Порядок расчета стержневых систем методом конечных элементов
Порядок расчета сооружений МКЭ можно разбить на три основные этапа: подготовительный, вычислительный и обработку результатов.
1. Подготовительный этап включает в себя. Изображение расчетной схемы рассматриваемого сооружения, разбиение расчетной схемы на отдельные элементы, нумерацию узлов и элементов, выбор общей системы осей координат. Затем составляются исходные матрицы: матрицы жесткости отдельных элементов в местной системе осей координат [r]j’ и матрицы направляющих косинусов [c]j , формируют вектор внешних нагрузок {P}, предварительно преобразовав вне узловую нагрузку к узловой.
2. Вычислительная часть расчета включает в себя. Вначале вычисляют матрицы жесткости
отдельных элементов в общей системе осей координат
[r]j = [c]j [r]j’ [c]j ,
затем, из блоков этих матриц формируют матрицу жесткости [r] для сооружения в целом.
По формуле
{Z} = [r]-1 {P}
вычисляют вектор перемещений узловых точек сооружения в общей системе осей координат.
Вектор узловых усилий для отдельных КЭ в общей системе осей координат
{S}j = [r]j {Z}j
и в местной системе осей координат
{S}j’ = [c]j {S}j .
Результирующие усилия в узлах отдельных КЭ в местной системе осей координат, с учетом преобразований вне узловой нагрузки
{S}j’ = {S}j’ + {S0}j .
3. Обработка результатов. Полученные усилия {S}j’ прикладывают к узлам отдельных элементов и по ним строят результирующие эпюры M, Q, N.
![]() |
Пример.
Порядок расчета рамы МКЭ рассмотрим на конкретном небольшом примере. Заданная рама показана на рисунке слева
Заданная рама и основная система МКЭ
Основную систему МКЭ выбираем разбивая раму на три прямолинейных конечных элемента (КЭ). Нумеруем узлы и элементы.
В узле 3 элементы соединяются между собой жестко, с этим узлом связаны три неизвестных перемещения. В узле 2 элементы соединяются шарниром, здесь два неизвестных перемещения. В опорных узлах 1 и 2 все три перемещения равны нулю. Следовательно, рассматриваемая рама имеет пять неизвестных перемещений в МКЭ. Положительные направления перемещений и внешних нагрузок принимаем как показано на рисунке.
Общую систему осей координат располагаем таким образом, чтобы координаты всех узлов были положительными.
Распределенную по ригелю нагрузку приводим к узловой, используя для этого таблицы метода перемещений.
Преобразование вне узловой нагрузки к узловой
Составляем исходные матрицы. Вектор внешних нагрузок Р для сооружения в целом, в общей системе осей координат и векторы преобразований вне узловых нагрузок к узловым для КЭ в местных системах осей координат Si0 имеют вид
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Матрицы жесткости для КЭ в местной системе осей координат составляются следующим образом. Матрица жесткости для первого элемента имеет размерность 3х3, т.к. три перемещения связанные с узлом 1 равны нулю, поэтому из матрицы для элемента с двумя жесткими узлами вычеркиваем три первых строки и три первых столбца. Для второго элемента матрица жесткости имеет размер 5х5. Для третьего 2х2. Локальная (местная) система осей координат связана с отдельным элементом, ось X направлена вдоль стержня от начального узла к конечному, а ось Y нормально к ней.
![]() |
![]() |
![]() |
Матрицы направляющих косинусов, имеют ту же размерность, что и матрицы жесткости: для первого элемента 3х3, для второго 5х5, для третьего 2х2. Поворот элементов осуществляется против часовой стрелки, вокруг начального узла из горизонтального положения до положения как в конструкции. В нашем случае j1=900, j2=00, j3=1270. Матрицы направляющих косинусов записываются
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Матрицы жесткости отдельных элементов в общей системе осей координат вычисляют по формуле
где - транспонированная матрица направляющих косинусов для i-того элемента.
![]() |
После перемножения соответствующих матриц, получаем
![]() |
![]() |
Матрица жесткости сооружения в целом формируется из блоков матриц жесткости отдельных элементов следующим образом:
![]() |
где - блок реакций, возникающих за счет упругих свойств первого элемента, в связях наложенных на третий узел, от единичных смещений этих же связей и т.д.
После обращения матрицы r по известным стандартным процедурам, вектор перемещений Z определяется по формуле
![]() |
Векторы узловых усилий в стержнях в общей системе осей координат вычисляем по формуле
,
в результате вычислений имеем :
![]() |
![]() |
![]() |
Усилия в узлах конечных элементов в местной системе осей координат, с учетом векторов преобразований нагрузок, определяются
,
в нашем случае, в результате вычислений имеем
![]() |
![]() |
![]() |
Имея векторы усилий в местной системе осей координат, прикладываем их к соответствующим узлам отдельных элементов и строим эпюры внутренних усилий.
![]() |
Эпюры внутренних усилий
Для выполнения статической проверки, покажем расчетную схему рамы с заданными нагрузками и опорными реакциями. Направления и величины опорных реакции определяем по эпюрам.
Условия статического равновесия записываются
21 + 0.38 sina - 35.5cosa = 0;
51.35 + 0.38 cosa + 35.5 sina -q · 4 = 0;
q · 4 · 5 - 51.35 · 7 - 38.6 - 35.5 = 0.
П р и л о ж е н и е :
Формирование матрицы жесткости плоского треугольного конечного элемента в локальной системе осей координат
Для расчета конструкций, испытывающих плоское напряженное состояние, плоский треугольный конечный элемент явяляется одним из наиболее удобных типов конечных элементов, т.к. позволяет наиболее просто и удобно получить на конструкции сетку узлов требуемой густоты.
Рассмотрим процесс формирования матрицы жесткости плоского треугольного 3-х узлового конечного элемента с узлами i, j, m, обозначенными в направлении обхода против часовой стрелки.
К построению матрицы жесткости треугольного КЭ
Смещения в узле имют 2 компонента - ui и vi. Тогда вектор узловых смещений элемента может быть представлен как
(1)
Самое простое представление смещения u и v точек с координатами x и y внутри элемента через смещения узловых точек может быть получено на основе использования 2-х линейных многочленов:
(2)
Постоянные a1 - a6 можно получить, решая две системы из 3-х уравнений, введя координаты узлов и приравняв их смещения соответствующим узловым смещениям:
(3)
Подставив решения систем (3) в выражения (2) окончательно получим выражения для u и v
(4)
где D - площадь треугольника,
Коэффициенты aj, bj, cj, am, bm, cm можно получить циклической перестановкой индексов в последовательности i, j, m.
Относительная деформация в любой точке элемента определяется с помощью трех компонентов, вносящих вклад во внутреннюю работу, которая с помощью уравнений (4) может быть записана как
(5)
Учитывая, что для треугольного элемента постоянной толщины общее выражение для матрицы жесткости может быть упрощено, т.е.
(6)
и учитывая, что матрица упругости ( закона Гука) для случая плоского напряженного состояния имеет вид
(7)
окончательно выражение для матрицы жесткости плоского треугольного элемента имеет вид:
(8)
где
Использование полученной матрицы жесткости в дальнейших конечно-элементных операциях ничем не отличается от использования матрицы жесткости стержневого конечного элемента. Естественно, результатом расчета в этом случае будут усилия соответствующие компонентам перемещений, указанным на Рис. , т.е. , которые могут быть преобразованы к напряжениям в центре тяжести конечного элемента
.