогональной, тоже ортогональна.

Но сумма ортогональных матриц не является ортогональной.

Теорема. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной.

Определение. Ортогональный оператор – это оператор евклидова пространства, матрица которого ортогональна в некотором ортонормированном базисе.

Теорема. Линейный оператор евклидова пространства является ортогональным тогда и только тогда, когда оно переводит ортонормированный базис в ортонормированный.

□ По предыдущей теореме матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной, следовательно, линейный оператор, соответствующий данной матрицы, ортогонален. И обратно, если имеется линейный оператор в некотором ортонормированном базисе с ортогональной матрицей, то из ортогональности следует, что

Где каждый из векторов второго базиса равен ( ), коэффициенты этого разложения составляют k-ый столбец ортогональной матрицы перехода. Отсюда следует ортонормированность базиса . ■

Известно, что ортогональный оператор не меняет скалярного произведения векторов (следует из выражения скалярного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе), а следовательно, не меняется норма вектора и угол между двумя векторами.

Ядро и образ линейного оператора.

Определение. Множество называется ядром линейного оператора и обозначается kerA

Определение. Множество векторов , являющихся значениями этого оператора называется образом линейного оператора и обозначается imA

Размерность образа линейного оператора называется рангом , а размерность ядра- дефектом линейного оператора .

Теорема. Ядро линейного оператора A переводимого L→ является подпространством в L, а его образ подпространством .

Теорема: «О размерности ядра и образа».

Если L – конечномерное пространство, то dim ker A+ dim im A= dimLZ