Лабораторная работа №1: «Оценка ошибок измерений»
1. Содержательная постановка.
Целью аналитических определений является получение значений, наиболее близких к истинному содержанию определяемой величины. Абсолютно точно невозможно выполнить никакое измерение. Поэтому задачей каждого измерения является получение результата и оценка его точности. Любое измерение выполняется несколько раз. Результаты должны лежать как можно ближе друг к другу и соответствовать истинному значению измеряемой величины. точность оценок измерений тем выше, чем больше число измерений (объем выборки).
Итак, выделим два фактора, по которым судят о результатах работы:
а) воспроизводимость;
б) соответствие истинному значению.
Основные понятия:
- истинное значение измеряемой величины;
- измеряемое в i – опыте значение;
- среднее арифметическое значение всех измерений;
- абсолютное отклонение каждого измерения от среднего значения (или ошибка конкретного измерения);
= среднее отклонение или средняя ошибка;
- среднее квадратичное отклонение (или стандартное отклонение);
- число измерений.
2. Математическая формулировка.
Среднее арифметическое значение выборки вычисляется по формуле:
(1)
Одним из способов выражения точности измерений является указание абсолютной величины отклонения результата измерения:
(2)
Так как истинное значение величины можно оценить лишь по среднему из измеряемых значений, то ошибку при определении указанной величины можно выразить после усреднения отклонений всех измеряемых значений.
(3)
Средняя и абсолютная ошибки имеют размерность определяемой величины или выражаются в процентах.
Например, при определении высокотемпературной вязкости моторного масла получены следующие значения:
Х = 125 Мпа*с
Д = +5Мпа*с
Результат записывают следующим образом
Х=125_ +5 Мпа*с
Среднее отклонение в % рассчитывают следующим образом:
Следовательно, точность определения вязкости составила 4%.
В стандартных методиках обычно указывается точность определения того или иного показателя (2, 3 или 5%). При выполнении любых анализов необходимо определять ошибку метода.
Стандартное отклонение.
Точность результатов измерений чаще всего выражают с помощью стандартного отклонения S, которое представляет собой квадратный корень из второго момента распределения относительно среднего значения.
Стандартное значение вычисляют по формуле:
(4)
Однако пользоваться формулой (4) для вычислений на микрокалькуляторе неудобно, то S обычно определяют по следующей формуле:
(5)
При записи значения измеряемой величины учитывают стандартное отклонение среднего арифметического, т.е.:
(6)
Величина м даёт пределы, в которых заключено 68% вероятности обнаружить истинное значение измеряемой величины.
Число результатов, которое характеризуется отклонением от среднего на величину не более составляет 68,26%; 95,46% измерений характеризуются отклонениями, не превышающими
и 99,73% - отклонениями, не превышающими
Когда число измерений не велико ( <30), значения величины S претерпевают значительные флуктуации и распределение результатов уже не подчиняется стандартному, нормальному закону Гаусса. Чтобы в таких случаях вычислить пределы доверительности для произвольной вероятности (не только 1S, 2S и т.д.), применяют t-значение, которое является поправочным коэффициентом, вводимым в величину S (определяется из t-распределения Стьюдента) (Приложение 1).
Окончательный результат записывается следующим образом:
(7)
Пример:
В процессе определения содержания парафиновых углеводородов в бензиновой фракции получены следующие результаты (6 измерений).
Определить количество парафинов и указать точность измерения при надёжности 68%. и 95%.
Таблица 2.1
№ п/п | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | (Х – Х )2 | S | ![]() | |||||
26,2 | 25,9 | 0,3 | 0,7 | 0,09 | 0,92 | 0,4 | ||||||
26,0 | 25,9 | 0,1 | 0,7 | 0,01 | 0,92 | 0.4 | ||||||
27,5 | 25,9 | 1,6 | 0,7 | 2,56 | 0,92 | 0,4 | ||||||
25,6 | 25,9 | 0,3 | 0,7 | 0,09 | 0,92 | 0,4 | ||||||
25,2 | 25,9 | 0,7 | 0,7 | 0,49 | 0,92 | 0,4 | ||||||
24,9 | 25,9 | 1,0 | 0,7 | 1,0 | 0,92 | 0,4 | ||||||
155,4 | 4,0 | 4,24 | ||||||||||
Таким образом, значение измеряемой величины следует записать следующим образом :
а) по среднему отклонению
Х =25,9 +_ 0,7;
б) по стандартному отклонению для надёжности 68%
Х= 25,9+_ 0,4;
иными словами в 68% случаев значение измеряемой величины окажется в пределах между 25,5 и 26,3;
в) для надёжности 95% значение измеряемой величины составит
Х= 25,9 +_0,4*t,
где t –критерий Стьюдента ( находят по таблице в приложении 1) t=2,571
Тогда Х =25,9 +_0,4*2,571=25,9+_1,0,
в 95% случаев значение измеряемой величины будет находиться между 24,9 и 26,9
3. Содержание и последовательность выполнения работ.
1. Ознакомиться с содержательной постановкой задачи и математической формулировкой.
2. Получить задание и дать оценку результатов.
3. Заполнить лабораторный журнал.
Таблица 2.2
Лабораторный журнал.
№ п/п | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | (Х-Х)2 | S | ![]() |
Вывод: записать значение измеряемой величины:
а) при средней ошибке
б) при стандартной ошибке.